Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Часть серии статей на тему
математическая константа π
3.14159 26535 89793 23846 26433...
Использует
Площадь круга Окружность Использовать в других формулах
Характеристики
Иррациональность Трансцендентность
Ценить
Менее 22/7 Приближения Исправление термина Мадхавы Запоминание
Люди
Архимед Лю Хуэй Цзу Чунчжи Арьябхата Мадхава Джамшид аль-Каши Людольф ван Кейлен Франсуа Виет Секи Такакадзу Такебе Кенко Уильям Джонс Джон Мачин Уильям Шэнкс Шриниваса Рамануджан Джон Ренч братья Чудновские Ясумаса Канада
История
Хронология История числа Пи
В культуре
Индиана Пи Билл День числа Пи
Похожие темы
Квадратура круга Базельская проблема Шесть девяток в числе π Другие темы, связанные с числом π
в т е

Part of a series of articles on the
mathematical constant e
Properties
Natural logarithm Exponential function
Applications
compound interest Euler's identity Euler's formula half-lives exponential growth and decay
Defining e
proof that e is irrational representations of e Lindemann–Weierstrass theorem
People
John Napier Leonhard Euler
Related topics
Schanuel's conjecture
v t e

В теории трансцендентных чисел теорема Линдемана –Вейерштрасса является результатом, который очень полезен для установления трансцендентности чисел. Она утверждает следующее:

Другими словами, поле расширения имеет степень трансцендентности n над .${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Эквивалентная формулировка из Бейкера 1990, Глава 1, Теорема 1.4, выглядит следующим образом:

Эта эквивалентность преобразует линейное отношение над алгебраическими числами в алгебраическое отношение над , используя тот факт, что симметричный многочлен , все аргументы которого сопряжены друг другу, дает рациональное число.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теорема названа в честь Фердинанда фон Линдемана и Карла Вейерштрасса . Линдеман доказал в 1882 году, что e ^α трансцендентно для любого ненулевого алгебраического числа α, тем самым установив, что π трансцендентно (см. ниже). ^[1] Вейерштрасс доказал приведенное выше более общее утверждение в 1885 году. ^[2]

Теорема, наряду с теоремой Гельфонда–Шнайдера , расширяется теоремой Бейкера ^[3] , и все они могут быть дополнительно обобщены гипотезой Шануэля .

Теорема также известна под разными названиями: теорема Эрмита–Линдемана и теорема Эрмита–Линдемана–Вейерштрасса . Чарльз Эрмит первым доказал более простую теорему, в которой показатели α _i должны быть рациональными целыми числами , а линейная независимость гарантируется только над рациональными целыми числами, ^{[4] [5]} результат, который иногда называют теоремой Эрмита. ^[6] Хотя это, по-видимому, частный случай вышеуказанной теоремы, общий результат можно свести к этому более простому случаю. Линдеманн был первым, кто допустил алгебраические числа в работу Эрмита в 1882 году. ^[1] Вскоре после этого Вейерштрасс получил полный результат, ^[2] и дальнейшие упрощения были сделаны несколькими математиками, наиболее известными из которых были Дэвид Гильберт ^[7] и Пол Гордан . ^[8]

Трансцендентность e и π являются прямыми следствиями этой теоремы.

Предположим, что α — ненулевое алгебраическое число; тогда {α} — линейно независимое множество над рациональными числами, и, следовательно, по первой формулировке теоремы { e ^α } — алгебраически независимое множество; или, другими словами, e ^α трансцендентно. В частности, e ¹ = e трансцендентно. (Более элементарное доказательство того, что e трансцендентно, изложено в статье о трансцендентных числах .)

Альтернативно, согласно второй формулировке теоремы, если α — ненулевое алгебраическое число, то {0, α} — множество различных алгебраических чисел, и поэтому множество { e ⁰ ,  e ^α } = {1,  e ^α } линейно независимо относительно алгебраических чисел и, в частности, e ^α не может быть алгебраическим, поэтому оно трансцендентно.

Чтобы доказать, что π трансцендентно, мы докажем, что оно не алгебраично. Если бы π было алгебраическим, π i также было бы алгебраическим, и тогда по теореме Линдемана–Вейерштрасса e ^{π i} = −1 (см. тождество Эйлера ) было бы трансцендентным, противоречие. Следовательно, π не алгебраично, что означает, что оно трансцендентно.

Небольшой вариант того же доказательства покажет, что если α — ненулевое алгебраическое число, то sin(α), cos(α), tan(α) и их гиперболические аналоги также являются трансцендентными.

Аналог теоремы, включающий модулярную функцию j, был выдвинут Даниэлем Бертраном в 1997 году и остается открытой проблемой. ^[9] Записывая q  =  e ^{2 π i τ} для квадрата нома и j ( τ) =  J ( q ), гипотеза выглядит следующим образом.

Доказательство опирается на две предварительные леммы . Обратите внимание, что сама лемма B уже достаточна для вывода исходного утверждения теоремы Линдемана–Вейерштрасса.

Доказательство леммы А. Для упрощения обозначений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}}$

Тогда утверждение становится

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}$

Пусть p — простое число и определим следующие многочлены:

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},}$

где ℓ — ненулевое целое число, такое, что все являются алгебраическими целыми числами . Определим ^[11]${\displaystyle \ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}}$

${\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}$

Используя интегрирование по частям, приходим к

${\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}$

где - степень , а - j -я производная . Это также справедливо для s комплексного (в этом случае интеграл должен быть задуман как контурный интеграл, например, вдоль прямолинейного сегмента от 0 до s ), поскольку${\displaystyle np-1}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{(j)}}$${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}$

является примитивом .${\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}$

Рассмотрим следующую сумму:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}$

В последней строке мы предположили, что заключение Леммы ложно. Для завершения доказательства нам нужно прийти к противоречию. Мы сделаем это, оценив двумя разными способами.${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|}$

Во-первых, это алгебраическое целое число , которое делится на p ! для и обращается в нуль для , если только и , в этом случае оно равно${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}$${\displaystyle j\geq p}$${\displaystyle j<p}$${\displaystyle j=p-1}$${\displaystyle k=i}$

${\displaystyle \ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.}$

Это не делится на p , когда p достаточно велико, потому что в противном случае, положив

${\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})}$

(что является ненулевым алгебраическим целым числом) и вызывая произведение его сопряженных чисел (что все еще не равно нулю), мы получим, что p делит , что неверно.${\displaystyle d_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}}$

Итак, делится ли ненулевое алгебраическое целое число на ( p  − 1)!. Теперь${\displaystyle J_{i}}$

${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}$

Поскольку каждый из них получается путем деления фиксированного многочлена с целыми коэффициентами на , он имеет вид${\displaystyle f_{i}(x)}$${\displaystyle (x-\alpha _{i})}$

${\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}$

где — многочлен (с целыми коэффициентами), не зависящий от i . То же самое справедливо и для производных .${\displaystyle g_{m}}$${\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}$

Следовательно, по основной теореме о симметричных многочленах ,

${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}$

является фиксированным многочленом с рациональными коэффициентами, вычисленными в (это видно из группировки одинаковых степеней, появляющихся в разложении, и использования того факта, что эти алгебраические числа являются полным набором сопряженных). Так что то же самое верно и для , т.е. он равен , где G является многочленом с рациональными коэффициентами, не зависящими от i .${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle G(\alpha _{i})}$

Наконец, является рациональным (опять же по фундаментальной теореме о симметрических многочленах) и представляет собой ненулевое алгебраическое целое число, делящееся на (поскольку ' являются алгебраическими целыми числами, делящимися на ). Поэтому${\displaystyle J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})}$${\displaystyle (p-1)!^{n}}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle (p-1)!}$

${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.}$

Однако, очевидно, что есть:

${\displaystyle |I_{i}(\alpha _{k})|\leq {|\alpha _{k}|}e^{|\alpha _{k}|}F_{i}({|\alpha _{k}|}),}$

где F _i — многочлен, коэффициенты которого являются абсолютными значениями коэффициентов f _i (это следует непосредственно из определения ). Таким образом,${\displaystyle I_{i}(s)}$

${\displaystyle |J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)}$

и поэтому по построению 's мы имеем для достаточно большого C независимо от p , что противоречит предыдущему неравенству. Это доказывает Лемму А. ∎${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}}$

Доказательство леммы B: Предположим,

${\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,}$

мы придем к противоречию, тем самым доказав лемму Б.

Выберем многочлен с целыми коэффициентами, который обращается в нуль на всех ', и пусть — все его различные корни. Пусть b ( n  + 1) = ... =  b ( N ) = 0.${\displaystyle \gamma (k)}$${\displaystyle \gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)}$

Многочлен

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}$

обращается в нуль по предположению. Поскольку произведение симметрично, для любого мономы и имеют одинаковый коэффициент в разложении P.${\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}$${\displaystyle \tau \in S_{N}}$${\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}$${\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}$

Таким образом, расширяя соответствующим образом и группируя члены с одинаковыми показателями степеней, мы видим, что полученные показатели степеней образуют полный набор сопряженных и, если два члена имеют сопряженные показатели степеней, то они умножаются на один и тот же коэффициент.${\displaystyle P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}$${\displaystyle h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)}$

Итак, мы находимся в ситуации леммы A. Чтобы прийти к противоречию, достаточно увидеть, что по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю. Это видно, если снабдить C лексикографическим порядком и выбрать для каждого множителя в произведении член с ненулевым коэффициентом, который имеет максимальный показатель степени в соответствии с этим порядком: произведение этих членов имеет ненулевой коэффициент в разложении и не упрощается никаким другим членом. Это доказывает лемму B. ∎

Теперь перейдем к доказательству теоремы: Пусть a (1),..., a ( n ) — ненулевые алгебраические числа , а α (1),..., α ( n ) — различные алгебраические числа. Тогда предположим, что:

${\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}$

Мы покажем, что это приводит к противоречию, и таким образом докажем теорему. Доказательство очень похоже на доказательство Леммы B, за исключением того, что на этот раз выбор делается над a ( i ) :

Для каждого i ∈ {1, ..., n }, a ( i ) является алгебраическим, поэтому он является корнем неприводимого многочлена с целыми коэффициентами степени d ( i ). Обозначим различные корни этого многочлена a ( i ) ₁ , ..., a ( i ) _{d ( i )} , причем a ( i ) ₁ = a ( i ).

Пусть S — функции σ, которые выбирают один элемент из каждой из последовательностей (1, ..., d (1)), (1, ..., d (2)), ..., (1, ..., d ( n )), так что для каждого 1 ≤  i  ≤  n , σ( i ) — целое число между 1 и d ( i ). Образуем многочлен по переменным${\displaystyle x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}$

Так как произведение берется по всем возможным функциям выбора σ, Q симметрично относительно для каждого i . Следовательно, Q является многочленом с целыми коэффициентами в элементарных симметричных многочленах от указанных выше переменных для каждого i и в переменных y _i . Каждый из последних симметричных многочленов является рациональным числом при оценке в .${\displaystyle x_{i1},\dots ,x_{id(i)}}$${\displaystyle a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}}$

Оцененный многочлен исчезает, потому что один из вариантов — это просто σ( i ) = 1 для всех i , для которых соответствующий множитель исчезает согласно нашему предположению выше. Таким образом, оцененный многочлен является суммой вида${\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}$

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}$

где мы уже сгруппировали члены с одинаковым показателем. Так что в левой части у нас есть различные значения β(1), ..., β( N ), каждое из которых по-прежнему алгебраическое (будучи суммой алгебраических чисел) и коэффициенты . Сумма нетривиальна: если является максимальным в лексикографическом порядке, коэффициент при является просто произведением a ( i ) _j (с возможными повторениями), что не равно нулю.${\displaystyle b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha (i)}$${\displaystyle e^{|S|\alpha (i)}}$

Умножая уравнение на подходящий целочисленный множитель, мы получаем идентичное уравнение, за исключением того, что теперь b (1), ..., b ( N ) — все целые числа. Следовательно, согласно Лемме B, равенство не может иметь места, и мы приходим к противоречию, которое завершает доказательство. ∎

Обратите внимание, что леммы A достаточно для доказательства иррациональности числа e , так как в противном случае мы можем записать e = p / q , где и p, и q — ненулевые целые числа, но по лемме A мы имели бы qe  −  p ≠ 0, что является противоречием. Леммы A также достаточно для доказательства иррациональности числа π , так как в противном случае мы можем записать π = k / n , где и k, и n — целые числа), и тогда ± i π являются корнями уравнения n ² ​​x ² + k ² = 0; таким образом, 2 − 1 − 1 = 2 e ⁰ + e ^{i π} + e ^{− i π} ≠ 0; но это неверно.

Аналогично, лемма B достаточна для доказательства трансцендентности числа e , поскольку лемма B гласит, что если a ₀ , ..., an _— целые числа, не все из которых равны нулю, то

${\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}$

Леммы B также достаточно, чтобы доказать, что π трансцендентно, так как в противном случае мы имели бы 1 +  e ^{i π}  ≠ 0.

Формулировка теоремы Бейкера явно подразумевает первую формулировку. Действительно, если — алгебраические числа, линейно независимые над , и${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$

— многочлен с рациональными коэффициентами, тогда имеем

${\displaystyle P\left(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)},}$

и поскольку являются алгебраическими числами, которые линейно независимы над рациональными числами, числа являются алгебраическими и они различны для различных n -кортежей . Таким образом, из формулировки теоремы Бейкера мы получаем для всех n -кортежей .${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$${\displaystyle i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}$${\displaystyle b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}=0}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}$

Теперь предположим, что верна первая формулировка теоремы. Поскольку формулировка Бейкера тривиальна, предположим, что , и пусть — ненулевые алгебраические числа, и различные алгебраические числа, такие, что:${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle a(1),\ldots ,a(n)}$${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$

${\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}$

Как было показано в предыдущем разделе и с использованием тех же обозначений, что и там, значение многочлена

${\displaystyle Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),}$

в

${\displaystyle \left(a(1)_{1},\ldots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\ldots ,e^{\alpha (n)}\right)}$

имеет выражение формы

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

где мы сгруппировали экспоненты, имеющие одинаковую экспоненту. Здесь, как доказано выше, рациональные числа, не все равны нулю, и каждая экспонента является линейной комбинацией с целыми коэффициентами. Тогда, поскольку и попарно различны, векторное подпространство , порожденное , не является тривиальным, и мы можем выбрать для формирования базиса для Для каждого , мы имеем${\displaystyle b(1),\ldots ,b(M)}$${\displaystyle \beta (m)}$${\displaystyle \alpha (i)}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$${\displaystyle \alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle m=1,\dots ,M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

Для каждого пусть будет наименьшим общим кратным всех для , и положим . Тогда — алгебраические числа, они образуют базис , и каждый — линейная комбинация с целыми коэффициентами. Умножая отношение${\displaystyle j=1,\ldots ,k,}$${\displaystyle d_{j}}$${\displaystyle d_{m,j}}$${\displaystyle m=1,\ldots ,M}$${\displaystyle v_{j}={\tfrac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \beta (m)}$${\displaystyle v_{j}}$

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

с помощью , где – достаточно большое положительное целое число, мы получаем нетривиальное алгебраическое соотношение с рациональными коэффициентами, связывающее , вопреки первой формулировке теоремы.${\displaystyle e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}}$

• Теорема Гельфонда–Шнайдера
• Теорема Бейкера ; расширение теоремы Гельфонда–Шнайдера
• Гипотеза Шануэля ; если она будет доказана, то из нее будут следовать как теорема Гельфонда–Шнайдера, так и теорема Линдемана–Вейерштрасса.

• Бейкер, Алан (1990), Трансцендентная теория чисел, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, МР  0422171
• Бертран, Д. (1997), «Тета-функции и трансцендентность», The Ramanujan Journal , 1 (4): 339–350 , doi :10.1023/A:1009749608672, S2CID  118628723
• Гельфонд, А.О. (2015) [1960], Трансцендентные и алгебраические числа, Dover Books on Mathematics, перевод Борона, Лео Ф., Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, МР  0057921
• Гордан, П. (1893), «Transcendenz von e und π.», Mathematische Annalen , 43 ( 2–3 ): 222–224 , doi : 10.1007/bf01443647, S2CID  123203471
• Эрмит, К. (1873), «Sur la fonction exponentielle», Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 77 : 18–24 .
• Эрмит, К. (1874), Sur la fonction exponentielle., Париж: Готье-Виллар.
• Гильберт, Д. (1893), «Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π.», Mathematische Annalen , 43 ( 2–3 ): 216–219 , doi : 10.1007/bf01443645, S2CID  179177945, заархивировано из оригинала в 2017 г. 10-06 , получено 24 декабря 2018 г.
• Линдеманн, Ф. (1882), «Über die Ludolph'sche Zahl.», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 2 : 679–682 .
• Линдеманн, Ф. (1882), «Über die Zahl π.», Mathematische Annalen , 20 (2): 213–225 , doi : 10.1007/bf01446522, S2CID  120469397, заархивировано из оригинала 06 октября 2017 г. , получено 2018-12-24
• Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). «Теорема Бейкера». Трансцендентные числа. стр.  95–100 . doi :10.1007/978-1-4939-0832-5_19. ISBN 978-1-4939-0831-8.
• Вейерштрасс, К. (1885), «Abhandlung Цу Линдеманна. «Über die Ludolph'sche Zahl».», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

• Якобсон, Натан (2009) [1985], Основы алгебры, т. I (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Эрмита-Линдемана». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Линдеманна-Вейерштрасса». Математический мир .