Гипотеза Шануэля

Часть серии статей на тему
математическая константа е
Характеристики
Натуральный логарифм Экспоненциальная функция
Приложения
сложный процент тождество Эйлера Формула Эйлера периоды полураспада экспоненциальный рост и упадок
Определение е
доказательство того, что e иррационально представления е Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
Люди
Джон Напье Леонард Эйлер
Похожие темы
Гипотеза Шануэля
в т е

В математике , в частности в теории трансцендентных чисел , гипотеза Шануэля — это гипотеза о степени трансцендентности некоторых расширений поля рациональных чисел , которая установила бы трансцендентность большого класса чисел , для которого это в настоящее время неизвестно . Она принадлежит Стивену Шануэлю и была опубликована Сержем Лангом в 1966 году. ^[1]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Гипотезу Шануэля можно сформулировать следующим образом: ^{[1] [2]}

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, обобщит большинство известных результатов в теории трансцендентных чисел и установит большой класс трансцендентных чисел. Особые случаи гипотезы Шануэля включают:

Рассмотрение гипотезы Шануэльса для только дает, что для ненулевых комплексных чисел , по крайней мере одно из чисел и должно быть трансцендентным. Это было доказано Фердинандом фон Линдеманном в 1882 году. ^[3]${\displaystyle n=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle e^{z}}$

Если числа считаются алгебраическими и линейно независимыми над , то результат будет трансцендентным и алгебраически независимым над . Первое доказательство этого более общего результата было дано Карлом Вейерштрассом в 1885 году. ^[4]${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle е^{z_{1}},...,е^{z_{n}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Эта так называемая теорема Линдемана–Вейерштрасса подразумевает трансцендентность чисел e и π . Из нее также следует, что для алгебраических чисел, не равных 0 или 1 , оба и являются трансцендентными. Она также дает трансцендентность тригонометрических функций при ненулевых алгебраических значениях. ${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle e^{\альфа}}$${\displaystyle \ln(\альфа)}$

Другой особый случай был доказан Аланом Бейкером в 1966 году: если комплексные числа выбраны линейно независимыми относительно рациональных чисел, таких, что являются алгебраическими, то они также линейно независимы относительно алгебраических чисел .${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle е^{\lambda _{1}},...,e^{\lambda _{n}}}$${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$

Гипотеза Шануэля усилила бы этот результат, подразумевая, что также будет алгебраически независим над (и, что эквивалентно, над ). ^[2]${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$

В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер доказали , что если и — два алгебраических комплексных числа, причем и , то является трансцендентным.${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle \альфа \notin \{0,1\}}$${\displaystyle \beta \notin \mathbb {Q} }$${\displaystyle \альфа ^{\бета}}$

Это устанавливает трансцендентность таких чисел, как постоянная Гильберта и постоянная Гельфонда . ^[5]${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle е^{\пи}}$

Теорема Гельфонда–Шнайдера следует из гипотезы Шануэля, если положить и . Она также следует из усиленной версии теоремы Бейкера выше.${\displaystyle n=3}$${\displaystyle z_{1}=\beta,z_{2}=\ln \alpha,z_{3}=\beta \ln \alpha }$

Недоказанная в настоящее время гипотеза о четырех экспоненциальных числах также вытекает из гипотезы Шануэля: если и — две пары комплексных чисел, причем каждая пара линейно независима относительно рациональных чисел, то по крайней мере одно из следующих четырех чисел является трансцендентным :${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle w_{1},w_{2}}$

${\displaystyle e^{z_{1}w_{1}},e^{z_{1}w_{2}},e^{z_{2}w_{1}},e^{z_{2}w_ {2}}.}$

Четырехэкспоненциальная гипотеза подразумевает, что для любого иррационального числа , по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным. Это также подразумевает, что если — положительное действительное число, такое, что и — целые числа, то само должно быть целым числом. ^[2] Соответствующая теорема о шести экспоненциальных числах была доказана.${\displaystyle т}$${\displaystyle 2^{т}}$${\displaystyle 3^{т}}$${\displaystyle т}$${\displaystyle 2^{т}}$${\displaystyle 3^{т}}$${\displaystyle т}$

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установила бы, что многие нетривиальные комбинации e , π , алгебраических чисел и элементарных функций являются трансцендентными: ^{[2] [6] [7]}

${\displaystyle e+\pi,e\pi,e^{\pi ^{2}},e^{e},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\pi ^{ \pi },\pi ^{\pi ^{\pi }},\,\log \pi ,\,\log \log 2,\,\sin e,...}$

В частности, отсюда следует, что e и π алгебраически независимы, просто положив и .${\displaystyle z_{1}=1}$${\displaystyle z_{2}=i\пи }$

Тождество Эйлера утверждает, что . Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, включающем экспоненциальные кольца , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами. ^[8]${\displaystyle е^{я\пи}+1=0}$

Обратная гипотеза Шануэля ^[9] представляет собой следующее утверждение:

Предположим, что F — счетное поле с характеристикой 0, а e  : F → F — гомоморфизм из аддитивной группы ( F ,+) в мультипликативную группу ( F ,·), ядро ​​которой циклическое . Предположим далее, что для любых n элементов x ₁ ,..., x _n из F , которые линейно независимы над , поле расширения ( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) имеет степень трансцендентности по крайней мере n над . Тогда существует гомоморфизм полей h  : F → такой, что h ( e ( x )) = exp( h ( x )) для всех x из F .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Версия гипотезы Шенуэля для формальных степенных рядов , также принадлежащая Шенуэлю, была доказана Джеймсом Эксом в 1971 году. ^[10] Она гласит:

Если заданы любые n формальных степенных рядов f ₁ ,..., f _n в t [[ t ]], которые линейно независимы над , то расширение поля ( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ),...,exp( f _n )) имеет степень трансцендентности не менее n над ( t ).${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Хотя гипотеза Шануэля и является проблемой теории чисел, она также имеет значение в теории моделей . Например, Ангус Макинтайр и Алекс Уилки доказали, что теория действительного поля с возведением в степень _exp разрешима при условии, что гипотеза Шануэля верна. ^[11] Фактически, чтобы доказать этот результат, им нужна была только действительная версия гипотезы, которая выглядит следующим образом: ^[12 ]${\displaystyle \mathbb {R} }$

Предположим, что x ₁ ,..., x _n — действительные числа и степень трансцендентности поля ( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) строго меньше n , тогда существуют целые числа m ₁ ,..., m _n , не все равные нулю, такие, что m ₁ x ₁  +...+  m _n x _n  = 0.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Это было бы положительным решением проблемы экспоненциальной функции Тарского .

Родственная гипотеза, называемая равномерной вещественной гипотезой Шануэля, по сути утверждает то же самое, но накладывает ограничение на целые числа m _i . Равномерная вещественная версия гипотезы эквивалентна стандартной вещественной версии. ^[12] Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которое они назвали слабой гипотезой Шануэля, было эквивалентно разрешимости _exp . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя граница нормы невырожденных решений систем экспоненциальных многочленов ; это, неочевидно, следствие гипотезы Шануэля для вещественных чисел. ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} }$

Также известно, что гипотеза Шануэля будет следствием предположительных результатов в теории мотивов . В этом контексте гипотеза Гротендика о периоде для абелева многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов совпадает с размерностью ассоциированной группы Мамфорда–Тейта , а из работ Пьера Делиня известно , что размерность является верхней границей для степени трансцендентности. Бертолин показал, как обобщенная гипотеза о периоде включает гипотезу Шануэля. ^[13]

Хотя доказательство гипотезы Шануэля, по-видимому, еще очень далеко ^[14], связь с теорией моделей вызвала всплеск исследований этой гипотезы.

В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K _exp , которые алгебраически замкнуты и имеют характеристику ноль, и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . ^[15] Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию и методы Хрушовского, вдохновленные работой Шелаха по категоричности в бесконечных логиках , доказал, что эта теория «псевдовозведения в степень» имеет уникальную модель в каждой несчетной мощности. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, влечет гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и гипотеза об экспоненциально-алгебраической замкнутости . ^[16] Поскольку эта конструкция может также давать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля. ^[17]

• Гипотеза о четырех экспоненциалах
• Алгебраическая независимость
• Список нерешенных задач по математике
• Гипотеза экзистенциальной замкнутости
• Гипотеза Зильбера-Пинка

• Вейерштрасс, К. (1885), «Abhandlung Зу Линдеманна. «Über die Ludolph'sche Zahl».», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Шануэля». Математический мир .