Формализм АДМ

Общая теория относительности
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$
Введение История Хронология Тесты Математическая формулировка
Фундаментальные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Феномены проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационное красное смещение Гравитационное замедление времени Гравитационные волны Перетаскивание кадров Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени пространство-время Минковского Мост Эйнштейна-Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон–Папапетру–Диксон Гамильтон–Якоби–Эйнштейн Формализмы АДМ БССН Пост-ньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы–Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( внутри ) Рейсснер–Нордстрём Волны Эйнштейна–Розена Червоточина Гёдель Керр Керр–Ньюман Керр–Ньюман–де Ситтер Каснер Леметр–Толман Тауб–НУТ Милн Robertson–Walker Oppenheimer–Snyder pp-wave van Stockum dust Weyl−Lewis−Papapetrou Hartle–Thorne
Scientists Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedmann Milne Zwicky Lemaître Oppenheimer Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Yau Thorne others
Physics portal  Category
v t e

Формализм Арновитта –Дезера–Мизнера ( АДМ ) (названный по именам его авторов Ричарда Арновитта , Стэнли Дезера и Чарльза В. Мизнера ) — гамильтонова формулировка общей теории относительности , играющая важную роль в канонической квантовой гравитации и численной теории относительности . Впервые он был опубликован в 1959 году. ^[2]

Полный обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 году ^[3], был перепечатан в журнале General Relativity and Gravitation ^[4] , а оригинальные статьи можно найти в архивах Physical Review ^{[2] [5]} .

Формализм предполагает, что пространство-время расслаивается на семейство пространственноподобных поверхностей , помеченных их временной координатой , и с координатами на каждом срезе, заданными как . Динамическими переменными этой теории считаются метрический тензор трехмерных пространственных срезов и их сопряженные импульсы . Используя эти переменные, можно определить гамильтониан и тем самым записать уравнения движения для общей теории относительности в форме уравнений Гамильтона .${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

В дополнение к двенадцати переменным и , есть четыре множителя Лагранжа : функция перехода, , и компоненты поля вектора сдвига, . Они описывают, как каждый из «листьев» слоения пространства-времени спаян вместе. Уравнения движения для этих переменных могут быть свободно указаны; эта свобода соответствует свободе указания того, как расположить систему координат в пространстве и времени.${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{t}}$

Большинство ссылок принимают нотацию, в которой четырехмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, и что греческие индексы являются индексами пространства-времени, принимающими значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными индексами, принимающими значения (1, 2, 3). В выводе здесь верхний индекс (4) добавляется к величинам, которые обычно имеют как трехмерную, так и четырехмерную версию, например, метрический тензор для трехмерных срезов и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени .${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$

В тексте используется нотация Эйнштейна , в которой предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

Используются два типа производных: Частные производные обозначаются либо оператором , либо нижними индексами, перед которыми стоит запятая. Ковариантные производные обозначаются либо оператором , либо нижними индексами, перед которыми стоит точка с запятой.${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle \nabla _{i}}$

Абсолютное значение определителя матрицы коэффициентов метрического тензора представляется как (без индексов). Другие символы тензора, записанные без индексов, представляют след соответствующего тензора, например .${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}$

Разделение ADM обозначает разделение метрики пространства-времени на три пространственных компонента и один временной компонент (фолиацию). Оно разделяет метрику пространства-времени на ее пространственную и временную части, что облегчает изучение эволюции гравитационных полей. Основная идея состоит в том, чтобы выразить метрику пространства-времени в терминах функции интервала , которая представляет эволюцию времени между гиперповерхностями, и вектора сдвига , который представляет изменения пространственных координат между этими гиперповерхностями) вместе с трехмерной пространственной метрикой. Математически это разделение записывается как:

${\displaystyle ds^{2}=-N^{2}dt^{2}+g_{ij}(dx^{i}+N^{i}dt)(dx^{j}+N^{j}dt)}$

где — функция интервала, кодирующая эволюцию собственного времени, — вектор сдвига, кодирующий, как пространственные координаты изменяются между гиперповерхностями. — возникающая трехмерная пространственная метрика на каждой гиперповерхности. Это разложение позволяет разделить уравнения эволюции пространства-времени на ограничения (которые связывают начальные данные на пространственной гиперповерхности) и уравнения эволюции (которые описывают, как геометрия пространства-времени изменяется от одной гиперповерхности к другой).${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$

Отправной точкой для формулировки ADM является лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

который является произведением квадратного корня из определителя четырехмерного метрического тензора для полного пространства-времени и его скаляра Риччи . Это лагранжиан из действия Эйнштейна–Гильберта .

Желаемый результат вывода — определить вложение трехмерных пространственных срезов в четырехмерное пространство-время. Метрика трехмерных срезов

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

будут обобщенными координатами для гамильтоновой формулировки. Сопряженные импульсы могут быть вычислены как

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

с использованием стандартных методов и определений. Символы являются символами Кристоффеля, связанными с метрикой полного четырехмерного пространства-времени. Промежуток времени${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

и вектор сдвига

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

— оставшиеся элементы четырехметрического тензора.

Определив величины для формулировки, следующим шагом будет переписать лагранжиан в терминах этих переменных. Новое выражение для лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

удобно записывается в терминах двух новых величин

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

и

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

которые известны как гамильтоново ограничение и ограничение импульса соответственно. Провал и сдвиг появляются в лагранжиане как множители Лагранжа .

Хотя переменные в лагранжиане представляют собой метрический тензор в трехмерных пространствах, встроенных в четырехмерное пространство-время , возможно и желательно использовать обычные процедуры из лагранжевой механики для вывода «уравнений движения», которые описывают временную эволюцию как метрики , так и ее сопряженного импульса . Результат${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \pi ^{ij}}$

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных .

Принимая во внимание отклонения и сдвиг, получаем уравнения ограничений

${\displaystyle H=0}$

и

${\displaystyle P^{i}=0,}$

а сами отклонение и сдвиг могут быть свободно заданы, отражая тот факт, что системы координат могут быть свободно заданы как в пространстве, так и во времени.

Используя формулировку ADM, можно попытаться построить квантовую теорию гравитации таким же образом, как строится уравнение Шредингера, соответствующее заданному гамильтониану в квантовой механике . То есть, заменить канонические импульсы и пространственные метрические функции линейными функциональными дифференциальными операторами${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

Точнее, замена классических переменных операторами ограничена коммутационными соотношениями . Шляпы представляют операторы в квантовой теории. Это приводит к уравнению Уиллера–ДеВитта .

Существует относительно немного известных точных решений уравнений поля Эйнштейна . Для того, чтобы найти другие решения, существует активная область исследований, известная как численная теория относительности , в которой суперкомпьютеры используются для поиска приближенных решений уравнений. Для того, чтобы построить такие решения численно, большинство исследователей начинают с формулировки уравнений Эйнштейна, тесно связанной с формулировкой ADM. Наиболее распространенные подходы начинаются с задачи начального значения, основанной на формализме ADM.

В гамильтоновых формулировках основным моментом является замена набора уравнений второго порядка другим набором уравнений первого порядка. Мы можем получить этот второй набор уравнений с помощью гамильтоновой формулировки простым способом. Конечно, это очень полезно для численной физики, поскольку понижение порядка дифференциальных уравнений часто удобно, если мы хотим подготовить уравнения для компьютера.

Энергия ADM — это особый способ определения энергии в общей теории относительности , который применим только к некоторым специальным геометриям пространства-времени , которые асимптотически приближаются к хорошо определенному метрическому тензору на бесконечности — например, к пространству-времени, которое асимптотически приближается к пространству Минковского . Энергия ADM в этих случаях определяется как функция отклонения метрического тензора от его предписанной асимптотической формы. Другими словами, энергия ADM вычисляется как напряженность гравитационного поля на бесконечности.

Если требуемая асимптотическая форма не зависит от времени (например, само пространство Минковского), то она соблюдает симметрию трансляции во времени . Тогда теорема Нётер подразумевает, что энергия ADM сохраняется. Согласно общей теории относительности, закон сохранения полной энергии не выполняется в более общих, зависящих от времени фонах — например, он полностью нарушается в физической космологии . Космическая инфляция, в частности, способна производить энергию (и массу) из «ничего», поскольку плотность энергии вакуума примерно постоянна, но объем Вселенной растет экспоненциально .

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 году Деруэль и др. нашли метод нахождения граничного члена Гиббонса–Хокинга–Йорка для модифицированных теорий гравитации , «чей лагранжиан является произвольной функцией тензора Римана» ^{[6] .}

• Связь формулировки АДМ с другими гамильтоновыми формулировками общей теории относительности

Это сделано в работе М. Монтесинос и Дж. Ромеро «Связывание формулировки ADM с другими гамильтоновыми формулировками общей теории относительности», Phys. Rev. D 107, 044052 (2023). DOI 10.1103/PhysRevD.107.044052

• Канонические координаты
• Уравнение Гамильтона–Якоби–Эйнштейна
• метрика Переса
• Динамика формы

• Кифер, Клаус (2007). Квантовая гравитация . Оксфорд, Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921252-1.