Гамильтоново ограничение

Гамильтоново ограничение возникает из любой теории, которая допускает гамильтонову формулировку и является репараметризационной -инвариантной. Гамильтоново ограничение общей теории относительности является важным нетривиальным примером.

В контексте общей теории относительности гамильтоново ограничение технически относится к линейной комбинации пространственных и временных диффеоморфных ограничений, отражающих репараметризуемость теории как по пространственным, так и по временным координатам. Однако большую часть времени термин гамильтоново ограничение зарезервирован для ограничения, которое порождает временные диффеоморфизмы.

В своем обычном представлении классическая механика , по-видимому, отводит времени особую роль как независимой переменной. Однако это необязательно. Механику можно сформулировать так, чтобы она рассматривала переменную времени на той же основе, что и другие переменные в расширенном фазовом пространстве, параметризуя временную переменную(ые) в терминах общей, хотя и неопределенной переменной-параметра. Переменные фазового пространства находятся на той же основе.

Допустим, наша система состоит из маятника, совершающего простое гармоническое движение, и часов. В то время как классически система может быть описана положением x=x(t), где x определяется как функция времени, ту же систему можно также описать как x( ) и t( ), где связь между x и t не указана напрямую. Вместо этого x и t определяются параметром , который является просто параметром системы, возможно, не имеющим объективного значения сам по себе.${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \тау}$

Система будет описываться положением маятника относительно центра, обозначенного , и показанием на часах, обозначенным . Мы помещаем эти переменные на одну основу, вводя фиктивный параметр , чья «эволюция» относительно непрерывно проводит нас через все возможные корреляции между смещением и показанием на часах. Очевидно, что переменную можно заменить любой монотонной функцией , . Это то, что делает систему инвариантной к репараметризации. Обратите внимание, что благодаря этой инвариантности к репараметризации теория не может предсказать значение или для заданного значения , а только соотношение между этими величинами. Динамика тогда определяется этим соотношением.${\displaystyle x}$${\displaystyle т}$${\displaystyle \тау}$$${\displaystyle x(\tau ),\;\;\;\;t(\tau )}$$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \tau '=f(\tau)}$${\displaystyle x(\тау)}$${\displaystyle t(\тау)}$${\displaystyle \тау}$

Действие для параметризованного гармонического осциллятора тогда равно где и являются каноническими координатами, а и являются их сопряженными импульсами соответственно и представляют наше расширенное фазовое пространство (мы покажем, что можем восстановить обычные уравнения Ньютона из этого выражения). Записывая действие как мы идентифицируем как$${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right)\right],}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{t}}$$${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-{\mathcal {H}}(x,t;p,p_{t})\right]}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,t,\lambda ;p,p_{t})=\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right).}$$

Уравнения Гамильтона для , которые дают ограничение,${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle {\partial {\mathcal {H}} \over \partial \lambda }=0}$$$${\displaystyle C=p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}=0.}$$

${\displaystyle C}$является нашим гамильтоновым ограничением! Его также можно получить из уравнения движения Эйлера–Лагранжа, отметив, что действие зависит от , но не от его производной. Тогда переменные расширенного фазового пространства , , и ограничены принимать значения на этой гиперповерхности ограничения расширенного фазового пространства. Мы называем это «размазанным» гамильтоновым ограничением, где — произвольное число. «Размазанное» гамильтоново ограничение говорит нам, как переменная расширенного фазового пространства (или ее функция) эволюционирует относительно : (это на самом деле другие уравнения Гамильтона). Эти уравнения описывают поток или орбиту в фазовом пространстве. В общем случае для любой функции фазового пространства мы имеем . Поскольку гамильтоново ограничение Пуассона коммутирует само с собой, оно сохраняет себя и, следовательно, гиперповерхность ограничения. Возможные корреляции между измеримыми величинами, такими как и , затем соответствуют «орбитам», генерируемым ограничением внутри поверхности ограничения, каждая конкретная орбита отличается друг от друга, скажем, также измеряя значение скажем вместе с и в один момент времени; После определения конкретной орбиты мы можем предсказать, какое значение примет каждое измерение .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{t}}$${\displaystyle \lambda C}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle {dx \over d\tau }=\{x,\lambda C\},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=\{p,\lambda C\}\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\{t,\lambda C\},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=\{p_{t},\lambda C\}}$$$${\displaystyle {dF(x,p,t,p_{t}) \over d\tau }=\{F(x,p,t,p_{t}),\lambda C\}}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle x(\tau )}$${\displaystyle t(\tau )}$${\displaystyle p(\tau )}$${\displaystyle x(\tau )}$${\displaystyle t(\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t(\tau )}$${\displaystyle x(\tau )}$

Другие уравнения гамильтоновой механики :$${\displaystyle {dx \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial x};\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{t}},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}.}$$

При замене наших действий они дают,$${\displaystyle {dx \over d\tau }=\lambda {p \over m},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-\lambda m\omega ^{2}x;\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\lambda ,\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=0,}$$

Они представляют собой фундаментальные уравнения, управляющие нашей системой.

В случае параметризованной системы часов и маятника мы, конечно, можем восстановить обычные уравнения движения, в которых — независимая переменная:${\displaystyle t}$

Теперь и можно вывести${\displaystyle dx/dt}$${\displaystyle dp/dt}$

$${\displaystyle {dx \over dt}={dx \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={\lambda p/m \over \lambda }={p \over m}}$$$${\displaystyle {dp \over dt}={dp \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={-\lambda m\omega ^{2}x \over \lambda }=-m\omega ^{2}x.}$$

Мы восстанавливаем обычное дифференциальное уравнение для простого гармонического осциллятора,$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x.}$$

У нас также есть или${\displaystyle dp_{t}/dt=dp_{t}/d\tau {\big /}dt/d\tau =0}$${\displaystyle p_{t}=\mathrm {const} .}$

Наше гамильтоново ограничение тогда легко рассматривается как условие постоянства энергии! Депараметризация и идентификация переменной времени, относительно которой все эволюционирует, является противоположным процессом параметризации. В общем случае оказывается, что не все системы, инвариантные к репараметризации, могут быть депараметризованы. Общая теория относительности является простым физическим примером (здесь пространственно-временные координаты соответствуют нефизическим , а гамильтониан является линейной комбинацией ограничений, которые порождают пространственные и временные диффеоморфизмы).${\displaystyle \tau }$

Основная причина, по которой мы смогли провести депараметризацию (помимо того факта, что мы уже знаем, что это была искусственная репараметризация изначально), заключается в математической форме ограничения, а именно:$${\displaystyle C=p_{t}+C'(x,p).}$$

Подставим гамильтонову связь в исходное действие, и получим стандартное действие для гармонического осциллятора. Общая теория относительности является примером физической теории, где гамильтоновская связь не имеет указанной выше математической формы в общем случае и, следовательно, не может быть депараметризована в общем случае.$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda (p_{t}+C'(x,p))\right]\\&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p-{dt \over d\tau }C'(x,p)\right]\\&=\int dt\left[{dx \over dt}p-{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right]\end{aligned}}}$$

В формулировке ADM общей теории относительности пространство-время разбивается на пространственные слои и время, основными переменными считаются индуцированная метрика , , на пространственном слое ( метрика, индуцированная на пространственном слое метрикой пространства-времени), и ее сопряженная переменная импульса, связанная с внешней кривизной, , (это говорит нам о том, как пространственный слой искривляется относительно пространства-времени, и является мерой того, как индуцированная метрика эволюционирует во времени). ^[1] Это метрические канонические координаты .${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle K^{ab}(x)}$

Динамика, такая как временная эволюция полей, контролируется гамильтоновым ограничением .

Идентичность гамильтоновой связи является основным открытым вопросом в квантовой гравитации , как и извлечение физических наблюдаемых из любой такой конкретной связи.

В 1986 году Абхай Аштекар ввел новый набор канонических переменных, переменных Аштекара, чтобы представить необычный способ переписывания метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах калибровочного поля SU(2) и его дополнительной переменной. ^[2] Гамильтониан был значительно упрощен в этой переформулировке. Это привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности и, в свою очередь, петлевой квантовой гравитации . ^[3]

В представлении петлевой квантовой гравитации Тиман сформулировал математически строгий оператор как предложение такого ограничения. ^[4] Хотя этот оператор определяет полную и непротиворечивую квантовую теорию, были высказаны сомнения ^{[ кем? ]} относительно физической реальности этой теории из-за несоответствий с классической общей теорией относительности (алгебра квантовых ограничений замыкается, но она не изоморфна классической алгебре ограничений ОТО, что рассматривается как косвенное свидетельство несоответствий, но определенно не доказательство несоответствий), поэтому были предложены варианты.

Идея состояла в том, чтобы квантовать канонические переменные и , превратив их в операторы, действующие на волновые функции в пространстве 3-метрик, а затем квантовать гамильтониан (и другие ограничения). Однако эта программа вскоре стала считаться пугающе сложной по разным причинам, одной из которых была неполиномиальная природа гамильтониана ограничения: где — скалярная кривизна 3-метрики . Будучи неполиномиальным выражением в канонических переменных и их производных, очень трудно преобразовать в квантовый оператор .${\displaystyle q_{ab}}$${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$$${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-{}^{3}R)}$$${\displaystyle \;^{3}R}$${\displaystyle q_{ab}(x)}$

Конфигурационные переменные переменных Аштекара ведут себя как калибровочное поле или связь . Его канонически сопряженный импульс — это уплотненное «электрическое» поле или триада (уплотненная как ). Какое отношение эти переменные имеют к гравитации? Уплотненные триады можно использовать для реконструкции пространственной метрики с помощью${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

$${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$$

Плотные триады не являются уникальными, и на самом деле можно выполнить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов . Это фактически является источником калибровочной инвариантности. Связь может быть использована для реконструкции внешней кривизны. Соотношение задается как${\displaystyle i}$${\displaystyle SU(2)}$

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$$

где связано со спиновой связью , , соотношением и .${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

В терминах переменных Аштекара классическое выражение ограничения имеет вид:

$${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$$

где тензор напряженности поля калибровочного поля . Из-за фактора это неполиномиально по переменным Аштекара. Поскольку мы накладываем условие${\displaystyle F_{ab}^{k}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle H=0,}$$

Вместо этого мы могли бы рассмотреть уплотненный гамильтониан,

$${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0.}$$

Этот гамильтониан теперь является полиномиальным для переменных Аштекара. Это развитие породило новые надежды для канонической программы квантовой гравитации. ^[5] Хотя переменные Аштекара имели преимущество в упрощении гамильтониана, у них была проблема в том, что переменные становятся сложными. Когда кто-то квантует теорию, становится сложной задачей гарантировать, что он восстанавливает реальную общую теорию относительности, а не комплексную общую теорию относительности. Также были также серьезные трудности с продвижением уплотненного гамильтониана к квантовому оператору.

Способом решения проблемы условий реальности было отметить, что если мы возьмем сигнатуру , то есть евклидову вместо лоренцевской, то можно сохранить простую форму гамильтониана для но для действительных переменных. Затем можно определить то, что называется обобщенным вращением Вика, чтобы восстановить лоренцеву теорию. ^[6] Обобщенная, поскольку она является преобразованием Вика в фазовом пространстве и не имеет ничего общего с аналитическим продолжением параметра времени .${\displaystyle (+,+,+,+)}$${\displaystyle t}$

Томас Тиманн рассмотрел обе вышеуказанные проблемы. ^[4] Он использовал реальную связь

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$$

В действительных переменных Аштекара полный гамильтониан равен

$${\displaystyle H=-\zeta {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'.}$$

где константа — это параметр Барберо– Иммирци . ^[7] Константа равна -1 для лоренцевской сигнатуры и +1 для евклидовой сигнатуры. Они имеют сложную связь с уплотненными триадами и вызывают серьезные проблемы при квантовании. Переменные Аштекара можно рассматривать как выбор, чтобы сделать второй более сложный член был сделан равным нулю (первый член обозначен, потому что для евклидовой теории этот член остается для реального выбора ). Также у нас все еще есть проблема фактора .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \beta =i}$${\displaystyle H_{E}}$${\displaystyle \beta =\pm 1}$${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

Тиманн смог заставить это работать по-настоящему . Сначала он смог упростить проблемное, используя тождество${\displaystyle \beta }$${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$$

где объем,${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {\left|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}\right|}}.}$$

Первый член гамильтоновой связи становится

$${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$$

при использовании тождества Тимана. Эта скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании. Оказывается, что аналогичный трюк можно использовать для получения второго члена. Почему даются уплотненными триадами ? На самом деле это происходит из закона Гаусса${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

$${\displaystyle D_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0.}$$

Мы можем решить это во многом таким же образом, как связь Леви-Чивиты может быть вычислена из уравнения ; вращая различные индексы, а затем добавляя и вычитая их. Результат сложный и нелинейный. Чтобы обойти проблемы, вызванные этим сложным соотношением, Тиман сначала определяет инвариантную величину калибровки Гаусса${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$

$${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$$

где , и отмечает, что${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}.}$$

Затем мы можем написать

$${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$$

и как таковое находим выражение в терминах конфигурационной переменной и . Получаем для второго члена гамильтониана${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle K}$

$${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}.}$$

Почему его проще квантовать ? Это потому, что его можно переписать в терминах величин, которые мы уже знаем, как квантовать. В частности, можно переписать как${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

$${\displaystyle K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}}$$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны является «производной объема по времени».

• Обзор Карло Ровелли
• Хорошая информация о LQG