Функция распределения Вигнера

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2015 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Математика хранится в виде изображений. Please help improve this article if you can. (November 2017) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

Функция распределения Вигнера (WDF) используется при обработке сигналов в качестве преобразования в частотно-временном анализе .

Впервые WDF была предложена в физике для учета квантовых поправок к классической статистической механике в 1932 году Юджином Вигнером и имеет важное значение в квантовой механике в фазовом пространстве (см. для сравнения: распределение квазивероятностей Вигнера , также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера–Вилля ).

Учитывая общую алгебраическую структуру между парами положение-импульс и время-частота , она также полезно служит в обработке сигналов, как преобразование в частотно-временном анализе, предмете этой статьи. По сравнению с кратковременным преобразованием Фурье , таким как преобразование Габора , функция распределения Вигнера обеспечивает максимально возможное временное и частотное разрешение, которое математически возможно в рамках ограничений принципа неопределенности. Недостатком является введение больших перекрестных членов между каждой парой компонентов сигнала и между положительными и отрицательными частотами, что делает исходную формулировку функции плохо подходящей для большинства аналитических приложений. Были предложены последующие модификации, которые сохраняют четкость функции распределения Вигнера, но в значительной степени подавляют перекрестные члены.

Существует несколько различных определений функции распределения Вигнера. Определение, данное здесь, относится к частотно-временному анализу. Учитывая временной ряд , его нестационарная функция автоковариации задается как${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

где обозначает среднее значение по всем возможным реализациям процесса, а — среднее значение, которое может быть или не быть функцией времени. Функция Вигнера затем задается путем выражения функции автокорреляции сначала через среднее время и задержку , а затем путем преобразования Фурье задержки.${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle W_{x}(t,f)}$${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Таким образом, для одного временного ряда (среднего значения равного нулю) функция Вигнера просто задается выражением

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Мотивация функции Вигнера заключается в том, что она сводится к функции спектральной плотности во все времена для стационарных процессов, но при этом полностью эквивалентна нестационарной функции автокорреляции. Таким образом, функция Вигнера говорит нам (приблизительно), как спектральная плотность изменяется во времени.${\displaystyle t}$

Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как WDF используется в частотно-временном анализе.

Когда входной сигнал постоянен, его распределение по времени и частоте представляет собой горизонтальную линию вдоль оси времени. Например, если x ( t ) = 1, то

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

Когда входной сигнал является синусоидальной функцией, его распределение по времени и частоте представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени, смещенную от нее на частоту синусоидального сигнала. Например, если x ( t ) = e ^{i2π kt} , то

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}$

Когда входной сигнал является линейной функцией чирпа , мгновенная частота является линейной функцией. Это означает, что распределение частоты во времени должно быть прямой линией. Например, если

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$,

тогда его мгновенная частота равна

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

и его WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

Когда входной сигнал является дельта-функцией, поскольку он не равен нулю только при t=0 и содержит бесконечные частотные компоненты, его распределение по времени и частоте должно быть вертикальной линией через начало координат. Это означает, что распределение по времени и частоте дельта-функции также должно быть дельта-функцией. По WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}$

Функция распределения Вигнера лучше всего подходит для частотно-временного анализа, когда фаза входного сигнала имеет 2-й порядок или ниже. Для таких сигналов WDF может точно генерировать частотно-временное распределение входного сигнала.

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$,

прямоугольная функция ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Функция распределения Вигнера не является линейным преобразованием. Перекрестный член («такты времени») возникает, когда во входном сигнале присутствует более одного компонента, аналогичного по времени частотным тактам . ^[1] В предковой физике распределении квазивероятности Вигнера этот член имеет важные и полезные физические следствия, необходимые для точных значений ожидания. Напротив, кратковременное преобразование Фурье не имеет этой особенности. Отрицательные особенности ВДФ отражают предел Габора классического сигнала и физически не связаны с какой-либо возможной основой квантовой структуры.

Ниже приведены некоторые примеры, демонстрирующие перекрестную особенность функции распределения Вигнера.

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

Для уменьшения перекрестной трудности в литературе было предложено несколько подходов ^{[2] [3],} некоторые из которых привели к новым преобразованиям, таким как модифицированная функция распределения Вигнера , преобразование Габора–Вигнера , функция распределения Чои–Вильямса и распределение классов Коэна .

Функция распределения Вигнера обладает несколькими очевидными свойствами, перечисленными в следующей таблице.

Проекционное свойство

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Энергетическая собственность

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

Восстановление собственности

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

Средняя частота состояний и среднее время состояний

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Свойства момента

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

Недвижимость

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

Свойства региона

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

Теорема умножения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

Теорема о свертке

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

Теорема корреляции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

Ковариация сдвига во времени

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

Ковариация модуляции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

Масштабная ковариация

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

Когда сигнал не ограничен по времени, его функцию распределения Вигнера трудно реализовать. Таким образом, мы добавляем новую функцию (маску) к его части интегрирования, так что нам нужно реализовать только часть исходной функции вместо того, чтобы интегрировать весь путь от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Исходная функция: Функция с маской: является реальной и ограниченной по времени${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Согласно определению:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Предположим, что для и${\displaystyle w(t)=0}$${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$${\displaystyle p<-Q}$${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Мы берем в качестве примера${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

где действительная функция${\displaystyle w(\tau )}$

А затем мы сравниваем разницу между двумя условиями.

Идеально:${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

Когда функция маски активна , это означает отсутствие функции маски.${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$ ${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

Затем рассмотрим условие с функцией маски:

Мы видим, что имеют значение только между –B и B, таким образом, проведение с может удалить перекрестный член функции. Но если x(t) не является дельта-функцией или узкочастотной функцией, вместо этого это функция с широкой частотой или пульсацией. Край сигнала может все еще существовать между –B и B, что все еще вызывает проблему перекрестного члена.${\displaystyle w(\tau )}$${\displaystyle w(\tau )}$

например:

• Частотно-временное представление
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектрограмма
• преобразование Габора
• Автокорреляция
• Преобразование Габора–Вигнера
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Теорема оптической эквивалентности
• Полиномиальное распределение Вигнера–Вилля
• Функция распределения классов Коэна
• Распределение квазивероятности Вигнера
• Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе
• Билинейная зависимость частоты от времени

• Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия» (PDF) . Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl :10338.dmlcz/141466.
• Ж. Виль, 1948. «Теория и применение понятия анализа сигналов», Câbles et Transmission , 2 , 61–74.
• TACM Classen и WFG Mecklenbrauker, 1980. «Распределение Вигнера — инструмент для частотно-временного анализа сигналов; Часть I», Philips J. Res., т. 35, стр. 217–250.
• Л. Коэн (1989): Труды IEEE 77 стр. 941–981, Частотно-временные распределения --- обзор
• Л. Коэн, Частотно-временной анализ , Prentice-Hall, Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322 
• С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения , Глава 5, Prentice Hall, Нью-Джерси, 1996.
• B. Boashash, «Note on the Use of the Wigner Distribution for Time-Frequency Signal Analysis», IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , Vol. 36 , No. 9, pp. 1518–1521, Sept. 1988. doi :10.1109/29.90380. B. Boashash, редактор, Time-Frequency Signal Analysis and Processing – A Comprehensive Reference , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• Ф. Хлаватч, Г. Ф. Будро-Бартельс : «Линейное и квадратичное представление сигнала по времени и частоте», Журнал обработки сигналов IEEE, стр. 21–67, апрель 1992 г.
• RL Allen и DW Mills, Анализ сигналов: время, частота, масштаб и структура , Wiley-Interscience, Нью-Джерси, 2004.
• Цзянь-Цзюнь Дин, Заметки к занятиям по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию, Кафедра электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2015.
• Какофенгитис, Д. и Штойернагель, О. (2017). «Ток квантового фазового пространства Вигнера в слабоангармонических слабовозбужденных двухуровневых системах» European Physical Journal Plus 14.07.2017

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Функция распределения Вигнера» .

Найдите функцию распределения Вигнера в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Sonogram Visible Speech — бесплатное программное обеспечение под лицензией GPL для визуального извлечения дистрибутива Вигнера.