Модифицированная функция распределения Вигнера

Примечание: функция распределения Вигнера здесь сокращенно обозначается как WD, а не WDF, как в функции распределения Вигнера.

Модифицированная функция распределения Вигнера — это разновидность функции распределения Вигнера (WD) с уменьшенными или удаленными перекрестными членами.

Распределение Вигнера (WD) было впервые предложено для поправок к классической статистической механике в 1932 году Юджином Вигнером . Функция распределения Вигнера , или распределение Вигнера–Вилля (WVD) для аналитических сигналов, также имеет приложения в частотно-временном анализе. Распределение Вигнера дает лучшую локализацию автотермов по сравнению с размытой спектрограммой (SP). Однако при применении к сигналу с многочастотными компонентами появляются перекрестные члены из-за его квадратичной природы. Было предложено несколько методов для уменьшения перекрестных членов. Например, в 1994 году Любиша Станкович предложил новый метод, который сейчас в основном называют S-методом, приводящий к уменьшению или удалению перекрестных членов. Концепция S-метода представляет собой комбинацию спектрограммы и псевдораспределения Вигнера (PWD), оконной версии WD.

Исходный WD, спектрограмма и модифицированные WD принадлежат к классу билинейных частотно-временных представлений Коэна :

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}$

где — функция ядра Коэна , которая часто является функцией нижних частот и обычно служит для маскировки помех в исходном представлении Вигнера.${\displaystyle \Пи \влево(т,ф\вправо)}$

• Распределение Вигнера

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{ -j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Функция ядра Коэна:${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}$

• Спектрограмма

${\displaystyle SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}$

где — кратковременное преобразование Фурье . ${\displaystyle ST_{x}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

Функция ядра Коэна: которая является WD самой оконной функции. Это можно проверить, применив свойство свертки функции распределения Вигнера .${\displaystyle \Pi (t,f)=W_{h}(t,f)}$

Спектрограмма не может создавать помех, поскольку она представляет собой квадратичное распределение с положительными значениями.

• Модифицированная форма I

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Невозможно решить задачу перекрестных членов, однако можно решить проблему разницы во времени двух компонентов, превышающей размер окна B.

• Модифицированная форма II

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }$

• Модифицированная форма III (Псевдо-L-распределение Вигнера)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(r+\tau /2L){\overline {x^{*L}(t-\tau /2L)}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Где L — любое целое число больше 0

Увеличение L может уменьшить влияние перекрестного члена (однако оно не может устранить его полностью)

Например, для L=2 доминирующий третий член делится на 4 (что эквивалентно 12 дБ).

Это дает значительное улучшение по сравнению с распределением Вигнера.

Свойства распределения L-Вигнера:

1. Распределение Л-Вигнера всегда реально.
2. Если сигнал сдвинут во времени , то его LWD также сдвинут во времени,${\displaystyle x(t-t0)}$${\displaystyle LWD:W_{x}(t-t0,f)}$
3. LWD модулированного сигнала смещен по частоте${\displaystyle x(t)\exp(j\omega _{0}t)}$${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f-f0)}$
4. Если сигнал ограничен во времени, то распределение L-Вигнера ограничено во времени,${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,}$${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T}$
5. Если сигнал ограничен полосой пропускания ( ), то он ограничен и в частотной области величиной .${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f_{m}}$${\displaystyle F(f)=0}$${\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}}$${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$${\displaystyle f_{m}}$
6. Интеграл распределения Л-Вигнера по частоте равен обобщенной мощности сигнала:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}}$
7. Интеграл по времени и частоте равен мощности нормы сигнала :${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$${\displaystyle 2L^{th}}$${\displaystyle 2L^{th}}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}$

1. Интеграл по времени равен:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}$

1. При большом значении можно пренебречь всеми значениями , сравнивая их со значениями в точках , где распределение достигает своего существенного супремума:${\displaystyle L(L\rightarrow \infty )}$${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$${\displaystyle (t_{m},f_{m})}$

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}}$

• Модифицированная форма IV (полиномиальная функция распределения Вигнера)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Когда и , она становится исходной функцией распределения Вигнера.${\displaystyle q=2}$${\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}$

Это позволяет избежать перекрестного члена, когда порядок фазы экспоненциальной функции не больше, чем${\displaystyle q/2+1}$

Однако перекрестный член между двумя компонентами удалить невозможно.

${\displaystyle d_{l}}$должны быть выбраны правильно, так чтобы

${\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau }$

${\displaystyle \cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}$

Если${\displaystyle x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}}$

когда , ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}$

${\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}$

• Псевдораспределение Вигнера

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

Функция ядра Коэна: которая сосредоточена на оси частот.${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}$

Обратите внимание, что псевдо-Вигнер можно также записать как преобразование Фурье «спектральной корреляции» STFT

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

• Сглаженное псевдораспределение Вигнера  :

В псевдо-Вигнере временное окно действует как сглаживание направления частоты. Поэтому оно подавляет компоненты помех распределения Вигнера, которые колеблются в направлении частоты. Сглаживание направления времени может быть реализовано путем временной свертки PWD с функцией нижних частот  :${\displaystyle q}$

${\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}$

Функция ядра Коэна: где — преобразование Фурье окна .${\displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w}$

Таким образом, ядро, соответствующее сглаженному псевдораспределению Вигнера, имеет разделимую форму. Обратите внимание, что даже если SPWD и S-метод оба сглаживают WD во временной области, они не эквивалентны в общем случае.

• S-метод

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

Функция ядра Коэна:${\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}$

S-метод ограничивает диапазон интеграла PWD с помощью низкочастотной оконной функции преобразования Фурье . Это приводит к удалению перекрестных членов, не размывая авточлены, которые хорошо сконцентрированы вдоль оси частот. S-метод устанавливает баланс в сглаживании между псевдо-Вигнеровским распределением [ ] и спектрограммой мощности [ ].${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle PW_{x}}$${\displaystyle g(t)=1}$${\displaystyle SP_{x}}$${\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}$

Обратите внимание, что в оригинальной статье 1994 года Станкович определяет S-метод с помощью модулированной версии кратковременного преобразования Фурье:

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu }$

где

${\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}$

Даже в этом случае у нас все еще есть

${\displaystyle \Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}$

• Частотно-временное представление
• Функция распределения Вигнера
• Билинейная зависимость частоты от времени
• Кратковременное преобразование Фурье
• преобразование Габора

• П. Гонсалвес и Р. Баранюк, «Псевдоаффинные распределения Вигнера: определение и формулировка ядра», Труды IEEE по обработке сигналов, т. 46, № 6, июнь 1998 г.
• Л. Станкович, «Метод частотно-временного анализа», Труды IEEE по обработке сигналов, т. 42, № 1, январь 1994 г.
• LJ Stankovic, S. Stankovic и E. Fakultet, «Анализ мгновенного частотного представления с использованием распределений частот по времени — обобщенного распределения Вигнера», IEEE Trans. on Signal Processing, стр. 549-552, т. 43, № 2, февраль 1995 г.