Билинейная зависимость частоты от времени

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2013 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Билинейные распределения времени-частоты или квадратичные распределения времени-частоты возникают в подобласти анализа и обработки сигналов, называемой обработкой сигналов времени-частоты , и в статистическом анализе данных временных рядов . Такие методы используются, когда необходимо иметь дело с ситуацией, когда частотный состав сигнала может меняться с течением времени; ^[1] эта подобласть раньше называлась анализом сигналов времени-частоты, а теперь ее чаще называют обработкой сигналов времени-частоты из-за прогресса в использовании этих методов для широкого спектра задач обработки сигналов.

Методы анализа временных рядов, как в анализе сигналов, так и в анализе временных рядов , были разработаны как по сути отдельные методологии, применимые и основанные либо на временной, либо на частотной области . Смешанный подход требуется в методах анализа времени и частоты , которые особенно эффективны при анализе нестационарных сигналов, распределение частот и величина которых изменяются со временем. Примерами являются акустические сигналы. Классы «квадратичных распределений время-частота» (или билинейных распределений время-частота») используются для анализа сигналов время-частота. Этот класс по формулировке похож на функцию распределения классов Коэна, которая использовалась в 1966 году в контексте квантовой механики. Эта функция распределения математически похожа на обобщенное представление время-частота , которое использует билинейные преобразования. По сравнению с другими методами анализа время-частота , такими как кратковременное преобразование Фурье (STFT), билинейное преобразование (или квадратичные распределения время-частота) может не иметь большей ясности для большинства практических сигналов, но оно предоставляет альтернативную основу для исследования новых определений и новых методов. Хотя оно и страдает от неотъемлемого перекрестного загрязнения членов при анализе многокомпонентных сигналов, с помощью тщательно выбранной функции(й) окна помехи могут быть значительно смягчены за счет разрешения. Все эти билинейные распределения являются взаимопревращаемыми друг в друга, см. преобразование между распределениями в анализе время-частота .

Распределение Вигнера-Вилле представляет собой квадратичную форму, которая измеряет локальную частотно-временную энергию, определяемую как:

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)f^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }\,d\tau }$

Распределение Вигнера–Вилле остается действительным, поскольку является преобразованием Фурье функции f ( u  +  τ /2)· f *( u  −  τ /2), которая имеет эрмитову симметрию относительно τ . Его также можно записать как частотное интегрирование, применив формулу Парсеваля:

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\left(\xi +{\tfrac {\gamma }{2}}\right){\hat {f}}^{*}\left(\xi -{\tfrac {\gamma }{2}}\right)e^{i\gamma u}\,d\gamma }$

Предложение 1. для любого f из L ² (R)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

Теорема Мойала. Для f и g в L ² (R),

${\displaystyle 2\pi \left|\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g^{*}(t)\,dt\right|^{2}=\iint {P_{V}f(u,\xi )}P_{V}g(u,\xi )\,du\,d\xi }$

Предложение 2 (носитель времени-частоты). Если f имеет компактный носитель, то для всех ξ носитель вдоль u равен носителю f . Аналогично, если имеет компактный носитель, то для всех u носитель вдоль ξ равен носителю .${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

Предложение 3 (мгновенная частота). Если то${\displaystyle f_{a}(t)=a(t)e^{i\phi (t)}}$

${\displaystyle \phi '(u)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\xi P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }{\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }}}$

Пусть будет составным сигналом. Тогда мы можем записать,${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}}$

${\displaystyle P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{2}+P_{V}\left[f_{1},f_{2}\right]+P_{V}\left[f_{2},f_{1}\right]}$

где

${\displaystyle P_{V}[h,g](u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }h\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)g^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }d\tau }$

является кросс-распределением Вигнера-Вилле двух сигналов. Интерференционный член

${\displaystyle I[f_{1},f_{2}]=P_{V}[f_{1},f_{2}]+P_{V}[f_{2},f_{1}]}$

является действительной функцией, которая создает ненулевые значения в неожиданных местах (близко к началу координат) на плоскости. Интерференционные члены, присутствующие в реальном сигнале, можно избежать, вычислив аналитическую часть .${\displaystyle (u,\xi )}$${\displaystyle f_{a}(t)}$

Интерференционные члены являются осциллирующими, поскольку предельные интегралы исчезают и могут быть частично удалены путем сглаживания с помощью ядра  θ${\displaystyle P_{V}f}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{P_{V}f(u',\xi ')}}\theta (u,u',\xi ,\xi ')\,du'\,d\xi '}$

Частотно-временное разрешение этого распределения зависит от распространения ядра θ в окрестности . Поскольку помехи принимают отрицательные значения, можно гарантировать, что все помехи будут устранены, наложив, что${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )\geq 0,\qquad \forall (u,\xi )\in {{\mathbf {R} }^{2}}}$

Спектрограмма и скалограмма являются примерами положительных распределений энергии по времени и частоте. Пусть линейное преобразование определено над семейством атомов по времени и частоте . Для любого существует уникальный атом с центром по времени и частоте в . Результирующая плотность энергии по времени и частоте равна ${\displaystyle Tf(\gamma )=\left\langle f,\phi _{\gamma }\right\rangle }$${\displaystyle \left\{\phi _{\gamma }\right\}_{\gamma \in \Gamma }}$${\displaystyle (u,\xi )}$${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}}$${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )=\left|\left\langle f,\phi _{\gamma (u,\xi )}\right\rangle \right|^{2}}$

Из формулы Мойала,

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u',\xi ')P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')\,du'\,d\xi '}$

что является усреднением частоты по времени распределения Вигнера–Вилле. Таким образом, сглаживающее ядро ​​можно записать как

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$

Потеря частотно-временного разрешения зависит от разброса распределения в окрестности .${\displaystyle P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$${\displaystyle (u,\xi )}$

Спектрограмма, рассчитанная с помощью оконных атомов Фурье,

${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}(t)=g(t-u)e^{i\xi t}}$

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}g(u'-u,\xi '-\xi )}$

Для спектрограммы усреднение Вигнера–Вилле, таким образом, является двумерной сверткой с . Если g — гауссово окно, — двумерная гауссиана. Это доказывает, что усреднение с достаточно широкой гауссианой определяет положительную плотность энергии. Общий класс распределений времени и частоты, полученных сверткой с произвольным ядром θ, называется классом Коэна, который обсуждается ниже.${\displaystyle P_{V}g}$${\displaystyle P_{V}g}$${\displaystyle P_{V}f}$${\displaystyle P_{V}f}$

Теорема Вигнера. Не существует положительного квадратичного распределения энергии Pf , удовлетворяющего следующим временным и частотным предельным интегралам:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

Определение класса билинейных (или квадратичных) распределений времени-частоты по Коэну выглядит следующим образом:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}$

где — функция неоднозначности (AF), которая будет обсуждаться позже; и — функция ядра Коэна , которая часто является функцией нижних частот и обычно служит для маскировки помех. В исходном представлении Вигнера .${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )}$${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )}$${\displaystyle \Phi \equiv 1}$

Эквивалентное определение основано на свертке функции распределения Вигнера (WD) вместо AF:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu =[W_{x}\ast \Pi ](t,f)}$

где функция ядра определена в частотно-временной области вместо области неоднозначности. В исходном представлении Вигнера, . Связь между двумя ядрами та же, что и между WD и AF, а именно два последовательных преобразования Фурье (см. диаграмму).${\displaystyle \Pi (t,f)}$${\displaystyle \Pi =\delta _{(0,0)}}$

${\displaystyle \Phi ={\mathcal {F}}_{t}{\mathcal {F}}_{f}^{-1}\Pi }$

то есть

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi (t,f)\exp(-j2\pi (t\eta -f\tau ))\,dt\,df,}$

или эквивалентно

${\displaystyle \Pi (t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau .}$

Класс билинейных (или квадратичных) распределений времени-частоты проще всего понять в терминах функции неопределенности , объяснение которой приведено ниже.

Рассмотрим хорошо известную спектральную плотность мощности и функцию автокорреляции сигнала в случае стационарного процесса. Связь между этими функциями следующая:${\displaystyle P_{x}(f)}$${\displaystyle R_{x}(\tau )}$

${\displaystyle P_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\,dt.}$

Для нестационарного сигнала эти соотношения можно обобщить, используя зависящую от времени спектральную плотность мощности или, что эквивалентно, известную функцию распределения Вигнера следующим образом :${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right).}$

Если преобразование Фурье автокорреляционной функции взять по t вместо τ , то получим функцию неоднозначности следующим образом:

${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j2\pi t\eta }\,dt.}$

Связь между функцией распределения Вигнера, функцией автокорреляции и функцией неоднозначности можно проиллюстрировать на следующем рисунке.

Сравнивая определение билинейных (или квадратичных) распределений времени-частоты с определением функции распределения Вигнера, легко обнаружить, что последнее является частным случаем первого с . В качестве альтернативы билинейные (или квадратичные) распределения времени-частоты можно рассматривать как замаскированную версию функции распределения Вигнера, если выбрана функция ядра . Правильно выбранная функция ядра может значительно уменьшить нежелательный перекрестный член функции распределения Вигнера.${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )\neq 1}$

В чем преимущество дополнительной функции ядра? На следующем рисунке показано распределение авточлена и перекрестного члена многокомпонентного сигнала как в функции неоднозначности, так и в функции распределения Вигнера.

Для многокомпонентных сигналов в целом распределение его авточлена и перекрестного члена в пределах его функции распределения Вигнера, как правило, непредсказуемо, и, следовательно, перекрестный член не может быть легко удален. Однако, как показано на рисунке, для функции неоднозначности авточлен многокомпонентного сигнала будет изначально стремиться закрыть начало координат в плоскости ητ , а перекрестный член будет стремиться быть вдали от начала координат. Благодаря этому свойству перекрестный член в можно легко отфильтровать, если применить надлежащую низкочастотную функцию ядра в области ητ . Ниже приведен пример, демонстрирующий, как отфильтровывается перекрестный член.

Преобразование Фурье равно${\displaystyle \theta (u,\xi )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\tau ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\theta (u,\xi )e^{-i(u\gamma +\xi \tau )}\,du\,d\xi }$

Следующее предложение дает необходимые и достаточные условия для обеспечения того, что удовлетворяет предельным энергетическим свойствам, таким как свойства распределения Вигнера–Вилля.${\displaystyle P_{\theta }}$

Предложение: Свойства предельной энергии

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2},}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

удовлетворяются для всех тогда и только тогда, когда${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \forall (\tau ,\gamma )\in \mathbf {R} ^{2}:\qquad {\hat {\theta }}(\tau ,0)={\hat {\theta }}(0,\gamma )=1}$

Вышеупомянутая функция распределения Вигнера является членом класса квадратичных частотно-временных распределений (QTFD) с функцией ядра . Определение распределения Вигнера следующее:${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

Мы можем спроектировать частотно-временные распределения энергии, которые удовлетворяют свойству масштабирования

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)\longleftrightarrow P_{V}f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right)}$

как и распределение Вигнера-Вилле. Если

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)}$

затем

${\displaystyle P_{\theta }g(u,\xi )=P_{\theta }f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right).}$

Это эквивалентно навязыванию того, что

${\displaystyle \forall s\in \mathbf {R} ^{+}:\qquad \theta \left(su,{\tfrac {\xi }{s}}\right)=\theta (u,\xi ),}$

и, следовательно,

${\displaystyle \theta (u,\xi )=\theta (u\xi ,1)=\beta (u\xi )}$

Распределения Рихачека и Чои–Вильямса являются примерами аффинно-инвариантных распределений классов Коэна.

Ядро распределения Чоя–Вильямса определяется следующим образом:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp(-\alpha (\eta \tau )^{2}),}$

где α — регулируемый параметр.

Ядро распределения Рихачека определяется следующим образом:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp \left(-i2\pi {\frac {\eta \tau }{2}}\right),}$

С этим конкретным ядром простой расчет доказывает, что

${\displaystyle C_{x}(t,f)=x(t){\hat {x}}^{*}(f)e^{i2\pi tf}}$

Ядро функции распределения конусообразной формы определяется следующим образом:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )={\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right),}$

где α — регулируемый параметр. См. Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе . Больше таких QTFD и полный список можно найти, например, в цитируемом тексте Коэна.

Изменяющийся во времени спектр для нестационарных процессов определяется из ожидаемого распределения Вигнера–Вилле. Локально стационарные процессы возникают во многих физических системах, где случайные флуктуации производятся механизмом, который медленно изменяется во времени. Такие процессы могут быть локально аппроксимированы стационарным процессом. Пусть будет действительным процессом с нулевым средним и ковариацией${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle R(t,s)=E[X(t)X(s)]}$

Ковариационный оператор K определяется для любого детерминированного сигнала следующим образом:${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,s)f(s)\,ds}$

Для локально стационарных процессов собственные векторы K хорошо аппроксимируются спектром Вигнера–Вилля.

Свойства ковариации изучаются как функция и :${\displaystyle R(t,s)}$${\displaystyle \tau =t-s}$${\displaystyle u={\frac {t+s}{2}}}$

${\displaystyle R(t,s)=R\left(u+{\tfrac {\tau }{2}},u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)=C(u,\tau )}$

Процесс является стационарным в широком смысле, если ковариация зависит только от :${\displaystyle \tau =t-s}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(t-s)f(s)\,ds=C*f(t)}$

Собственные векторы представляют собой комплексные экспоненты , а соответствующие собственные значения задаются спектром мощности.${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle P_{X}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }C(\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau }$

Для нестационарных процессов Мартин и Фландрен ввели изменяющийся во времени спектр

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }C(u,\tau )e^{-i\xi \tau }\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }E\left[X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right]e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

Чтобы избежать проблем со сходимостью, мы предполагаем, что X имеет компактный носитель, так что имеет компактный носитель в . Из вышесказанного мы можем записать${\displaystyle C(u,\tau )}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=E[P_{V}X(u,\xi )]}$

что доказывает, что изменяющийся во времени спектр является ожидаемым значением преобразования Вигнера–Вилля процесса X. Здесь стохастический интеграл Вигнера–Вилля интерпретируется как среднеквадратичный интеграл: ^[2]

${\displaystyle P_{V}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right\}e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

• Л. Коэн, Частотно-временной анализ, Prentice-Hall, Нью-Йорк, 1995. ISBN  978-0135945322
• Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003.
• Л. Коэн, «Частотно-временные распределения — обзор», Труды IEEE, т. 77, № 7, стр. 941–981, 1989.
• С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения, Глава 5, Prentice Hall, Нью-Джерси, 1996.
• H. Choi и WJ Williams, "Улучшенное частотно-временное представление многокомпонентных сигналов с использованием экспоненциальных ядер", IEEE. Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, т. 37, № 6, стр. 862–871, июнь 1989 г.
• Y. Zhao, LE Atlas и RJ Marks, «Использование ядер в форме конуса для обобщенных частотно-временных представлений нестационарных сигналов», IEEE Trans. Акустика, речь, обработка сигналов, т. 38, № 7, стр. 1084–1091, июль 1990 г.
• Б. Боашаш, «Эвристическая формулировка частотно-временных распределений», Глава 2, стр. 29–58, в книге Б. Боашаш, редактора, Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник, Elsevier Science, Оксфорд, 2003.
• Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», Глава 3, стр. 59–82, в книге Б. Боашаш, редактора, Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник, Elsevier, Оксфорд, 2003.