Энтропия фон Неймана

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Возможно, потребуется переписать вводный раздел статьи .Пожалуйста, помогите улучшить лид и прочитайте руководство по его составлению . ( октябрь 2021 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может быть написана в слишком абстрактном стиле, чтобы быть понятной широкой аудитории .Пожалуйста, улучшите его, определив техническую терминологию и добавив примеры. ( октябрь 2021 г. ) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Von Neumann entropy" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2021) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

В физике энтропия фон Неймана , названная в честь Джона фон Неймана , является расширением концепции энтропии Гиббса из классической статистической механики в квантовую статистическую механику . Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна ^[1]

${\displaystyle S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$

где обозначает след , а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если матрица плотности ρ записана в базисе ее собственных векторов как${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,}$

тогда энтропия фон Неймана равна просто ^[1]

${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$

В этой форме S можно рассматривать как энтропию Шеннона в теории информации . ^[1]

Энтропия фон Неймана также используется в различных формах ( условные энтропии , относительные энтропии и т. д.) в рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности . ^[2]

This section has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This section relies excessively on references to primary sources. Please improve this section by adding secondary or tertiary sources. Find sources: "Von Neumann entropy" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2021) (Learn how and when to remove this message) This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (October 2021) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

Джон фон Нейман создал строгую математическую основу для квантовой механики в своей работе 1932 года «Математические основы квантовой механики» . ^[3] В ней он представил теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон-неймановское или проективное измерение).

Матрица плотности была введена, с разными мотивами, фон Нейманом и Львом Ландау . Мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. ^[4] С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для того, чтобы развить как квантовую статистическую механику, так и теорию квантовых измерений.

Разработанный таким образом формализм матрицы плотности расширил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классическом подходе распределение вероятностей и статсумма системы позволяют нам вычислять все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, чтобы она играла ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислять все средние квантовые сущности концептуально схожим, но математически иным способом.

Предположим, что у нас есть набор волновых функций | Ψ〉, которые параметрически зависят от набора квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Естественной переменной, которую мы имеем, является амплитуда, с которой конкретная волновая функция базового набора участвует в фактической волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Мы должны проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и что она обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) делает p функцией только энергии.

После этой процедуры, наконец, приходим к формализму матрицы плотности, когда ищем форму, где p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) инвариантно относительно используемого представления. В той форме, в которой оно записано, оно даст только правильные значения ожиданий для величин, которые являются диагональными относительно квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N .

Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, что мы кодируем квантовые числа n ₁ , n ₂ , ..., n _N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид

${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\sum _{i}a_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle .}$

Ожидаемое значение оператора B, который не является диагональным в этих волновых функциях, поэтому

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .}$

Роль, которая изначально отводилась величинам, таким образом , берет на себя матрица плотности системы S.${\displaystyle \left|a_{i}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle j\right|\rho \left|i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}.}$

Следовательно, 〈B〉 читается как

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\operatorname {tr} (\rho B).}$

Инвариантность вышеуказанного термина описывается теорией матриц. След инвариантен относительно циклических перестановок, и обе матрицы ρ и B могут быть преобразованы в любой удобный базис, обычно в базис собственных векторов. Циклическими перестановками произведения матриц можно увидеть, что возникнет единичная матрица, и поэтому след не будет затронут изменением базиса. Была описана математическая структура, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемых матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности и оператора (скалярное произведение Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он применим также и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано чистым состоянием , а как статистический оператор вышеуказанной формы. Математически это положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом.${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию ^{[5] [6]} как

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$

что является надлежащим расширением энтропии Гиббса (до множителя k _B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S( ρ ) удобно (см. логарифм матрицы ) вычислить собственное разложение . Тогда энтропия фон Неймана задается как${\displaystyle ~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|}$

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет собой чистое состояние.
• S ( ρ ) максимальна и равнадля максимально смешанного состояния , где N — размерность гильбертова пространства .${\displaystyle \ln N}$
• S ( ρ ) инвариантен относительно изменений в базисе ρ , то есть S ( ρ ) = S ( UρU ^† ) , где U — унитарное преобразование.
• S ( ρ ) является вогнутой, то есть, если задан набор положительных чисел λ _{i ,} сумма которых равна единице (), и операторов плотности ρ _i , то мы имеем${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).}$

• S ( ρ ) удовлетворяет оценке

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\leq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

где равенство достигается, если ρ _i имеют ортогональный носитель, и, как и прежде, ρ _i являются операторами плотности, а λ _i представляет собой набор положительных чисел, сумма которых равна единице ( )${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

• S ( ρ ) является аддитивным для независимых систем. При наличии двух матриц плотности ρ _A , ρ _{B ,} описывающих независимые системы A и B , мы имеем

${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}$.

• S ( ρ ) является строго субаддитивной для любых трех систем A , B и C :

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$

Это автоматически означает, что S ( ρ ) является субаддитивным:

${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).}$

Ниже обсуждается концепция субаддитивности, а затем ее обобщение до сильной субаддитивности.

Если ρ _A , ρ _B являются приведенными матрицами плотности общего состояния ρ _AB , то

${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$

Это правое неравенство известно как субаддитивность . Эти два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиотом Х. Либом . ^[7] В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, в квантовой теории это не так, т. е. возможно, что S ( ρ _AB ) = 0 , тогда как S ( ρ _A ) = S ( ρ _B ) > 0 .

Интуитивно это можно понять следующим образом: в квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутанными . Например, как видно явно, состояние Белла двух спинов-½,

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,}$

является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его редуцированной матрице плотности . ^[8] Энтропия в одном спине может быть «отменена», будучи коррелированной с энтропией другого. Левое неравенство можно грубо интерпретировать как утверждение, что энтропия может быть отменена только равным количеством энтропии.

Если система A и система B имеют разное количество энтропии, то меньшая может лишь частично компенсировать большую, и некоторая энтропия должна остаться. Аналогично, правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия составной системы максимизируется, когда ее компоненты некоррелированы, и в этом случае общая энтропия является просто суммой подэнтропий. Это может быть более интуитивно понятно в формулировке фазового пространства , а не в формулировке гильбертова пространства, где энтропия фон Неймана равна минус ожидаемому значению ★ -логарифма функции Вигнера , − ∫ f ★ ​​log _★ f  dx  dp , с точностью до сдвига смещения. ^[6] До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорируется энтропией ее классического предела .

Энтропия фон Неймана также строго субаддитивна . Даны три гильбертовых пространства , A , B , C ,

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$

Это более сложная теорема, и она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 году ^{[9] [10]} и независимо Эллиотом Х. Либом и Мэри Бет Раскай в 1973 году ^[11] с использованием матричного неравенства Эллиотта Х. Либа ^[12], доказанного в 1973 году. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть неравенства треугольника выше, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.

${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$

когда ρ _AB и т. д. являются приведенными матрицами плотности матрицы плотности ρ _ABC . Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотрим все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ _ABC : Каждое из трех чисел S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρ _AC ) меньше или равно сумме двух других.

Теорема. ^[13] Каноническое распределение — это единственный максимум свободной энтропии Гельмгольца , который имеет решение в собственном базисе оператора Гамильтона . Это состояние имеет свободную энтропию, где — статистическая сумма.${\textstyle f[{\hat {\rho }}]}$$${\displaystyle {\hat {\rho }}(\beta )=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}|i\rangle \langle i|=e^{-\beta {\hat {H}}}}$$${\textstyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle f=\ln Z}$$${\textstyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}=Tr({\hat {\rho }})}$

Эквивалентно, каноническое распределение — это уникальный максимум энтропии при ограничениях:$${\displaystyle {\begin{cases}\max S[{\hat {\rho }}]\\\langle H\rangle =E\end{cases}}}$$

Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ 2 ^, энтропия S ( ρ ) для нее обращается в нуль. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет отклонение системы от чистого состояния . Другими словами, она кодирует степень смешивания состояния, описывающего данную конечную систему.

Измерение декогерирует квантовую систему в нечто неинтерферирующее и кажущееся классическим ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния , соответствующая матрице плотности ${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

увеличивается до для смеси результатов измерений ${\displaystyle S=\ln 2\approx 0.69}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

поскольку информация о квантовой интерференции стирается.

Однако если измерительное устройство также является квантово-механическим и также начинает с чистого состояния, то объединенная система устройство-система является просто большей квантовой системой. Поскольку оно начинается с чистого состояния, оно также заканчивается чистым состоянием, и поэтому энтропия фон Неймана никогда не увеличивается. Проблему можно решить, используя идею грубой зернистости .

Конкретно, пусть система будет кубитом, а измерительное устройство будет другим кубитом. Измерительное устройство начинает работу в состоянии. Процесс измерения — это вентиль CNOT , так что мы имеем , . То есть, если система начинает работу в состоянии чистой 1, то после измерения измерительное устройство также будет в состоянии чистой 1.${\displaystyle \left|0\right\rangle }$${\displaystyle \left|0\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|0\right\rangle \left|0\right\rangle }$${\displaystyle \left|1\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|1\right\rangle \left|1\right\rangle }$

Теперь, если система начинает с состояния , то после измерения совместная система находится в состоянии Белла . Энтропия vN совместной системы по-прежнему равна 0, поскольку это все еще чистое состояние. Однако, если мы огрубим систему, измерив энтропию vN только устройства, затем только кубита, а затем сложим их вместе, мы получим .${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (\left|0\right\rangle \left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 2\ln 2}$

По принципу субаддитивности , то есть любой способ грубого разбиения всей системы на части будет равен или увеличит энтропию vN.${\displaystyle S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}$