Чистота (квантовая механика)

В квантовой механике , и особенно в квантовой теории информации , чистота нормализованного квантового состояния — это скаляр, определяемый как, где — матрица плотности состояния, а — операция трассировки . Чистота определяет меру квантовых состояний, давая информацию о том, насколько смешано состояние .$${\displaystyle \gamma \,\equiv \,\operatorname {tr} (\rho ^{2})}$$${\displaystyle \ро \,}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$

Чистота нормализованного квантового состояния удовлетворяет , ^[1] где — размерность гильбертова пространства , на котором определено состояние. Верхняя граница получается из и (см. след ).${\displaystyle {\frac {1}{d}}\leq \gamma \leq 1\,}$${\displaystyle д}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho )=1\,}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})\leq \operatorname {tr} (\rho )\,}$

Если — проекция, определяющая чистое состояние, то верхняя граница насыщена: (см. Проекции ). Нижняя граница получается полностью смешанным состоянием, представленным матрицей .${\displaystyle \ро \,}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=\operatorname {tr} (\rho )=1\,}$${\displaystyle {\frac {1}{d}}I_{d}\,}$

Чистота квантового состояния сохраняется при унитарных преобразованиях, действующих на матрицу плотности в форме , где U — унитарная матрица. В частности, она сохраняется при операторе эволюции во времени , где H — оператор Гамильтона . ^{[1] [2]}${\displaystyle \rho \mapsto U\rho U^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{{\frac {-i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\,}$

Чистое квантовое состояние может быть представлено как один вектор в гильбертовом пространстве. В формулировке матрицы плотности чистое состояние представлено матрицей Однако смешанное состояние не может быть представлено таким образом, и вместо этого представляется выпуклой комбинацией чистых состояний, в то время как для нормализации. Параметр чистоты связан с коэффициентами: Если только один коэффициент равен 1, состояние является чистым. Действительно, чистота равна 1/ d , когда состояние полностью смешано, т.е. где — d ортонормированные векторы, составляющие базис гильбертова пространства. ^[3]${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \rho _{\text{pure}}=|\psi \rangle \langle \psi |.}$$$${\displaystyle \rho _{\text{mixed}}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$$${\displaystyle \rho _{\text{completely mixed}}={\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|={\frac {1}{d}}I_{d},}$$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

На сфере Блоха чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, тогда как смешанные состояния представлены внутренней точкой. Таким образом, чистоту состояния можно визуализировать как степень близости точки к поверхности сферы.

Например, полностью смешанное состояние одного кубита представлено центром сферы, по симметрии.${\textstyle {\frac {1}{2}}I_{2}\,}$

Графическое представление о чистоте можно получить, рассмотрев связь между матрицей плотности и сферой Блоха, где — вектор, представляющий квантовое состояние (на сфере или внутри нее), а — вектор матриц Паули .$${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

Поскольку матрицы Паули не оставляют следов, по-прежнему справедливо, что tr( ρ ) = 1. Однако в силу отсюда следует , что согласуется с тем фактом, что только состояния на поверхности самой сферы являются чистыми (т.е. ).$${\displaystyle \left(\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\left(\mathbf {b} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\,I+i\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot {\boldsymbol {\sigma }},}$$$${\displaystyle \rho ^{2}={\tfrac {1}{2}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left(1+|a|^{2}\right)I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right],}$$${\textstyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}(1+|a|^{2}),}$${\displaystyle |a|=1}$

Чистота тривиально связана с линейной энтропией состояния соотношением${\displaystyle S_{L}\,}$

$${\displaystyle \gamma =1-S_{L}\,.}$$

Линейная энтропия является нижним приближением к энтропии фон Неймана S , которая определяется как

$${\displaystyle S\,{\dot {=}}\,-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho )=-\langle \ln \rho \rangle \,.}$$

Линейная энтропия затем получается путем расширения ln ρ = ln (1−(1− ρ )) вокруг чистого состояния, ρ ² = ρ ; то есть, путем расширения в терминах неотрицательной матрицы 1− ρ в формальном ряду Меркатора для логарифма и сохранения только главного члена. Как линейная энтропия, так и энтропия фон Неймана измеряют степень смешивания состояния, хотя линейную энтропию легче вычислить, так как она не требует диагонализации матрицы плотности. Некоторые авторы ^[4] определяют линейную энтропию с другой нормировкой , которая гарантирует, что величина находится в диапазоне от нуля до единицы.$${\displaystyle -\langle \ln \rho \rangle =\langle 1-\rho \rangle +{\frac {1}{2}}\langle (1-\rho )^{2}\rangle +{\frac {1}{3}}\langle (1-\rho )^{3}\rangle +\cdots ,}$$$${\displaystyle S_{L}\,{\dot {=}}\,{\tfrac {d}{d-1}}(1-\operatorname {tr} (\rho ^{2}))\,,}$$

Чистое состояние 2- кубитов можно записать (используя разложение Шмидта ) как , где являются основаниями соответственно, и . Его матрица плотности равна . Степень, в которой оно запутано, связана с чистотой состояний его подсистем, , и аналогично для (см. частичный след ). Если это начальное состояние разделимо (т.е. есть только один ), то оба являются чистыми. В противном случае это состояние запутано и оба являются смешанными. Например, если , которое является максимально запутанным состоянием, то оба являются полностью смешанными.${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}}$${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{j}\lambda _{j}|j\rangle _{A}|j\rangle _{B}}$${\displaystyle \{|j\rangle _{A}\},\{|j\rangle _{B}\}}$${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\textstyle \sum _{j}\lambda _{j}^{2}=1,\lambda _{j}\geq 0}$${\textstyle \rho ^{AB}=\sum _{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}|i\rangle _{A}\langle j|_{A}\otimes |i\rangle _{B}\langle j|_{B}}$${\textstyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{j}\lambda _{j}^{2}|j\rangle _{A}\langle j|_{A}}$${\displaystyle \rho ^{B}}$${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$

Для 2-кубитных (чистых или смешанных) состояний число Шмидта (число коэффициентов Шмидта) не превышает 2. Используя этот критерий и критерий Переса–Городецки (для 2-кубитов), состояние запутано, если его частично транспонированное значение имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение. Используя коэффициенты Шмидта, указанные выше, отрицательное собственное значение равно . [5] Отрицательность этого ^{собственного} значения также используется в качестве меры запутанности – состояние более запутано, чем более отрицательно это собственное значение (вплоть до для состояний Белла ). Для состояния подсистемы (аналогично для ) справедливо следующее:${\displaystyle -\lambda _{0}\lambda _{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=-\lambda _{0}\lambda _{1}}$${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(|\psi \rangle _{AB}\langle \psi |_{AB})=\lambda _{0}^{2}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+\lambda _{1}^{2}|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}}$$

И чистота есть .${\displaystyle \gamma =\lambda _{0}^{4}+\lambda _{1}^{4}=(\lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2})^{2}-2(\lambda _{0}\lambda _{1})^{2}=1-2{\mathcal {N}}^{2}}$

Видно, что чем более запутанным является составное состояние (т.е. более отрицательным), тем менее чистым является состояние подсистемы.

В контексте локализации оказывается полезной величина, тесно связанная с чистотой, так называемый обратный коэффициент участия (IPR). Он определяется как интеграл (или сумма для конечного размера системы) по квадрату плотности в некотором пространстве, например, реальном пространстве, пространстве импульсов или даже фазовом пространстве, где плотности будут квадратом волновой функции реального пространства , квадратом волновой функции пространства импульсов или некоторой плотностью фазового пространства, такой как распределение Хусими , соответственно. ^[6]${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(k)|^{2}}$

Наименьшее значение IPR соответствует полностью делокализованному состоянию для системы размером , где IPR дает . Значения IPR, близкие к 1, соответствуют локализованным состояниям (чистым состояниям в аналогии), как можно видеть на примере идеально локализованного состояния , где IPR дает . В одном измерении IPR прямо пропорционален обратной величине длины локализации, т. е. размеру области, в которой локализовано состояние. Локализованные и делокализованные (протяженные) состояния в рамках физики конденсированного состояния соответствуют тогда изолирующим и металлическим состояниям, соответственно, если представить себе электрон на решетке, не способный двигаться в кристалле ( локализованная волновая функция, IPR близка к единице) или способный двигаться (протяженное состояние, IPR близка к нулю).${\displaystyle \psi (x)=1/{\sqrt {N}}}$${\displaystyle N}$${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=N/(N^{1/2})^{4}=1/N}$${\displaystyle \psi (x)=\delta _{x,x_{0}}}$${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=1}$

В контексте локализации часто не обязательно знать саму волновую функцию; часто достаточно знать свойства локализации. Вот почему IPR полезен в этом контексте. IPR в основном берет полную информацию о квантовой системе (волновую функцию; для -мерного гильбертова пространства пришлось бы хранить значения, компоненты волновой функции) и сжимает ее в одно единственное число, которое затем содержит только некоторую информацию о свойствах локализации состояния. Несмотря на то, что эти два примера идеально локализованного и идеально делокализованного состояния были показаны только для волновой функции реального пространства и соответственно для IPR реального пространства, можно, очевидно, распространить идею на импульсное пространство и даже фазовое пространство; тогда IPR дает некоторую информацию о локализации в рассматриваемом пространстве, например, плоская волна будет сильно делокализована в реальном пространстве, но ее преобразование Фурье тогда будет сильно локализовано, поэтому здесь IPR реального пространства будет близок к нулю, а IPR импульсного пространства будет близок к единице.${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$