энтропия Верля
Классическая энтропия квантово-механической матрицы плотности

В квантовой теории информации энтропия Верля , [1] названная в честь Альфреда Верля, является классической энтропией квантово-механической матрицы плотности . Это тип квазиэнтропии , определенный для представления Husimi Q распределения квазивероятности фазового пространства . См. [2] для всестороннего обзора основных свойств классической , квантовой и энтропии Верля, а также их последствий в статистической механике .

Определения

Функция Хусими [3] является функцией « классического фазового пространства » положения x и импульса p и в одном измерении определяется для любой квантово-механической матрицы плотности ρ как

В ρ ( х , п ) = ∫ ϕ ( х , п | у ) ∗ ρ ( у , у ′ ) ϕ ( х , п | у ′ ) г у г у ′ , {\displaystyle Q_{\rho }(x,p)=\int \phi (x,p|y)^{*} \rho (y,y')\phi (x,p|y')dydy',}

где φ — это « (Глауберовское) когерентное состояние », определяемое формулой

ϕ ( х , п | у ) = π − 1 / 4 эксп ⁡ ( − | у − х | 2 / 2 ) + я п х ) . {\displaystyle \phi (x,p|y)=\pi ^{-1/4}\exp(-|yx|^{2}/2)+i\,px).}

(Его можно понимать как преобразование Вейерштрасса квазивероятностного распределения Вигнера . )

Энтропия Верля тогда определяется как

С Вт ( ρ ) = − ∫ В ρ ( х , п ) бревно ⁡ В ρ ( х , п ) г х г п   . {\displaystyle S_{W}(\rho )=-\int Q_{\rho }(x,p)\log Q_{\rho }(x,p)\,dx\,dp~.}

Определение можно легко обобщить на любое конечное измерение.

Характеристики

Такое определение энтропии опирается на тот факт, что представление Хусими Q остается неотрицательно определенным, [4] в отличие от других представлений квантовых распределений квазивероятности в фазовом пространстве. Энтропия Верля имеет несколько важных свойств:

  1. Она всегда положительна, как полная квантовая энтропия фон Неймана, но в отличие от классической дифференциальной энтропии , которая может быть отрицательной при низкой температуре. Фактически, минимальное значение энтропии Верля равно 1, т.е. как обсуждается ниже в разделе «Гипотеза Верля». С Вт ( ρ ) ≥ 0 , {\displaystyle S_{W}(\rho)\geq 0,} С Вт ( ρ ) ≥ 1 , {\displaystyle S_{W}(\rho)\geq 1,}
  2. Энтропия для тензорного произведения двух систем всегда больше энтропии одной системы. Другими словами, для состояния в гильбертовом пространстве , имеем , где . Отметим, что квантовая энтропия фон Неймана , , не обладает этим свойством, как это ясно видно для чистого максимально запутанного состояния . ρ {\displaystyle \ро} ЧАС = ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} С Вт ( ρ 1 ) ≤ С Вт ( ρ ) {\displaystyle S_{W}(\rho _{1})\leq S_{W}(\rho )} ρ 1 = T r 2 ρ {\displaystyle \rho _{1}=\mathrm {Tr} _{2}\,\rho } S ( ρ ) {\displaystyle S(\rho )}
  3. Энтропия Верля строго ограничена снизу энтропией фон Неймана, . Не существует известной верхней или нижней границы (кроме нуля) для разности . S W ( ρ ) > S ( ρ ) {\displaystyle S_{W}(\rho )>S(\rho )} S W ( ρ ) − S ( ρ ) {\displaystyle S_{W}(\rho )-S(\rho )}
  4. Энтропия Верля не инвариантна относительно всех унитарных преобразований, в отличие от энтропии фон Неймана. Другими словами, для общего унитарного U . Однако она инвариантна относительно некоторых унитарных преобразований. [1] S W ( U ∗ ρ U ) ≠ S W ( ρ ) {\displaystyle S_{W}(U^{*}\rho \,U)\neq S_{W}(\rho )}

Гипотеза Верля

В своей оригинальной статье [1] Верл выдвинул гипотезу, что наименьшее возможное значение энтропии Верла равно 1, и это происходит тогда и только тогда, когда матрица плотности является чистым проектором состояния на любое когерентное состояние, т. е. для всех выборов , S W ( ρ ) ≥ 1 , {\displaystyle S_{W}(\rho )\geq 1,} ρ {\displaystyle \rho } x 0 , p 0 {\displaystyle x_{0},p_{0}}

ρ 0 ( y , y ′ ) = ϕ ( x 0 , p 0 | y ) ∗ ϕ ( x 0 , p 0 | y ′ ) {\displaystyle \rho _{0}(y,y')=\phi (x_{0},p_{0}|y)^{*}\phi (x_{0},p_{0}|y')} .

Вскоре после того, как гипотеза была выдвинута, Э. Х. Либ доказал [5] , что минимум энтропии Верля равен 1 и имеет место, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

В 1991 году Э. Карлен доказал [6] единственность минимизатора, т.е. минимум энтропии Верля имеет место только тогда, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

Аналогом гипотезы Верля для систем с классическим фазовым пространством, изоморфным сфере (а не плоскости), является гипотеза Либа .

Обсуждение

Однако это не полностью квантовая энтропия фон Неймана в представлении Хусими в фазовом пространстве, − ∫ Q ★ log ★ Q  dx  dp : все необходимые звездные произведения ★ в этой энтропии здесь опущены. В представлении Хусими звездные произведения имеют вид

⋆ ≡ exp ⁡ ( ℏ 2 ( ∂ ← x − i ∂ ← p ) ( ∂ → x + i ∂ → p ) )   , {\displaystyle \star \equiv \exp \left({\frac {\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}-i{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p})({\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}+i{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p})\right)~,}

и изоморфны [7] произведениям Мойала представления Вигнера –Вейля .

Таким образом, энтропию Верля можно рассматривать как тип эвристического полуклассического приближения к полной квантовой энтропии фон Неймана, поскольку она сохраняет некоторую зависимость от ħ (через Q ), но не всю ее .

Как и все энтропии, она отражает некоторую меру нелокализации, [8], поскольку преобразование Гаусса, вовлеченное в генерацию Q , и жертва операторов звезды фактически отбросили информацию. В общем, как указано, для одного и того же состояния энтропия Верля превышает энтропию фон Неймана (которая исчезает для чистых состояний).

Энтропия Верля для когерентных состояний Блоха

Энтропия Верля может быть определена для других видов когерентных состояний. Например, она может быть определена для блоховских когерентных состояний, то есть для представлений углового момента группы для квантовых спиновых систем . S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)}

Блоховские когерентные состояния

Рассмотрим пространство с . Рассмотрим один квантовый спин фиксированного углового момента J , и будем обозначать через обычные операторы углового момента , которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: и циклическим перестановкам. C 2 J + 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2J+1}} J = 1 2 , 1 , 3 2 , … {\displaystyle J={\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots } S = ( S x , S y , S z ) {\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y},S_{z})} [ S x , S y ] = i S z {\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\,S_{z}}

Определим , тогда и . S ± = S x ± i S y {\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm i\,S_{y}} [ S z , S ± ] = ± S ± {\displaystyle [S_{z},S_{\pm }]=\pm S_{\pm }} [ S + , S − ] = S z {\displaystyle [S_{+},S_{-}]=S_{z}}

Собственные состояния : S z {\displaystyle S_{z}}

S z | s ⟩ = s | s ⟩ , s = − J , … , J . {\displaystyle S_{z}|s\rangle =s|s\rangle ,s=-J,\dots ,J.}

Для государства выполняется: и . s = J {\displaystyle s=J} | J ⟩ ∈ C 2 J + 1 {\displaystyle |J\rangle \in \mathbb {C} ^{2J+1}} S z | J ⟩ = J | J ⟩ , {\displaystyle S_{z}|J\rangle =J|J\rangle ,} S + | J ⟩ = 0 , S − | J ⟩ = | J − 1 ⟩ {\displaystyle S_{+}|J\rangle =0,S_{-}|J\rangle =|J-1\rangle }

Обозначим единичную сферу в трех измерениях как

Ξ 2 = { Ω = ( θ , ϕ )   |   0 ≤ θ ≤ π ,   0 ≤ ϕ ≤ 2 π } {\displaystyle \Xi _{2}=\{\Omega =(\theta ,\phi )\ |\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \phi \leq 2\pi \}} ,

и пространством квадратично интегрируемых функций на Ξ с мерой L 2 ( Ξ ) {\displaystyle L^{2}(\Xi )}

d Ω = 2 J + 1 4 π sin ⁡ θ d θ d ϕ {\displaystyle d\Omega ={\frac {2J+1}{4\pi }}\sin \theta \,d\theta \,d\phi } .

Когерентное состояние Блоха определяется как

| Ω ⟩ ≡ exp ⁡ { 1 2 θ e i ϕ S − − 1 2 θ e − i ϕ S + } | J ⟩ {\displaystyle |\Omega \rangle \equiv \exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}|J\rangle } .

Принимая во внимание вышеуказанные свойства состояния , когерентное состояние Блоха можно также выразить как | J ⟩ {\displaystyle |J\rangle }

| Ω ⟩ = ( 1 + | z | 2 ) − J e z S − | J ⟩ = ( 1 + | z | 2 ) − J ∑ M = − J J z J − M ( 2 J J + M ) 1 / 2 | M ⟩ , {\displaystyle |\Omega \rangle =(1+|z|^{2})^{-J}e^{zS_{-}}|J\rangle =(1+|z|^{2})^{-J}\sum _{M=-J}^{J}z^{J-M}{\binom {2J}{J+M}}^{1/2}|M\rangle ,}

где , и     z = e i ϕ tan ⁡ θ 2 {\displaystyle ~~z=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}}

| M ⟩ = ( 2 J J + M ) − 1 / 2 1 ( J − M ) ! S − J − M | J ⟩ {\displaystyle |M\rangle ={\binom {2J}{J+M}}^{-1/2}{\frac {1}{(J-M)!}}\,S_{-}^{J-M}|J\rangle }

является нормализованным собственным состоянием, удовлетворяющим . S z {\displaystyle S_{z}} S z | M ⟩ = M | M ⟩ {\displaystyle S_{z}|M\rangle =M|M\rangle }

Когерентное состояние Блоха является собственным состоянием оператора вращающегося момента импульса с максимальным собственным значением. Другими словами, для оператора вращения S z {\displaystyle S_{z}}

R θ , ϕ = exp ⁡ { 1 2 θ e i ϕ S − − 1 2 θ e − i ϕ S + } {\displaystyle R_{\theta ,\phi }=\exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}} ,

когерентное состояние Блоха удовлетворяет | Ω ⟩ {\displaystyle |\Omega \rangle }

R θ , ϕ S z R θ , ϕ − 1   | Ω ⟩ = J | Ω ⟩ {\displaystyle R_{\theta ,\phi }S_{z}R_{\theta ,\phi }^{-1}\ |\Omega \rangle =J\,|\Omega \rangle } .

Энтропия Верля для когерентных состояний Блоха

Для данной матрицы плотности ρ определите полуклассическое распределение плотности

ρ c l ( Ω ) = ⟨ Ω | ρ | Ω ⟩ {\displaystyle \rho ^{cl}(\Omega )=\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle } .

Энтропия Верля для когерентных состояний Блоха определяется как классическая энтропия распределения плотности , ρ {\displaystyle \rho } ρ c l {\displaystyle \rho ^{cl}}

S W B ( ρ ) = S c l ( ρ c l ) = − ∫ ρ c l ( Ω )   ln ⁡ ρ c l ( Ω )   d Ω {\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )=S^{cl}(\rho ^{cl})=-\int \rho ^{cl}(\Omega )\ \ln \rho ^{cl}(\Omega )\ d\Omega } ,

где — классическая дифференциальная энтропия. S c l {\displaystyle S^{cl}}

Гипотеза Верля о когерентных состояниях Блоха

Аналог гипотезы Верля для когерентных состояний Блоха был предложен в [5] в 1978 году. Он предполагает минимальное значение энтропии Верля для когерентных состояний Блоха,

S W B ( ρ ) ≥ 2 J 2 J + 1 {\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )\geq {\frac {2J}{2J+1}}} ,

и утверждает, что минимум достигается тогда и только тогда, когда состояние является чистым блоховским когерентным состоянием.

В 2012 году EH Lieb и JP Solovej доказали [9] существенную часть этой гипотезы, подтвердив минимальное значение энтропии Верля для блоховских когерентных состояний и тот факт, что оно достигается для любого чистого блоховского когерентного состояния. Единственность минимизаторов была доказана в 2022 году RL Frank [10] и A. Kulikov, F. Nicola, J. Ortega-Cerda' и P. Tilli. [11]

Обобщенная гипотеза Верля

В [9] Э. Х. Либ и Дж. П. Соловей доказали гипотезу Верля для когерентных состояний Блоха, обобщив ее следующим образом.

Обобщенная гипотеза Верля

Для любой вогнутой функции (например, как в определении энтропии Верля) и любой матрицы плотности ρ имеем f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} } f ( x ) = − x log ⁡ x {\displaystyle f(x)=-x\log x}

∫ f ( Q ρ ( x , p ) ) d x d p ≥ ∫ f ( Q ρ 0 ( x , p ) ) d x d p {\displaystyle \int f(Q_{\rho }(x,p))dx\,dp\geq \int f(Q_{\rho _{0}}(x,p))dx\,dp} ,

где ρ 0 — чистое когерентное состояние, определенное в разделе «Гипотеза Верля».

Обобщенная гипотеза Верля для когерентных состояний Блоха

Обобщенная гипотеза Верля для когерентных состояний Глаубера была доказана как следствие аналогичного утверждения для когерентных состояний Блоха. Для любой вогнутой функции и любой матрицы плотности ρ имеем f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }

∫ f ( ⟨ Ω | ρ | Ω ⟩ ) d Ω ≥ ∫ f ( | ⟨ Ω | Ω 0 ⟩ | 2 ) d Ω {\displaystyle \int f(\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle )d\Omega \geq \int f(|\langle \Omega |\Omega _{0}\rangle |^{2})d\Omega } ,

где находится любая точка на сфере. Ω 0 ∈ Ξ 2 {\displaystyle \Omega _{0}\in \Xi _{2}}

Единственность минимизаторов была доказана в вышеупомянутых работах [10] и [11] .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Wehrl, A. (1979). «О связи между классической и квантово-механической энтропией». Reports on Mathematical Physics . 16 (3): 353– 358. Bibcode :1979RpMP...16..353W. doi :10.1016/0034-4877(79)90070-3.
  2. ^ Верл, А. (1978). «Общие свойства энтропии». Reviews of Modern Physics . 50 (2): 221– 260. Bibcode : 1978RvMP...50..221W. doi : 10.1103/RevModPhys.50.221.
  3. ^ Коди Хусими (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности». Труды физико-математического общества Японии . 3. 22 (4): 264– 314. doi : 10.11429/ppmsj1919.22.4_264 .
  4. ^ Картрайт, НД (1975). «Неотрицательное распределение типа Вигнера». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 83 (1): 210– 818. Bibcode :1976PhyA...83..210C. doi :10.1016/0378-4371(76)90145-X.
  5. ^ ab Lieb, Elliott H. (1978). «Доказательство энтропийной гипотезы Верля». Communications in Mathematical Physics . 62 (1). Springer Science and Business Media LLC: 35– 41. Bibcode : 1978CMaPh..62...35L. doi : 10.1007/bf01940328. ISSN  0010-3616. S2CID  189836756.
  6. ^ Карлен, Э. (1991). «Некоторые интегральные тождества и неравенства для целых функций и их применение к преобразованию когерентного состояния». Журнал функционального анализа . 97 : 231– 249. doi : 10.1016/0022-1236(91)90022-W .
  7. ^ C. Zachos , D. Fairlie и T. Curtright , «Квантовая механика в фазовом пространстве» ( World Scientific , Сингапур, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 . 
  8. ^ Gnutzmann, Sven; Karol Zyczkowski (2001). "Энтропии Реньи–Верля как меры локализации в фазовом пространстве". J. Phys. A: Math. Gen. 34 ( 47): 10123. arXiv : quant-ph/0106016 . Bibcode :2001JPhA...3410123G. doi :10.1088/0305-4470/34/47/317. S2CID  7327137.
  9. ^ ab Либ, Э. Х.; Соловей, Дж. П. (2014). «Доказательство энтропийной гипотезы для когерентных спиновых состояний Блоха и ее обобщений». Acta Mathematica . 212 (2): 379–398 . arXiv : 1208.3632 . doi :10.1007/s11511-014-0113-6. S2CID  119166106.
  10. ^ ab Frank, RL (2023). "Точные неравенства для когерентных состояний и их оптимизаторы". Advanced Nonlinear Studies . 23 (1): Paper No. 20220050, 28. arXiv : 2210.14798 . doi : 10.1515/ans-2022-0050.
  11. ^ аб Куликов, А.; Никола, Ф.; Ортега-Серда, Дж.; Тилли, П. (2022). «Теорема монотонности субгармонических функций на многообразиях». arXiv : 2212.14008 [math.CA].
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wehrl_entropy&oldid=1237898751"