Сильная субаддитивность квантовой энтропии

В квантовой теории информации сильная субаддитивность квантовой энтропии ( SSA ) — это отношение между энтропиями фон Неймана различных квантовых подсистем более крупной квантовой системы, состоящей из трех подсистем (или одной квантовой системы с тремя степенями свободы). Это основная теорема в современной квантовой теории информации . Она была выдвинута DW Robinson и D. Ruelle [1] в 1966 году и OE Lanford III и DW Robinson [2] в 1968 году и доказана в 1973 году EH Lieb и MB Ruskai , [3] основываясь на результатах, полученных Lieb в его доказательстве гипотезы Вигнера-Янасе-Дайсона. [4]

Классическая версия SSA давно известна и ценится в классической теории вероятностей и теории информации. Доказательство этого соотношения в классическом случае довольно простое, но квантовый случай сложен из-за некоммутативности приведенных матриц плотности, описывающих квантовые подсистемы.

Вот некоторые полезные ссылки:

  • «Квантовые вычисления и квантовая информация» [5]
  • «Квантовая энтропия и ее использование» [6]
  • Неравенства следов и квантовая энтропия: вводный курс [7]

Определения

В дальнейшем мы используем следующие обозначения: Гильбертово пространство обозначается как , а обозначает ограниченные линейные операторы на . Тензорные произведения обозначаются верхними индексами, например, . След обозначается как . ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}} Б ( ЧАС ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}} ЧАС 12 = ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}} Т г {\displaystyle {\rm {Тр}}}

Матрица плотности

Матрица плотности — это эрмитова , положительно полуопределенная матрица следа один. Она позволяет описывать квантовую систему в смешанном состоянии . Матрицы плотности на тензорном произведении обозначаются верхними индексами, например, — это матрица плотности на . ρ 12 {\displaystyle \ро^{12}} ЧАС 12 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}

Энтропия

Квантовая энтропия фон Неймана матрицы плотности равна ρ {\displaystyle \ро}

С ( ρ ) := − Т г ( ρ бревно ⁡ ρ ) {\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )} .

Относительная энтропия

Квантовая относительная энтропия Умегаки [8] двух матриц плотности и есть ρ {\displaystyle \ро} σ {\displaystyle \сигма}

С ( ρ | | σ ) = Т г ( ρ бревно ⁡ ρ − ρ бревно ⁡ σ ) ≥ 0 {\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0} .

Вогнутость сустава

Функция двух переменных называется совместно вогнутой, если для любой из них выполняется следующее: г {\displaystyle г} 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \лямбда \leq 1}

г ( λ А 1 + ( 1 − λ ) А 2 , λ Б 1 + ( 1 − λ ) Б 2 ) ≥ λ г ( А 1 , Б 1 ) + ( 1 − λ ) г ( А 2 , Б 2 ) . {\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda)A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda)B_{2})\geq \lambda g(A_{1) },B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}

Субаддитивность энтропии

Обычная субаддитивность [9] касается только двух пространств и матрицы плотности . Она утверждает, что ЧАС 12 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}} ρ 12 {\displaystyle \ро^{12}}

С ( ρ 12 ) ≤ С ( ρ 1 ) + С ( ρ 2 ) {\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}

Это неравенство, конечно, верно в классической теории вероятностей, но последняя также содержит теорему о том, что условные энтропии и обе неотрицательны. В квантовом случае, однако, обе могут быть отрицательными, например, может быть равна нулю, в то время как . Тем не менее, верхняя граница субаддитивности продолжает сохраняться. Самое близкое, что есть, это неравенство треугольника Араки–Либа [9] С ( ρ 12 | ρ 1 ) = С ( ρ 12 ) − С ( ρ 1 ) {\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})} С ( ρ 12 | ρ 2 ) = С ( ρ 12 ) − С ( ρ 2 ) {\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})} С ( ρ 12 ) {\displaystyle S(\rho^{12})} С ( ρ 1 ) = С ( ρ 2 ) > 0 {\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0} С ( ρ 12 ) {\displaystyle S(\rho^{12})} С ( ρ 12 ) − С ( ρ 1 ) ≥ 0 {\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}

С ( ρ 12 ) ≥ | С ( ρ 1 ) − С ( ρ 2 ) | {\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}

который выведен в [9] из субаддитивности с помощью математического метода, известного как очистка .

Сильная субаддитивность (SSA)

Предположим, что гильбертово пространство системы является тензорным произведением трех пространств: Физически эти три пространства можно интерпретировать как пространство трех различных систем, или же как три части или три степени свободы одной физической системы. ЧАС = ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 ⊗ ЧАС 3 . {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}

Учитывая матрицу плотности на , мы определяем матрицу плотности на как частичный след : . Аналогично мы можем определить матрицы плотности: , , , , . ρ 123 {\displaystyle \ро^{123}} ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}} ρ 12 {\displaystyle \ро^{12}} ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}} ρ 12 = Т г ЧАС 3 ρ 123 {\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}} ρ 23 {\displaystyle \ро^{23}} ρ 13 {\displaystyle \ро^{13}} ρ 1 {\displaystyle \ро ^{1}} ρ 2 {\displaystyle \ро ^{2}} ρ 3 {\displaystyle \ро ^{3}}

Заявление

Для любого трехстороннего государства справедливо следующее: ρ 123 {\displaystyle \ро^{123}}

С ( ρ 123 ) + С ( ρ 2 ) ≤ С ( ρ 12 ) + С ( ρ 23 ) {\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})} ,

где , например. С ( ρ 12 ) = − Т г ЧАС 12 ρ 12 бревно ⁡ ρ 12 {\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}

Эквивалентно, утверждение можно переформулировать в терминах условных энтропий, чтобы показать, что для трехчастного состояния , ρ А Б С {\displaystyle \rho^{ABC}}

С ( А ∣ Б С ) ≤ С ( А ∣ Б ) {\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)} .

Это также можно перефразировать в терминах квантовой взаимной информации ,

я ( А : Б С ) ≥ я ( А : Б ) {\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)} .

Эти утверждения параллельны классической интуиции, за исключением того, что квантовые условные энтропии могут быть отрицательными, а квантовая взаимная информация может превышать классическую границу предельной энтропии.

Сильное неравенство субаддитивности было улучшено следующим образом Карленом и Либом [10]

С ( ρ 12 ) + С ( ρ 23 ) − С ( ρ 123 ) − С ( ρ 2 ) ≥ 2 макс { С ( ρ 1 ) − С ( ρ 13 ) , С ( ρ 3 ) − С ( ρ 13 ) , 0 } {\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}} ,

с оптимальной константой . 2 {\displaystyle 2}

J. Kiefer [11] [12] доказал периферически связанный результат о выпуклости в 1959 году, который является следствием операторного неравенства Шварца, доказанного EHLieb и MBRuskai. [3] Однако эти результаты сравнительно просты, и доказательства не используют результаты статьи Либа 1973 года о выпуклых и вогнутых следовых функционалах. [4] Именно эта статья предоставила математическую основу доказательства SSA Либом и Рускаи. Расширение от настройки пространства Гильберта до настройки алгебры фон Неймана, где состояния не задаются матрицами плотности, было сделано Нарнхофером и Тиррингом. [13]

Теорему можно также получить, доказав множество эквивалентных утверждений, некоторые из которых обобщены ниже.

Гипотеза Вигнера–Янасе–Дайсона

Э. П. Вигнер и М. М. Янасе [14] предложили другое определение энтропии, которое было обобщено Фрименом Дайсоном .

Вигнер-Янасе-Дайсонп-искажение информации

Информация о перекосе Вигнера–Янасе–Дайсона p {\displaystyle p} матрицы плотности относительно оператора равна ρ {\displaystyle \rho } K {\displaystyle K}

I p ( ρ , K ) = 1 2 T r [ ρ p , K ∗ ] [ ρ 1 − p , K ] , {\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}

где — коммутатор, — сопряженный к и фиксирован. [ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA} K ∗ {\displaystyle K^{*}} K {\displaystyle K} 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1}

Вогнутостьп-искажение информации

В [15] Э. П. Вигнер и М. М. Янасе предположили , что перекошенная информация является вогнутой как функция матрицы плотности для фиксированного . p {\displaystyle p} ρ {\displaystyle \rho } 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1}

Поскольку член вогнутый (он линеен), гипотеза сводится к проблеме вогнутости . Как отмечено в [4], эта гипотеза (для всех ) подразумевает SSA и была доказана для в [15] и для всех в [4] в следующем более общем виде: Функция двух матричных переменных − 1 2 T r ρ K K ∗ {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}} T r ρ p K ∗ ρ 1 − p K {\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K} 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} p = 1 2 {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}} 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1}

A , B ↦ T r A r K ∗ B p K {\displaystyle A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K} ( 1 )

совместно вогнут в и , когда и . A {\displaystyle A} B , {\displaystyle B,} 0 ≤ r ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r\leq 1} p + r ≤ 1 {\displaystyle p+r\leq 1}

Эта теорема является неотъемлемой частью доказательства SSA в [3] .

В своей статье [15] Э. П. Вигнер и М. М. Янасе также выдвинули гипотезу о субаддитивности -перекошенной информации для , которая была опровергнута Хансеном [16], приведшим контрпример. p {\displaystyle p} p = 1 2 {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}

Первые два утверждения эквивалентны SSA

В [9] было отмечено , что первое утверждение ниже эквивалентно SSA, а А. Ульманн в [17] показал эквивалентность второго утверждения ниже и SSA.

  • S ( ρ 1 ) + S ( ρ 3 ) − S ( ρ 12 ) − S ( ρ 23 ) ≤ 0. {\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.} Обратите внимание, что условные энтропии и не обязательно должны быть обе неотрицательными. S ( ρ 12 | ρ 1 ) {\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})} S ( ρ 23 | ρ 3 ) {\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}
  • Карта выпуклая. ρ 12 ↦ S ( ρ 1 ) − S ( ρ 12 ) {\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}

Оба эти утверждения были доказаны непосредственно в [3] .

Совместная выпуклость относительной энтропии

Как отметили Линдблад [18] и Ульманн, [19] если в уравнении ( 1 ) взять и и и дифференцировать по при , то получим совместную выпуклость относительной энтропии : т.е. если , и , то K = 1 {\displaystyle K=1} r = 1 − p , A = ρ {\displaystyle r=1-p,A=\rho } B = σ {\displaystyle B=\sigma } p {\displaystyle p} p = 0 {\displaystyle p=0} ρ = ∑ k λ k ρ k {\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}} σ = ∑ k λ k σ k {\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}

S ( ∑ k λ k ρ k | | ∑ k λ k σ k ) ≤ ∑ k λ k S ( ρ k | | σ k ) , {\displaystyle S{\Bigl (}\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S(\rho _{k}||\sigma _{k}),} ( 2 )

где с . λ k ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{k}\geq 0} ∑ k λ k = 1 {\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}

Монотонность квантовой относительной энтропии

Относительная энтропия монотонно уменьшается при операциях сохранения полностью положительного следа (CPTP) над матрицами плотности, N {\displaystyle {\mathcal {N}}}

S ( N ( ρ ) ‖ N ( σ ) ) ≤ S ( ρ ‖ σ ) {\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )} .

Это неравенство называется Монотонностью квантовой относительной энтропии. Благодаря теореме о факторизации Стайнспринга , это неравенство является следствием определенного выбора отображения CPTP - частичного отображения следа, описанного ниже.

Наиболее важным и базовым классом карт CPTP является операция частичной трассировки , заданная как . Тогда T : B ( H 12 ) → B ( H 1 ) {\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})} T = 1 H 1 ⊗ T r H 2 {\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}

S ( T ρ | | T σ ) ≤ S ( ρ | | σ ) , {\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),} ( 3 )

что называется монотонностью квантовой относительной энтропии при частичном следе .

Чтобы увидеть, как это следует из совместной выпуклости относительной энтропии, заметим, что в представлении Ульмана это можно записать как T {\displaystyle T}

T ( ρ 12 ) = N − 1 ∑ j = 1 N ( 1 H 1 ⊗ U j ) ρ 12 ( 1 H 1 ⊗ U j ∗ ) , {\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}

для некоторого конечного и некоторого набора унитарных матриц на (альтернативно, интегрировать по мере Хаара ). Поскольку след (и, следовательно, относительная энтропия) унитарно инвариантен, неравенство ( 3 ) теперь следует из ( 2 ). Эта теорема принадлежит Линдбладу [18] и Ульманну [17] , доказательство которых приведено здесь. N {\displaystyle N} H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}

SSA получается из ( 3 ) с заменой на и заменой . Возьмем . Тогда ( 3 ) становится H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}} H 12 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}} H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}} H 3 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}} ρ = ρ 123 , {\displaystyle \rho =\rho ^{123},} σ = ρ 1 ⊗ ρ 23 , {\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},} T = 1 H 12 ⊗ T r H 3 {\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}

S ( ρ 12 | | ρ 1 ⊗ ρ 2 ) ≤ S ( ρ 123 | | ρ 1 ⊗ ρ 23 ) . {\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}

Поэтому,

S ( ρ 123 | | ρ 1 ⊗ ρ 23 ) − S ( ρ 12 | | ρ 1 ⊗ ρ 2 ) = S ( ρ 12 ) + S ( ρ 23 ) − S ( ρ 123 ) − S ( ρ 2 ) ≥ 0 , {\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}

что является SSA. Таким образом, монотонность квантовой относительной энтропии (которая следует из ( 1 ) подразумевает SSA.

Взаимосвязь между неравенствами

Все вышеперечисленные важные неравенства эквивалентны друг другу и могут быть доказаны непосредственно. Следующие неравенства эквивалентны:

  • Монотонность квантовой относительной энтропии (МОНО);
  • Монотонность квантовой относительной энтропии при частичном следе (MPT);
  • Сильная субаддитивность (SSA);
  • Совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (JC);

Следующие импликации показывают эквивалентность этих неравенств.

  • MONO MPT: следует, поскольку MPT является частным случаем MONO; ⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
  • MPT MONO: был продемонстрирован Линдбладом [20] с использованием представления стохастических отображений в виде частичного следа по вспомогательной системе; ⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
  • MPT SSA: следует из конкретного выбора трехчастичных состояний в MPT, описанного в разделе выше «Монотонность квантовой относительной энтропии»; ⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
  • SSA MPT: выбрав блочно-диагональный вариант, можно показать, что SSA подразумевает, что карта ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ρ 123 {\displaystyle \rho _{123}}

ρ 12 ↦ S ( ρ 1 ) − S ( ρ 12 ) {\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})} является выпуклым. В [3] было отмечено, что эта выпуклость дает MPT;

  • MPT JC: как было упомянуто выше, выбрав (и аналогично, ) в качестве блочно-диагональной матрицы с блоками (и ), частичный след представляет собой сумму по блокам, так что , поэтому из MPT можно получить JC; ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ρ 12 {\displaystyle \rho _{12}} σ 12 {\displaystyle \sigma _{12}} λ k ρ k {\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}} λ k σ k {\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}} ρ := ρ 2 = ∑ k λ k ρ k {\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}
  • JC SSA: используя «процесс очистки», Араки и Либ [9] [21] заметили, что можно получить новые полезные неравенства из известных. Очищая их , можно показать, что SSA эквивалентно ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ρ 123 {\displaystyle \rho _{123}} ρ 1234 {\displaystyle \rho _{1234}}
S ( ρ 4 ) + S ( ρ 2 ) ≤ S ( ρ 12 ) + S ( ρ 14 ) . {\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}

Более того, если является чистым, то и , так что равенство выполняется в приведенном выше неравенстве. Поскольку крайние точки выпуклого множества матриц плотности являются чистыми состояниями, SSA следует из JC; ρ 124 {\displaystyle \rho _{124}} S ( ρ 2 ) = S ( ρ 14 ) {\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})} S ( ρ 4 ) = S ( ρ 12 ) {\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}

См. обсуждение в [21] [22] .

Дело о равенстве

Равенство в монотонности квантового относительного неравенства энтропии

В [23] [24] Д. Петц показал, что единственный случай равенства в отношении монотонности — это наличие надлежащего канала «восстановления»:

Для всех состояний и в гильбертовом пространстве и всех квантовых операторов , ρ {\displaystyle \rho } σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle {\mathcal {H}}} T : B ( H ) → B ( K ) {\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}

S ( T ρ | | T σ ) = S ( ρ | | σ ) , {\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}

тогда и только тогда, когда существует квантовый оператор такой, что T ^ {\displaystyle {\hat {T}}}

T ^ T σ = σ , {\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,} и T ^ T ρ = ρ . {\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}

Более того, может быть задано явно по формуле T ^ {\displaystyle {\hat {T}}}

T ^ ω = σ 1 / 2 T ∗ ( ( T σ ) − 1 / 2 ω ( T σ ) − 1 / 2 ) σ 1 / 2 , {\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}

где — сопряженное отображение . T ∗ {\displaystyle T^{*}} T {\displaystyle T}

Д. Петц также привел еще одно условие [23] , когда равенство выполняется в Монотонность квантовой относительной энтропии: первое утверждение ниже. Дифференцируя его по , получаем второе условие. Более того, М. Б. Рускай дал еще одно доказательство второго утверждения. t = 0 {\displaystyle t=0}

Для всех состояний и на и всех квантовых операторов , ρ {\displaystyle \rho } σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle {\mathcal {H}}} T : B ( H ) → B ( K ) {\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}

S ( T ρ | | T σ ) = S ( ρ | | σ ) , {\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}

тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

  • T ∗ ( T ( ρ ) i t T ( σ ) i t ) = ρ i t σ − i t {\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}} для всех реальных . t {\displaystyle t}
  • log ⁡ ρ − log ⁡ σ = T ∗ ( log ⁡ T ( ρ ) − log ⁡ T ( σ ) ) . {\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}

где — сопряженное отображение . T ∗ {\displaystyle T^{*}} T {\displaystyle T}

Равенство в сильном неравенстве субаддитивности

П. Хейден , Р. Йожа, Д. Петц и А. Винтер описали состояния, для которых равенство выполняется в SSA. [25]

Состояние в гильбертовом пространстве удовлетворяет сильной субаддитивности с равенством тогда и только тогда, когда существует разложение второй системы как ρ A B C {\displaystyle \rho ^{ABC}} H A ⊗ H B ⊗ H C {\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}

H B = ⨁ j H B j L ⊗ H B j R {\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}

в прямую сумму тензорных произведений, такую, что

ρ A B C = ⨁ j q j ρ A B j L ⊗ ρ B j R C , {\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}

с состояниями снова и снова и с распределением вероятностей . ρ A B j L {\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}} H A ⊗ H B j L {\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}} ρ B j R C {\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}} H B j R ⊗ H C {\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}} { q j } {\displaystyle \{q_{j}\}}

Расширение Карлена-Либа

EH Lieb и EA Carlen нашли явный член ошибки в неравенстве SSA [10] , а именно,

S ( ρ 12 ) + S ( ρ 23 ) − S ( ρ 123 ) − S ( ρ 2 ) ≥ 2 max { 0 , S ( ρ 1 ) − S ( ρ 13 ) , S ( ρ 3 ) − S ( ρ 13 ) } {\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}

Если и , как это всегда бывает для классической энтропии Шеннона, это неравенство ничего не говорит. Для квантовой энтропии, с другой стороны, вполне возможно, что условные энтропии удовлетворяют или (но никогда обоим!). Тогда, в этом "высококвантовом" режиме, это неравенство дает дополнительную информацию. S ( ρ 1 ) − S ( ρ 13 ) ≤ 0 {\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0} S ( ρ 3 ) − S ( ρ 13 ) ≤ 0 {\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0} − S ( ρ 13 | ρ 1 ) = S ( ρ 1 ) − S ( ρ 13 ) > 0 {\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0} − S ( ρ 13 | ρ 3 ) = S ( ρ 3 ) − S ( ρ 13 ) > 0 {\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}

Константа 2 является оптимальной в том смысле, что для любой константы, большей 2, можно найти состояние, для которого неравенство нарушается с этой константой.

Операторное расширение сильной субаддитивности

В своей работе [26] И. Ким исследовал операторное расширение сильной субаддитивности, доказав следующее неравенство:

Для трехчастного состояния (матрицы плотности) на , ρ 123 {\displaystyle \rho ^{123}} H 1 ⊗ H 2 ⊗ H 3 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}

T r 12 ( ρ 123 ( − log ⁡ ( ρ 12 ) − log ⁡ ( ρ 23 ) + log ⁡ ( ρ 2 ) + log ⁡ ( ρ 123 ) ) ) ≥ 0. {\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}

Доказательство этого неравенства основано на теореме Эффроса [27] , для которой выбираются конкретные функции и операторы для вывода неравенства выше. М. Б. Рускай подробно описывает эту работу в [28] и обсуждает, как доказать большой класс новых матричных неравенств в трех- и двухчастных случаях, взяв частичный след по всем пространствам, кроме одного.

Расширения сильной субаддитивности в терминах восстанавливаемости

Значительное усиление сильной субаддитивности было доказано в 2014 году [29], которое впоследствии было улучшено в [30] и. [31] В 2017 году [32] было показано, что канал восстановления можно принять за исходную карту восстановления Петца. Эти улучшения сильной субаддитивности имеют физическую интерпретацию в терминах восстанавливаемости, что означает, что если условная взаимная информация трехчастного квантового состояния почти равна нулю, то можно выполнить канал восстановления (из системы E в AE) такой, что . Таким образом, эти результаты обобщают точные условия равенства, упомянутые выше. I ( A ; B | E ) = S ( A E ) + S ( B E ) − S ( E ) − S ( A B E ) {\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)} ρ A B E {\displaystyle \rho _{ABE}} R E → A E {\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}} ρ A B E ≈ R E → A E ( ρ B E ) {\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Робинсон, Дерек В.; Рюэль, Дэвид (1967). «Средняя энтропия состояний в классической статистической механике». Communications in Mathematical Physics . 5 (4). Springer Science and Business Media LLC: 288–300. Bibcode : 1967CMaPh...5..288R. doi : 10.1007/bf01646480. ISSN  0010-3616. S2CID  115134613.
  2. ^ Ланфорд, Оскар Э.; Робинсон, Дерек В. (1968). «Средняя энтропия состояний в квантовой статистической механике». Журнал математической физики . 9 (7). AIP Publishing: 1120–1125. Bibcode : 1968JMP.....9.1120L. doi : 10.1063/1.1664685. ISSN  0022-2488.
  3. ^ abcde Либ, Эллиотт Х. ; Рускай, Мэри Бет (1973). «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии» (PDF) . Журнал математической физики . 14 (12). Издательство AIP: 1938–1941. Bibcode :1973JMP....14.1938L. doi :10.1063/1.1666274. ISSN  0022-2488.
  4. ^ abcd Либ, Эллиотт Х (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи в математике . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X . ISSN  0001-8708.
  5. ^ М. Нильсен, И. Чжуан, Квантовые вычисления и квантовая информация, Издательство Кембрийского университета, (2000)
  6. ^ М. Ойя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer (1993)
  7. ^ Э. Карлен, Неравенства следов и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Math. 529 (2009).
  8. ^ Умегаки, Хисахару (1962). «Условное ожидание в операторной алгебре. IV. Энтропия и информация». Отчеты математического семинара Кодаи . 14 (2). Токийский технологический институт, математический факультет: 59–85. doi : 10.2996/kmj/1138844604 . ISSN  0023-2599.
  9. ^ abcde Араки, Хузихиро; Либ, Эллиотт Х. (1970). «Энтропийные неравенства». Сообщения по математической физике . 18 (2): 160–170. Bibcode :1970CMaPh..18..160A. doi :10.1007/BF01646092. ISSN  0010-3616. S2CID  189832417.
  10. ^ ab Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. (2012). «Границы запутанности посредством расширения сильной субаддитивности энтропии». Letters in Mathematical Physics . 101 (1): 1–11. arXiv : 1203.4719 . Bibcode :2012LMaPh.101....1C. doi :10.1007/s11005-012-0565-6. S2CID  119317605.
  11. ^ Кифер, Дж. (июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные планы». Журнал Королевского статистического общества, серия B (методологическая) . 21 (2): 272–310. doi :10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x.
  12. ^ Ruskai, Mary Beth. "Evolution of a Fundemental [sic] Theorem on Quantum Entropy". youtube.com . World Scientific . Получено 20 августа 2020 г. Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований, Наньянский технологический университет, Сингапур, 26–29 августа 2013 г. Заметка о Кифере (1959) находится на отметке 26:40.
  13. ^ Нарнхофер, Х. (1985). «От относительной энтропии к энтропии». Физика . 17 : 258–262.
  14. ^ Вигнер, Э. П.; Янасэ, М. М. (1 мая 1963 г.). «Информационное содержание распределений». Труды Национальной академии наук . 49 (6): 910–918. Bibcode : 1963PNAS...49..910W. doi : 10.1073/pnas.49.6.910 . ISSN  0027-8424. PMC 300031. PMID 16591109  . 
  15. ^ abc Вигнер, Юджин П.; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе определенного матричного выражения». Канадский математический журнал . 16. Канадское математическое общество: 397–406. doi :10.4153/cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
  16. ^ Хансен, Франк (18 января 2007 г.). «Энтропия Вигнера-Янасе не является субаддитивной». Журнал статистической физики . 126 (3). Springer Nature: 643–648. arXiv : math-ph/0609019 . Bibcode : 2007JSP...126..643H. doi : 10.1007/s10955-006-9265-x. ISSN  0022-4715. S2CID  119667187.
  17. ^ ab А. Ульманн, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. З. Карл-Маркс-Лейпцигский университет 22 Jg. Х. 2., 139 (1973).
  18. ^ ab Lindblad, Göran (1974). "Ожидания и неравенства энтропии для конечных квантовых систем". Communications in Mathematical Physics . 39 (2): 111–119. Bibcode :1974CMaPh..39..111L. doi :10.1007/BF01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
  19. ^ Uhlmann, A. (1977). «Относительная энтропия и вогнутость Вигнера-Янасе-Дайсона-Либа в теории интерполяции». Communications in Mathematical Physics . 54 (1): 21–32. Bibcode :1977CMaPh..54...21U. doi :10.1007/BF01609834. ISSN  0010-3616. S2CID  15800519.
  20. ^ Линдблад, Гёран (1975). «Полностью положительные отображения и неравенства энтропии». Сообщения по математической физике . 40 (2). Springer Science and Business Media LLC: 147–151. Bibcode :1975CMaPh..40..147L. doi :10.1007/bf01609396. ISSN  0010-3616. S2CID  121650206.
  21. ^ ab Lieb, EH (1975). «Некоторые свойства выпуклости и субаддитивности энтропии». Bull. Am. Math. Soc . 81 : 1–13. doi : 10.1090/s0002-9904-1975-13621-4 .
  22. ^ Ruskai, Mary Beth (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики . 43 (9). AIP Publishing: 4358–4375. arXiv : quant-ph/0205064 . Bibcode :2002JMP....43.4358R. doi :10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.исправление 46, 019901 (2005)
  23. ^ ab Petz, Dénes (1986). «Достаточные подалгебры и относительная энтропия состояний алгебры фон Неймана». Communications in Mathematical Physics . 105 (1). Springer Science and Business Media LLC: 123–131. Bibcode : 1986CMaPh.105..123P. doi : 10.1007/bf01212345. ISSN  0010-3616. S2CID  18836173.
  24. ^ Д. Петц, Достаточность каналов над алгебрами фон Неймана, Quart. J. Math. Oxford 35, 475–483 (1986).
  25. ^ P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz, A. Winter , Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством, Comm. Math. Phys. 246, 359–374 (2003).
  26. ^ И. Ким, Операторное расширение сильной субаддитивности энтропии, arXiv :1210.5190 (2012).
  27. ^ Эффрос, Э.Г. (2009). «Подход с использованием матричной выпуклости к некоторым знаменитым квантовым неравенствам». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 106 (4): 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . Bibcode : 2009PNAS..106.1006E. doi : 10.1073/pnas.0807965106 . PMC 2633548. PMID  19164582 . 
  28. ^ МБ Рускай, Замечания о сильном неравенстве субаддитивности матрицы Кима: расширения и условия равенства, arXiv :1211.0049 (2012).
  29. ^ О. Фаузи, Р. Реннер. Квантовая условная взаимная информация и приближенные цепи Маркова. Сообщения по математической физике: 340, 2 (2015)
  30. ^ MM Wilde. Восстанавливаемость в квантовой теории информации. Труды Королевского общества A, т. 471, № 2182, стр. 20150338 Октябрь 2015 г.
  31. ^ Мариус Юнге, Ренато Реннер, Дэвид Саттер, Марк М. Уайлд, Андреас Винтер. Универсальные карты восстановления и приближенная достаточность квантовой относительной энтропии. Annales Henri Poincare, т. 19, № 10, страницы 2955--2978, октябрь 2018 г. arXiv :1509.07127
  32. ^ Карлен, Эрик А.; Вершинина, Анна (2017-10-06). "Устойчивость карты восстановления для неравенства обработки данных". arXiv : 1710.02409 [math.OA].
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Strong_subadditivity_of_quantum_entropy&oldid=1195444165"