Энтропия запутанности
Концепция квантовой физики

Энтропия запутанности (или энтропия запутанности ) является мерой степени квантовой запутанности между двумя подсистемами, составляющими двухчастную составную квантовую систему . Учитывая чистое двухчастное квантовое состояние составной системы, можно получить приведенную матрицу плотности, описывающую знание состояния подсистемы. Энтропия запутанности является энтропией фон Неймана приведенной матрицы плотности для любой из подсистем. Если она не равна нулю, это указывает на то, что две подсистемы запутаны.

Более математически; если состояние, описывающее две подсистемы A и B, является разделимым состоянием, то приведенная матрица плотности является чистым состоянием . Таким образом, энтропия состояния равна нулю. Аналогично, матрица плотности B также будет иметь нулевую энтропию. Следовательно, приведенная матрица плотности, имеющая ненулевую энтропию, является сигналом о наличии запутанности в системе. | Ψ А Б ⟩ = | ϕ А ⟩ | ϕ Б ⟩ {\displaystyle |\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A} \rangle |\phi _{B}\rangle } ρ А = Тр Б ⁡ | Ψ А Б ⟩ ⟨ Ψ А Б | = | ϕ А ⟩ ⟨ ϕ А | {\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB} \rangle \langle \Psi _{AB} |=|\phi _{A} \rangle \langle \ фи _{A}|}

Двудольная энтропия запутанности

Предположим, что квантовая система состоит из частиц. Двудольное разделение системы — это разделение, которое делит систему на две части и , содержащие и частицы соответственно с . Двудольная энтропия запутанности определяется относительно этого двудольного разделения. Н {\displaystyle N} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} к {\displaystyle к} л {\displaystyle л} к + л = Н {\displaystyle к+л=N}

Энтропия запутанности фон Неймана

Двусоставная энтропия запутанности фон Неймана определяется как энтропия фон Неймана любого из ее приведенных состояний, поскольку они имеют одинаковое значение (можно доказать из разложения Шмидта состояния относительно двусоставности); результат не зависит от того, какой из них мы выбираем. То есть, для чистого состояния он определяется как: С {\displaystyle S} ρ А Б = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | А Б {\displaystyle \rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}}

С ( ρ А ) = − Тр ⁡ [ ρ А бревно ⁡ ρ А ] = − Тр ⁡ [ ρ Б бревно ⁡ ρ Б ] = С ( ρ Б ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})}

где и — матрицы приведенной плотности для каждого разбиения. ρ А = Тр Б ⁡ ( ρ А Б ) {\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})} ρ Б = Тр А ⁡ ( ρ А Б ) {\displaystyle \rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})}

Энтропия запутанности может быть выражена с использованием сингулярных значений разложения Шмидта состояния. Любое чистое состояние может быть записано как где и являются ортонормальными состояниями в подсистеме и подсистеме соответственно. Энтропия запутанности просто: | Ψ ⟩ = ∑ i = 1 m α i | u i ⟩ A ⊗ | v i ⟩ B {\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}} | u i ⟩ A {\displaystyle |u_{i}\rangle _{A}} | v i ⟩ B {\displaystyle |v_{i}\rangle _{B}} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}

− ∑ i α i 2 log ⁡ ( α i 2 ) {\textstyle -\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\log(\alpha _{i}^{2})}

Такая форма записи энтропии ясно показывает, что энтропия запутанности одинакова независимо от того, вычисляется ли частичный след по подсистеме или нет . A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}


Многие меры запутанности сводятся к энтропии запутанности при оценке на чистых состояниях. Среди них:

Некоторые меры запутанности, которые не сводятся к энтропии запутанности:

Энтропии запутанности Реньи

Энтропии запутанности Реньи также определяются в терминах приведенных матриц плотности и индекса Реньи . Он определяется как энтропия Реньи приведенных матриц плотности: S α {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }} α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0}

S α ( ρ A ) = 1 1 − α log ⁡ tr ⁡ ( ρ A α ) = S α ( ρ B ) {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})}

Обратите внимание, что в пределе энтропия запутанности Реньи приближается к энтропии запутанности фон Неймана. α → 1 {\displaystyle \alpha \rightarrow 1}

Пример со связанными гармоническими осцилляторами

Рассмотрим два связанных квантовых гармонических осциллятора с положениями и , импульсами и , и гамильтонианом системы q A {\displaystyle q_{A}} q B {\displaystyle q_{B}} p A {\displaystyle p_{A}} p B {\displaystyle p_{B}}

H = ( p A 2 + p B 2 ) / 2 + ω 1 2 ( q A 2 + q B 2 ) / 2 + ω 2 2 ( q A − q B ) 2 / 2 {\displaystyle H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}}

При , матрица плотности чистого основного состояния системы равна , что в базисе положения равно . Тогда [2] ω ± 2 = ω 1 2 + ω 2 2 ± ω 2 2 {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}} ρ A B = | 0 ⟩ ⟨ 0 | {\displaystyle \rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|} ⟨ q A , q B | ρ A B | q A ′ , q B ′ ⟩ ∝ exp ⁡ ( − ω + ( q A + q B ) 2 / 2 − ω − ( q A − q B ) 2 / 2 − ω + ( q A ′ + q B ′ ) 2 / 2 − ω − ( q A ′ − q B ′ ) 2 / 2 ) {\displaystyle \langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)}

⟨ q A | ρ A | q A ′ ⟩ ∝ exp ⁡ ( 2 ( ω + − ω − ) 2 q A q A ′ − ( 8 ω + ω − + ( ω + − ω − ) 2 ) ( q A 2 + q A ′ 2 ) 8 ( ω + + ω − ) ) {\displaystyle \langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)}

Так как в точности равна матрице плотности одного квантового гармонического осциллятора частоты при тепловом равновесии с температурой (такой, что где - постоянная Больцмана ), собственные значения для неотрицательных целых чисел . Таким образом, энтропия фон Неймана равна ρ A {\displaystyle \rho _{A}} ω ≡ ω + ω − {\displaystyle \omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}} T {\displaystyle T} ω / k B T = cosh − 1 ⁡ ( 8 ω + ω − + ( ω + − ω − ) 2 ( ω + − ω − ) 2 ) {\displaystyle \omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)} k B {\displaystyle k_{B}} ρ A {\displaystyle \rho _{A}} λ n = ( 1 − e − ω / k B T ) e − n ω / k B T {\displaystyle \lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}} n {\displaystyle n}

− ∑ n λ n ln ⁡ ( λ n ) = ω / k B T e ω / k B T − 1 − ln ⁡ ( 1 − e − ω / k B T ) {\displaystyle -\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})} .

Аналогично энтропия Реньи . S α ( ρ A ) = ( 1 − e − ω / k B T ) α 1 − e − α ω / k B T / ( 1 − α ) {\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )}

Закон площади энтропии двудольной запутанности

Квантовое состояние удовлетворяет закону площади , если ведущий член энтропии запутанности растет не более чем пропорционально границе между двумя разделами. Законы площади удивительно распространены для основных состояний локальных квантовых систем многих тел с щелями. Это имеет важные приложения, одно из таких приложений заключается в том, что оно значительно снижает сложность квантовых систем многих тел. Группа перенормировки матрицы плотности и состояния матричного произведения , например, неявно полагаются на такие законы площади. [3]

Ссылки/источники

  1. ^ Аноним (2015-10-23). ​​"Энтропия запутанности". Quantiki . Получено 2019-10-17 .
  2. ^ Энтропия и площадь Марк Средницкий Phys. Rev. Lett. 71, 666 – Опубликовано 2 августа 1993 г. arXiv :hep-th/9303048
  3. ^ Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, MB (февраль 2010 г.). «Colloquium: Area laws for the entanglement entropy». Reviews of Modern Physics . 82 (1): 277–306. arXiv : 0808.3773 . Bibcode : 2010RvMP...82..277E. doi : 10.1103/RevModPhys.82.277.
  • Янцинг, Доминик (2009). «Энтропия запутанности». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. стр. 205–209. дои : 10.1007/978-3-540-70626-7_66. ISBN 978-3-540-70626-7.
Значок заглушки

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropy_of_entanglement&oldid=1249356313"