Модуль Верма

Модули Верма , названные в честь Дайя-Нанда Верма , являются объектами в теории представлений алгебр Ли , разделе математики .

Модули Верма могут быть использованы в классификации неприводимых представлений комплексной полупростой алгебры Ли. В частности, хотя сами модули Верма являются бесконечномерными, их факторы могут быть использованы для построения конечномерных представлений с наивысшим весом , где является доминирующим и целым. ^[1] Их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам над флаговыми многообразиями .${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда}$

Мы можем объяснить идею модуля Верма следующим образом. ^[2] Пусть будет полупростой алгеброй Ли (над , для простоты). Пусть будет фиксированной подалгеброй Картана , а пусть будет ассоциированной корневой системой. Пусть будет фиксированным множеством положительных корней. Для каждого выберите ненулевой элемент для соответствующего корневого пространства и ненулевой элемент в корневом пространстве . Мы думаем о ' как о "повышающих операторах", а о ' как о "понижающих операторах".${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle \альфа \in R^{+}}$${\displaystyle X_{\альфа}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\альфа}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$${\displaystyle X_{\альфа}}$${\displaystyle Y_{\альфа}}$

Теперь пусть будет произвольным линейным функционалом, не обязательно доминирующим или целым. Наша цель — построить представление с наибольшим весом , которое генерируется одним ненулевым вектором с весом . Модуль Верма — один из таких модулей с наибольшим весом, максимальный в том смысле, что любой другой модуль с наибольшим весом и наибольшим весом является фактором модуля Верма. Окажется, что модули Верма всегда бесконечномерны; если же — доминирующий целочисленный, то можно построить конечномерный фактор-модуль модуля Верма. Таким образом, модули Верма играют важную роль в классификации конечномерных представлений . В частности, они являются важным инструментом в сложной части теоремы о наибольшем весе , а именно, показывая, что каждый доминирующий целочисленный элемент на самом деле возникает как наибольший вес конечномерного неприводимого представления .${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle W_{\лямбда}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теперь мы попытаемся интуитивно понять, как должен выглядеть модуль Вермы с наибольшим весом. Поскольку is должен быть вектором с наибольшим весом с весом , мы, конечно, хотим ${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

и

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Тогда следует охватывать элементы, полученные путем понижения под действием 's:${\displaystyle W_{\лямбда}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y_{\альфа}}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Теперь мы накладываем только те соотношения между векторами вышеуказанной формы, которые требуются коммутационными соотношениями между '. В частности, модуль Верма всегда бесконечномерен. Веса модуля Верма с наибольшим весом будут состоять из всех элементов , которые могут быть получены из вычитанием целочисленных комбинаций положительных корней. На рисунке показаны веса модуля Верма для .${\displaystyle Y}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Простой аргумент переупорядочения показывает, что существует только один возможный способ, которым полная алгебра Ли может действовать на этом пространстве. В частности, если является любым элементом из , то по легкой части теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта мы можем переписать${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\альфа _{i_{1}}}\cdots Y_{\альфа _{i_{M}}}}$

как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли с действующими сначала повышающими операторами, элементами подалгебры Картана и, наконец, понижающими операторами . Применяя эту сумму членов к , любой член с повышающим оператором равен нулю, любые множители в Картане действуют как скаляры, и, таким образом, мы получаем элемент исходной формы.${\displaystyle X_{\альфа}}$${\displaystyle Y_{\альфа}}$${\displaystyle v}$

Чтобы немного лучше понять структуру модуля Верма, мы можем выбрать порядок положительных корней как и обозначим соответствующие понижающие операторы как . Затем с помощью простого аргумента переупорядочивания каждый элемент приведенной выше формы может быть переписан как линейная комбинация элементов с ' в определенном порядке:${\displaystyle \альфа _{1},\ldots \альфа _{n}}$${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

где 's — неотрицательные целые числа. На самом деле оказывается, что такие векторы образуют основу для модуля Верма.${\displaystyle k_{j}}$

Хотя это описание модуля Верма дает интуитивное представление о том, как выглядит , все еще остается дать его строгую конструкцию. В любом случае, модуль Верма дает — для любого , не обязательно доминирующего или интегрального — представление с наибольшим весом . Цена, которую мы платим за эту относительно простую конструкцию, заключается в том, что всегда бесконечномерен. В случае, когда является доминирующим и интегральным, можно построить конечномерный неприводимый фактор модуля Верма. ^[3]${\displaystyle W_{\лямбда}}$ ${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle W_{\лямбда}}$${\displaystyle \лямбда}$

Пусть будет обычной основой для :${\displaystyle {X,Y,H}}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (2; \ mathbb {C})}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

с подалгеброй Картана, являющейся оболочкой . Пусть определяется как для произвольного комплексного числа . Тогда модуль Верма с наибольшим весом охватывается линейно независимыми векторами , а действие базисных элементов следующее: ^[4]${\displaystyle H}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда (H)=м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Это означает, в частности, что и что .) Эти формулы мотивированы тем, как базисные элементы действуют в конечномерных представлениях , за исключением того, что мы больше не требуем, чтобы «цепочка» собственных векторов для должна была заканчиваться.${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (2; \ mathbb {C})}$${\displaystyle H}$

В этой конструкции — произвольное комплексное число, не обязательно действительное, положительное или целое число. Тем не менее, случай, когда — неотрицательное целое число, является особым. В этом случае легко видеть, что диапазон векторов инвариантен, поскольку . Тогда частный модуль — это конечномерное неприводимое представление размерности${\displaystyle м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (2; \ mathbb {C})}$${\displaystyle м+1.}$

Существуют две стандартные конструкции модуля Верма, обе из которых включают концепцию универсальной обертывающей алгебры . Мы продолжаем обозначения предыдущего раздела: — комплексная полупростая алгебра Ли, — фиксированная подалгебра Картана, — ассоциированная корневая система с фиксированным набором положительных корней. Для каждого мы выбираем ненулевые элементы и .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle \альфа \in R^{+}}$${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

Первая конструкция ^[5] модуля Верма является фактором универсальной обертывающей алгебры . Поскольку предполагается, что модуль Верма является -модулем , он также будет -модулем по универсальному свойству обертывающей алгебры. Таким образом, если у нас есть модуль Верма с наивысшим вектором веса , то будет линейное отображение из в , заданное формулой${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\лямбда}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\лямбда}}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Так как предполагается, что генерируется , отображение должно быть сюръективным. Так как предполагается, что является вектором с наибольшим весом, ядро ​​должно включать все корневые векторы для в . Так как также предполагается, что является вектором веса с весом , ядро ​​должно включать все векторы вида${\displaystyle W_{\лямбда}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle X_{\альфа}}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \Фи}$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Наконец, ядро ​​должно быть левым идеалом в ; в конце концов, если то для всех .${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle x\cdot v=0}$${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

Предыдущее обсуждение мотивирует следующую конструкцию модуля Верма. Мы определяем как фактор-векторное пространство${\displaystyle W_{\лямбда}}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

где левый идеал, порожденный всеми элементами вида ${\displaystyle I_{\лямбда}}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

и

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Поскольку является левым идеалом, естественное левое действие на себя переносится на фактор. Таким образом, является -модулем и, следовательно, также -модулем.${\displaystyle I_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Процедура " расширения скаляров " - это метод изменения левого модуля над одной алгеброй (не обязательно коммутативной) в левый модуль над большей алгеброй , содержащей в качестве подалгебры. Мы можем рассматривать как правый -модуль, где действует на умножением справа. Поскольку является левым -модулем, а является правым -модулем, мы можем образовать тензорное произведение двух над алгеброй :${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Теперь, поскольку является левым -модулем над собой, указанное выше тензорное произведение несет структуру левого модуля над большей алгеброй , однозначно определяемую требованием, что${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

для всех и в . Таким образом, исходя из левого -модуля , мы получили левый -модуль .${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Теперь применим эту конструкцию в условиях полупростой алгебры Ли. Пусть будет подалгеброй , натянутой на , и корневыми векторами с . (Таким образом, является «борелевской подалгеброй» .) Мы можем образовать левый модуль над универсальной обертывающей алгеброй следующим образом:${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$представляет собой одномерное векторное пространство, охватывающее один вектор вместе со структурой -модуля , которая действует как умножение на , а положительные корневые пространства действуют тривиально:${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Мотивация этой формулы заключается в том, что она описывает, как следует воздействовать на вектор с наибольшим весом в модуле Верма.${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Теперь, из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует , что является подалгеброй . Таким образом, мы можем применить технику расширения скаляров для преобразования из левого -модуля в левый -модуль следующим образом:${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Так как является левым -модулем, то он, в частности, является модулем (представлением) для .${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Какая бы конструкция модуля Верма ни использовалась, нужно доказать, что она нетривиальна, т.е. не является нулевым модулем. На самом деле, можно использовать теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта, чтобы показать, что лежащее в основе векторное пространство изоморфно${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

где — подалгебра Ли, порожденная отрицательными корневыми пространствами (то есть 's). ^[6]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Модули Верма, рассматриваемые как - модули , являются модулями с наибольшим весом , т.е. они генерируются вектором с наибольшим весом . Этот вектор с наибольшим весом есть (первый - это единица в , а второй - это единица в поле , рассматриваемом как - модуль ) и он имеет вес .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 1\otimes 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Модули Верма являются весовыми модулями , т.е. являются прямой суммой всех своих весовых пространств . Каждое весовое пространство в конечномерно, а размерность -весового пространства равна числу способов выражения в виде суммы положительных корней (это тесно связано с так называемой статистической суммой Костанта ). Это утверждение следует из более раннего утверждения о том, что модуль Верма изоморфен как векторное пространство , а также из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта для .${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle W_{\mu }}$${\displaystyle \lambda -\mu }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

Модули Верма обладают очень важным свойством: если любое представление порождёно вектором с наибольшим весом веса , то существует сюръективный - гомоморфизм То есть все представления с наибольшим весом , которые порождёны вектором с наибольшим весом (так называемые модули с наибольшим весом ) , являются частными${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W_{\lambda }.}$

${\displaystyle W_{\lambda }}$содержит единственный максимальный подмодуль , а его фактор является единственным (с точностью до изоморфизма ) неприводимым представлением с наибольшим весом ^[7]. Если наибольший вес является доминирующим и целым, то доказывается, что этот неприводимый фактор на самом деле конечномерен. ^[8]${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda }$

В качестве примера рассмотрим случай, обсуждавшийся выше. Если наибольший вес — «доминантный интеграл» — что означает просто, что это неотрицательное целое число — то и диапазон элементов инвариантен. Тогда факторное представление неприводимо с размерностью . Факторное представление охватывается линейно независимыми векторами . Действие такое же, как в модуле Верма, за исключением того, что в факторном, по сравнению с модулем Верма.${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle Yv_{m}=0}$${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

Сам модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда является антидоминантным. ^[9] Следовательно, когда является целым, неприводим тогда и только тогда, когда ни одна из координат в базисе фундаментальных весов не принадлежит множеству , тогда как в общем случае это условие необходимо, но недостаточно для того, чтобы быть неприводимым.${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

Модуль Верма называется регулярным , если его максимальный вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминантного веса . Другими словами, существует элемент w группы Вейля W такой, что${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

где — аффинное действие группы Вейля .${\displaystyle \cdot }$

Модуль Верма называется сингулярным , если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес такой, что находится на стенке фундаментальной камеры Вейля (δ — сумма всех фундаментальных весов ).${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Для любых двух весов нетривиальный гомоморфизм${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

могут существовать только если и связаны с аффинным действием группы Вейля алгебры Ли . Это легко следует из теоремы Хариша-Чандры о бесконечно малых центральных характерах .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Каждый гомоморфизм модулей Верма инъективен и размерность

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

для любого . Таким образом, существует ненулевой тогда и только тогда, когда изоморфен ( единственному) подмодулю .${\displaystyle \mu ,\lambda }$${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$${\displaystyle W_{\mu }}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

Полная классификация гомоморфизмов модулей Верма была проведена Бернштейном–Гельфандом–Гельфандом ^[10] и Верма ^[11] и может быть суммирована в следующем утверждении:

Существует ненулевой гомоморфизм тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

последовательность весов

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

такой, что для некоторых положительных корней (и — соответствующее отражение корня , а — сумма всех фундаментальных весов ) и для каждого — натуральное число ( — сокорень , связанный с корнем ).${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Если модули Верма и регулярны, то существует единственный доминирующий вес и уникальные элементы w , w ′ группы Вейля W такие, что${\displaystyle M_{\mu }}$${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

и

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

где — аффинное действие группы Вейля. Если веса далее целые , то существует ненулевой гомоморфизм${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в упорядочении Брюа группы Вейля.

Позволять

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

будет последовательностью -модулей, такой что фактор B/A неприводим с наибольшим весом μ. Тогда существует ненулевой гомоморфизм .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Простым следствием этого является то, что для любых модулей с наибольшим весом, таких, что${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

существует ненулевой гомоморфизм .${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Пусть — конечномерное неприводимое представление алгебры Ли со старшим весом λ. Из раздела о гомоморфизмах модулей Верма мы знаем, что существует гомоморфизм${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в порядке Брюа группы Вейля . Следующая теорема описывает проективное разрешение в терминах модулей Верма (она была доказана Бернштейном – Гельфандом – Гельфандом в 1975 году ^[12] ):${\displaystyle V_{\lambda }}$

Существует точная последовательность -гомоморфизмов${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

где n — длина наибольшего элемента группы Вейля.

Аналогичное разрешение существует и для обобщенных модулей Верма . Оно обозначается кратко как разрешение BGG .

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теорема о наибольшем весе
• Обобщенный модуль Верма
• модуль Вейля

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том 7. Северная Голландия. Глава 20. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Картер, Р. (2005), Алгебры Ли конечного и аффинного типа , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Дж. (1980), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Кнапп, AW (2002), Группы Ли. Вне введения (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Роча, Олвани (2001) [1994], "BGG Resolution", Энциклопедия математики , EMS Press
• Роггенкамп, К.; Стефанеску, М. (2002), Алгебра - Теория представлений , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

В данной статье использованы материалы из модуля Verma на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .