Инвариантный дифференциальный оператор

В математике и теоретической физике инвариантный дифференциальный оператор — это своего рода математическое отображение некоторых объектов на объект подобного типа. Этими объектами обычно являются функции на , функции на многообразии , векторные функции, векторные поля или, в более общем смысле, сечения векторного расслоения .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В инвариантном дифференциальном операторе термин дифференциальный оператор указывает, что значение отображения зависит только от и производных по . Слово инвариант указывает, что оператор содержит некоторую симметрию . Это означает, что существует группа с групповым действием на функции (или другие рассматриваемые объекты), и это действие сохраняется оператором:${\displaystyle D}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

Обычно действие группы имеет смысл смены координат (смены наблюдателя), а инвариантность означает, что оператор имеет одно и то же выражение во всех допустимых координатах.

Пусть M  =  G / H — ​​однородное пространство для группы Ли G и подгруппы Ли H. Каждое представление порождает векторное расслоение${\ displaystyle \ rho: H \ rightarrow \ mathrm {Aut} (\ mathbb {V})}$

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{где}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{и}}\;v\in \mathbb {V} .}$

Разделы могут быть идентифицированы с помощью${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi:G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\; \forall \;g\in G,\;h\in H\}.}$

В этой форме группа G действует на сечения посредством

${\displaystyle (\ell _{g}\varphi)(g')=\varphi (g^{-1}g').}$

Теперь пусть V и W — два векторных расслоения над M. Тогда дифференциальный оператор

${\ displaystyle d: \ Gamma (V) \ rightarrow \ Gamma (W)}$

который отображает разделы V в разделы W, называется инвариантным, если

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi)=\ell _{g}(d\varphi).}$

для всех сечений в и элементов g в G. Все линейные инвариантные дифференциальные операторы на однородных параболических геометриях , т.е. когда G полупроста, а H — параболическая подгруппа, задаются дуально гомоморфизмами обобщенных модулей Верма .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Гамма (В)}$

Учитывая два соединения и одну форму , мы имеем${\displaystyle \набла}$${\displaystyle {\hat {\набла }}}$${\displaystyle \омега}$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c }}$

для некоторого тензора . ^[1] При заданном классе эквивалентности связей мы говорим, что оператор инвариантен, если форма оператора не меняется при переходе от одной связи в классе эквивалентности к другой. Например, если мы рассмотрим класс эквивалентности всех связей без кручения , то тензор Q симметричен по своим нижним индексам, т.е. . Поэтому мы можем вычислить${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$${\displaystyle [\набла ]}$${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]} = {\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},}$

где скобки обозначают косую симметризацию. Это показывает инвариантность внешней производной при действии на одну форму. Классы эквивалентности связей возникают естественным образом в дифференциальной геометрии, например:

• В конформной геометрии класс эквивалентности связей задается связями Леви-Чивита всех метрик в конформном классе;
• В проективной геометрии класс эквивалентности связности задается всеми связностями, имеющими одинаковые геодезические ;
• В CR-геометрии класс эквивалентности связей задается связями Танаки-Вебстера для каждого выбора псевдоэрмитовой структуры.

1. Обычный оператор градиента , действующий на действительнозначные функции в евклидовом пространстве, инвариантен относительно всех евклидовых преобразований .${\displaystyle \набла}$
2. Дифференциал , действующий на функции на многообразии со значениями в 1-формах (его выражение находится в любых локальных координатах), инвариантен относительно всех гладких преобразований многообразия (действие преобразования на дифференциальные формы — это просто обратный образ ).
        ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$
   
3. В более общем смысле внешняя производная , действующая на n -формы любого гладкого многообразия M, инвариантна относительно всех гладких преобразований. Можно показать, что внешняя производная является единственным линейным инвариантным дифференциальным оператором между этими расслоениями.
        ${\displaystyle d:\Омега ^{n}(M)\rightarrow \Омега ^{n+1}(M)}$
   
4. Оператор Дирака в физике инвариантен относительно группы Пуанкаре (если мы выберем правильное действие группы Пуанкаре на спинорнозначные функции. Однако это тонкий вопрос, и если мы хотим сделать его математически строгим, мы должны сказать, что он инвариантен относительно группы, которая является двойным покрытием группы Пуанкаре)
5. Конформное уравнение Киллинга представляет собой конформно-инвариантный линейный дифференциальный оператор между векторными полями и симметричными бесследовыми тензорами.
        ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$
   

• 
  Сфера (здесь показана красным кругом) как конформное однородное многообразие.

Учитывая метрику

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

на , мы можем записать сферу как пространство генераторов ниль-конуса${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

Таким образом, плоская модель конформной геометрии представляет собой сферу с , а P — стабилизатором точки в . Известна классификация всех линейных конформно-инвариантных дифференциальных операторов на сфере (Иствуд и Райс, 1987). ^[2]${\displaystyle S^{n}=G/P}$${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$

• Дифференциальные операторы
• инвариант Лапласа
• Инвариантная факторизация LPDO

^[1]

• Словак, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях. Конспект научных лекций, Венский университет (диссертация).
• Коларж, Иван; Михор, Петер; Словак, Ян (1993). Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) . Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-03-30 . Получено 2011-01-05 .
• Иствуд, МГ; Райс, ДЖ. В. (1987). «Конформно-инвариантные дифференциальные операторы в пространстве Минковского и их искривленные аналоги». Commun. Math. Phys . 109 (2): 207– 228. Bibcode :1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.
• Kroeske, Jens (2008). "Инвариантные билинейные дифференциальные пары на параболических геометриях". Кандидатская диссертация из Университета Аделаиды . arXiv : 0904.3311 . Bibcode :2009PhDT.......274K.