заказ Брюа

В математике порядок Брюа (также называемый сильным порядком , сильным порядком Брюа , порядком Шевалле , порядком Брюа–Шевалле или порядком Шевалле–Брюа ) — это частичный порядок элементов группы Кокстера , который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта .

Порядок Брюа на многообразиях Шуберта флагового многообразия или грассманиана был впервые изучен Эресманном (1934), а аналог для более общих полупростых алгебраических групп был изучен Шевалле (1958). Верма (1968) начал комбинаторное исследование порядка Брюа на группе Вейля и ввел название «порядок Брюа» из-за связи с разложением Брюа, введенным Франсуа Брюа .

Левое и правое слабое упорядочение Брюа изучалось Бьёрнером (1984).

Если ( W , S ) — система Коксетера с генераторами S , то порядок Брюа является частичным порядком на группе W . Определение порядка Брюа опирается на несколько других определений: во-первых, сокращенное слово для элемента w из W — это минимальное по длине выражение w как произведения элементов S , а длина ℓ ( w ) элемента w — это длина его сокращенных слов. Тогда (сильный) порядок Брюа определяется как u ≤ v , если некоторая подстрока некоторого (или каждого) сокращенного слова для v является сокращенным словом для  u . (Здесь подстрока не обязательно является последовательной подстрокой.)

Существуют еще два связанных частичных приказа:

• слабый левый порядок (порядок Брюа) определяется как u ≤ _L v, если некоторая конечная подстрока некоторого приведенного слова для v является приведенным словом для  u , и
• слабый правый порядок (порядок Брюа) определяется как u ≤ _R v , если некоторая начальная подстрока некоторого приведенного слова для v является приведенным словом для  u .

Более подробную информацию о слабых порядках см. в статье Слабый порядок перестановок .

Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с (сильным) порядком Брюа. Множество вершин — это множество элементов группы Коксетера, а множество ребер состоит из направленных ребер ( u , v ) , когда u = tv для некоторого отражения t и ℓ ( u ) < ℓ ( v ) . Граф можно рассматривать как направленный граф с ребрами, метки которых исходят из множества отражений. (Можно также определить граф Брюа, используя умножение справа; как графы, результирующие объекты изоморфны, но маркировки ребер различны.)

Сильный порядок Брюа на симметрической группе (перестановки) имеет функцию Мёбиуса, заданную выражением , и, таким образом, этот посет является эйлеровым , то есть его функция Мёбиуса получается с помощью ранговой функции на посете.${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}}$

• Полином Каждана–Люстига

• Бьёрнер, Андерс (1984), «Упорядочение групп Коксетера», в Greene, Curtis (ред.), Combinatorics and algebra (Боулдер, Колорадо, 1983), Contemp. Math., т. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр.  175–195 , ISBN 978-0-8218-5029-9, МР  0777701
• Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для аспирантов по математике, том. 231, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-27596-7, ISBN. 978-3-540-44238-7, г-н  2133266
• Шевалле, К. (1958), «Sur les decompositions cellulaires des espaces G/B», в Хабуше, Уильям Дж.; Паршалл, Брайан Дж. (ред.), Алгебраические группы и их обобщения: классические методы (University Park, PA, 1991), Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр.  1–23 , ISBN. 978-0-8218-1540-3, г-н  1278698
• Эресманн, Шарль (1934), «Sur la Topologie de Sures Espaces Homogenes», Annals of Mathematics , вторая серия (на французском языке), 35 (2), Annals of Mathematics: 396–443 , doi : 10.2307/1968440, ISSN  0003- 486X, ЯФМ  60.1223.05, АКБ  1968440
• Верма, Дайя-Нанд (1968), «Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли», Бюллетень Американского математического общества , 74 : 160– 166, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN  0002-9904, MR  0218417