Обобщенный модуль Верма

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Generalized Verma module" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2008) (Learn how and when to remove this message)

В математике обобщенные модули Верма являются обобщением (истинного) модуля Верма , ^[1] и являются объектами в теории представлений алгебр Ли . Первоначально они были изучены Джеймсом Леповски в 1970-х годах. Мотивацией для их изучения является то, что их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам над обобщенными флаговыми многообразиями . Изучение этих операторов является важной частью теории параболических геометрий.

Пусть — полупростая алгебра Ли и параболическая подалгебра . Для любого неприводимого конечномерного представления мы определяем обобщенный модуль Верма как относительное тензорное произведение${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V}$.

Действие — левое умножение в .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$

Если λ — наибольший вес V, мы иногда обозначаем модуль Верма как .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Обратите внимание, что это имеет смысл только для -доминантных и -интегральных весов (см. вес ) .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \lambda }$

Хорошо известно, что параболическая подалгебра определяет единственную градуировку, так что . Пусть . Из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует , что как векторное пространство (и даже как -модуль и как -модуль),${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes V}$.

В дальнейшем тексте мы будем обозначать обобщенный модуль Верма просто как GVM.

GVM являются модулями с наибольшим весом , а их наибольший вес λ является наибольшим весом представления V. Если — вектор с наибольшим весом в V, то — вектор с наибольшим весом в .${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle 1\otimes v_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

GVM являются весовыми модулями , т.е. они являются прямой суммой своих весовых пространств , и эти весовые пространства являются конечномерными.

Как и все модули с наибольшим весом , GVM являются частными модулями Верма. Ядро проекции — ${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

${\displaystyle (1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

где — множество тех простых корней α, что отрицательные корневые пространства корня находятся в (множество S однозначно определяет подалгебру ), — корневое отражение относительно корня α и — аффинное действие на λ. Из теории (истинных) модулей Верма следует , что изоморфно единственному подмодулю . В (1) мы определили . Сумма в (1) не является прямой .${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }\cdot \lambda }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

В частном случае, когда , параболическая подалгебра является подалгеброй Бореля , а GVM совпадает с (истинным) модулем Верма. В другом экстремальном случае, когда , и GVM изоморфна индуцирующему представлению V.${\displaystyle S=\emptyset }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S=\Delta }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}}$

GVM называется регулярной , если ее наибольший вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминирующего веса . Другими словами, существует элемент w группы Вейля W такой, что${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

где — аффинное действие группы Вейля.${\displaystyle \cdot }$

Модуль Верма называется сингулярным , если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес такой, что находится на стенке фундаментальной камеры Вейля (δ — сумма всех фундаментальных весов ).${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Под гомоморфизмом GVM мы подразумеваем -гомоморфизм.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для любых двух весов гомоморфизм${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

могут существовать только если и связаны с аффинным действием группы Вейля алгебры Ли . Это легко следует из теоремы Хариша-Чандры о бесконечно малых центральных характерах .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В отличие от случая (истинных) модулей Верма , гомоморфизмы GVM в общем случае не являются инъективными, а размерность

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))}$

в некоторых конкретных случаях может быть больше единицы.

Если — гомоморфизм (истинных) модулей Верма, соответственно — ядра проекции , соответственно , то существует гомоморфизм и f факторизуется в гомоморфизм обобщенных модулей Верма . Такой гомоморфизм (то есть фактор гомоморфизма модулей Верма) называется стандартным . Однако стандартный гомоморфизм может быть нулевым в некоторых случаях.${\displaystyle f:M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )}$${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle K_{\mu }\to K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Предположим, что существует нетривиальный гомоморфизм истинных модулей Верма . Пусть будет множеством тех простых корней α, что отрицательные корневые пространства корня находятся в (как в разделе Свойства). Следующая теорема доказана Леповски : ^[2]${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Стандартный гомоморфизм равен нулю тогда и только тогда, когда существует такой, что является изоморфным подмодулю ( — соответствующее корневое отражение , а — аффинное действие ).${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle \alpha \in S}$${\displaystyle M_{\mu }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \cdot }$

Структура GVM на аффинной орбите -доминантного и -целого веса может быть описана явно. Если W является группой Вейля для , то существует подмножество таких элементов, так что является -доминантным. Можно показать, что где является группой Вейля для (в частности, не зависит от выбора ). Отображение является биекцией между и множеством GVM с наибольшими весами на аффинной орбите для . Пусть как предположим, что , и в порядке Брюа (в противном случае нет гомоморфизма (истинных) модулей Верма и стандартный гомоморфизм не имеет смысла, см. Гомоморфизмы модулей Верма ).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\subset W}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W}$${\displaystyle W_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\leq w'}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$

Из приведенной выше теоремы и структуры вытекают следующие утверждения :${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$

Теорема. Если для некоторого положительного корня и длины (см. упорядочение Брюа ) l(w')=l(w)+1, то существует ненулевой стандартный гомоморфизм .${\displaystyle w'=s_{\gamma }w}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Теорема . Стандартный гомоморфизм равен нулю тогда и только тогда, когда существует такое, что и .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle w''\in W}$${\displaystyle w\leq w''\leq w'}$${\displaystyle w''\notin W^{\mathfrak {p}}}$

Однако если является только доминирующим, но не целым, на его аффинной орбите все равно могут существовать -доминантные и -целые веса.${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Ситуация еще более усложняется, если GVM имеют сингулярный характер, т.е. существуют и находятся на аффинной орбите некоторой такой, которая находится на стенке фундаментальной камеры Вейля .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Гомоморфизм называется нестандартным , если он не является стандартным. Может случиться, что стандартный гомоморфизм GVM равен нулю, но все равно существует нестандартный гомоморфизм.${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

This section is empty. You can help by adding to it. (July 2010)

• Поля конформной теории поля принадлежат обобщенным модулям Верма конформной алгебры . ^[3]

• Модуль Верма
• Параболическая геометрия

• Код для построения резолюции BGG модулей алгебры Ли и вычисления ее когомологий