Статистическая сумма Костанта

В теории представлений , разделе математики, функция распределения Костанта , введенная Бертрамом Костантом  (1958, 1959), корневой системы — это число способов, которыми можно представить вектор ( вес ) как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию положительных корней . Костант использовал ее, чтобы переписать формулу характера Вейля как формулу ( формулу кратности Костанта ) для кратности веса неприводимого представления полупростой алгебры Ли . Альтернативной формулой, которая в некоторых случаях более вычислительно эффективна, является формула Фрейденталя .${\displaystyle \Дельта}$ ${\displaystyle \Дельта ^{+}\subset \Дельта }$

Статистическая сумма Костанта также может быть определена для алгебр Каца–Муди и имеет аналогичные свойства.

Рассмотрим корневую систему A2 с положительными корнями , , и . Если элемент можно выразить как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию , , и , то поскольку , его также можно выразить как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию положительных простых корней и :${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$${\displaystyle \альфа _{3}:=\альфа _{1}+\альфа _{2}}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$${\displaystyle \альфа _{3}}$${\displaystyle \альфа _{3}=\альфа _{1}+\альфа _{2}}$ ${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

где и являются неотрицательными целыми числами. Это выражение дает один способ записи в виде неотрицательной целой комбинации положительных корней; другие выражения могут быть получены путем замены на некоторое количество раз. Мы можем выполнить замену раз, где . Таким образом, если функция распределения Костанта обозначена как , мы получаем формулу${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \альфа _{1}+\альфа _{2}}$${\displaystyle \альфа _{3}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_ {1}, n_ {2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$.

Этот результат графически показан на рисунке справа. Если элемент не имеет форму , то .${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle p(\mu )=0}$

Функция распределения для других корневых систем ранга 2 более сложна, но известна явно. ^{[1] [2]}

Для B ₂ положительные простые корни — это , а положительные корни — это простые корни вместе с и . Функцию статистической разбивки можно рассматривать как функцию двух неотрицательных целых чисел и , которые представляют элемент . Тогда функцию статистической разбивки можно определить кусочно с помощью двух вспомогательных функций.${\displaystyle \альфа _{1}=(1,0),\альфа _{2}=(0,1)}$${\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}$${\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}\альфа _{1}+n_{2}\альфа _{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})}$

Если , то . Если , то . Если , то . Вспомогательные функции определены для и задаются соотношениями и для четных, для нечетных.${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}$${\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}$${\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$${\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}$${\displaystyle n}$

Для G ₂ положительными корнями являются и , причем обозначается короткий простой корень, а обозначается длинный простой корень.${\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}$${\displaystyle (3,2)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$

Функция распределения определяется кусочно, при этом область определения делится на пять областей с помощью двух вспомогательных функций.

Для каждого корня и каждого мы можем формально применить формулу суммы геометрической прогрессии, чтобы получить${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+ \cdots }$

где мы не беспокоимся о сходимости, то есть равенство понимается на уровне формальных степенных рядов . Используя формулу знаменателя Вейля

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

получаем формальное выражение для величины, обратной знаменателю Вейля: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}} }&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^ {-\mu (H)}\end{aligned}}}$

Здесь первое равенство получается путем взятия произведения по положительным корням формулы геометрической прогрессии, а второе равенство получается путем подсчета всех способов, которыми данная экспонента может появиться в произведении. Функция равна нулю, если аргумент является вращением, и единице, если аргумент является отражением.${\displaystyle e^{\mu (H)}}$${\displaystyle \ell (w)}$

Этот аргумент показывает, что мы можем преобразовать формулу характера Вейля для неприводимого представления с наибольшим весом :${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

от частного к произведению:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

Используя предыдущую переписывание формулы характера, сравнительно легко записать характер как сумму экспонент. Коэффициенты этих экспонент являются кратностями соответствующих весов. Таким образом, мы получаем формулу для кратности данного веса в неприводимом представлении с наибольшим весом : ^[4]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

Этот результат представляет собой формулу кратности Костанта .

Доминирующим членом в этой формуле является член ; вклад этого члена равен , что является просто кратностью в модуле Верма с наибольшим весом . Если находится достаточно далеко внутри фундаментальной камеры Вейля и достаточно близко к , может случиться, что все остальные члены в формуле равны нулю. В частности, если не больше , значение статистической суммы Костанта на будет равно нулю. Таким образом, хотя сумма номинально берется по всей группе Вейля, в большинстве случаев число ненулевых членов меньше порядка группы Вейля.${\displaystyle w=1}$${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$${\displaystyle \mu +\rho }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$