Тропическая геометрия
Скелетированная версия алгебраической геометрии

Тропическая кубическая кривая

В математике тропическая геометрия — это изучение многочленов и их геометрических свойств , когда сложение заменяется минимизацией , а умножение заменяется обычным сложением:

х ⊕ у = мин { х , у } {\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}} ,
х ⊗ у = х + у {\displaystyle x\otimes y=x+y} .

Так, например, классический многочлен станет . Такие многочлены и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например, в задаче оптимизации времени отправления для сети поездов. х 3 + 2 х у + у 4 {\displaystyle x^{3}+2xy+y^{4}} мин { х + х + х , 2 + х + у , у + у + у + у } {\displaystyle \min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}}

Тропическая геометрия — это вариант алгебраической геометрии , в котором полиномиальные графы напоминают кусочно-линейные сетки, а числа принадлежат тропическому полукольцу, а не полю. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны, результаты и методы могут быть преобразованы между ними. Алгебраические многообразия могут быть отображены в тропический аналог, и, поскольку этот процесс все еще сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать для доказательства и обобщения классических результатов из алгебраической геометрии, таких как теорема Брилля–Нётер , с использованием инструментов тропической геометрии. [1]

История

Основные идеи тропического анализа были разработаны независимо с использованием одних и тех же обозначений математиками, работающими в различных областях. [2] Центральные идеи тропической геометрии появились в разных формах в ряде более ранних работ. Например, Виктор Павлович Маслов ввел тропическую версию процесса интегрирования. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона–Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. [3] Однако только с конца 1990-х годов была предпринята попытка консолидировать основные определения теории. Это было мотивировано ее применением к исчислительной алгебраической геометрии , с идеями Максима Концевича [4] и работами Григория Михалкина [5] среди других.

Прилагательное «тропический» было придумано французскими математиками в честь бразильского учёного-компьютерщика венгерского происхождения Имре Симона , который писал на поле. Жан-Эрик Пэн приписывает создание этой монеты Доминику Перрену [6], тогда как сам Симон приписывает это слово Кристиану Шоффру [7] .

Алгебра фон

Тропическая геометрия основана на тропическом полукольце . Это определяется двумя способами, в зависимости от соглашения о максимуме или минимуме.

Минимальное тропическое полукольцо — это полукольцо с операциями: ( Р ∪ { + ∞ } , ⊕ , ⊗ ) {\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )}

х ⊕ у = мин { х , у } {\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}} ,
х ⊗ у = х + у {\displaystyle x\otimes y=x+y} .

Операции и называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Элемент идентичности для равен , а элемент идентичности для равен 0. ⊕ {\displaystyle \oplus} ⊗ {\displaystyle \otimes} ⊕ {\displaystyle \oplus} + ∞ {\displaystyle +\infty} ⊗ {\displaystyle \otimes}

Аналогично, максимальное тропическое полукольцо — это полукольцо с операциями: ( Р ∪ { − ∞ } , ⊕ , ⊗ ) {\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )}

х ⊕ у = макс { х , у } {\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\}} ,
х ⊗ у = х + у {\displaystyle x\otimes y=x+y} .

Элемент идентичности для равен , а элемент идентичности для равен 0. ⊕ {\displaystyle \oplus} − ∞ {\displaystyle -\infty} ⊗ {\displaystyle \otimes}

Эти полукольца изоморфны относительно отрицания , и обычно выбирается одно из них и просто упоминается как тропическое полукольцо . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min , некоторые используют соглашение max . х ↦ − х {\displaystyle x\mapsto -x}

Операции тропического полукольца моделируют поведение оценок при сложении и умножении в поле значений .

Некоторые общие поля значений, встречающиеся в тропической геометрии (с минимальным соглашением):

  • В {\displaystyle \mathbb {Q} } или с тривиальной оценкой, для всех . С {\displaystyle \mathbb {C} } в ( а ) = 0 {\displaystyle v(a)=0} а ≠ 0 {\displaystyle а\neq 0}
  • В {\displaystyle \mathbb {Q} } или его расширения с p-адической оценкой , для a и b, взаимно простых с p . в п ( п н а / б ) = н {\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)=n}
  • Поле рядов Лорана (целочисленных степеней) или поле (комплексных) рядов Пюизо , где оценка возвращает наименьший показатель степени t, появляющийся в ряду. С ( ( т ) ) {\displaystyle \mathbb {C} (\!(t)\!)} С { { т } } {\displaystyle \mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}}

Тропические многочлены

Тропический многочлен — это функция , которая может быть выражена как тропическая сумма конечного числа одночленных членов . Одночлен — это тропическое произведение (и/или частное) константы и переменных из . Таким образом, тропический многочлен F — это минимум конечного набора аффинно-линейных функций, в которых переменные имеют целые коэффициенты, поэтому он вогнутый , непрерывный и кусочно-линейный . [8] Ф : Р н → Р {\displaystyle F\двоеточие \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } Х 1 , … , Х н {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}

Ф ( Х 1 , … , Х н ) = ( С 1 ⊗ Х 1 ⊗ а 11 ⊗ ⋯ ⊗ Х н ⊗ а н 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( С с ⊗ Х 1 ⊗ а 1 с ⊗ ⋯ ⊗ Х н ⊗ а н с ) = мин { С 1 + а 11 Х 1 + ⋯ + а н 1 Х н , … , С с + а 1 с Х 1 + ⋯ + а н с Х н } {\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}\end{align}}}

Если задан полином f в кольце полиномов Лорана , где K — это поле со значениями, тропикализация f , обозначаемая , — это тропический полином, полученный из f путем замены умножения и сложения их тропическими аналогами, а каждой константы в K — ее оценкой. То есть, если К [ х 1 ± 1 , … , х н ± 1 ] {\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]} Trop ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (f)}

f = ∑ i = 1 s c i x A i with  A 1 , … , A s ∈ Z n {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n}} ,

затем

Trop ⁡ ( f ) = ⨁ i = 1 s v ( c i ) ⊗ X ⊗ A i {\displaystyle \operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}} .

Множество точек, где тропический многочлен F недифференцируем, называется его связанной тропической гиперповерхностью , обозначаемой (по аналогии с исчезающим множеством многочлена). Эквивалентно, это множество точек, где минимум среди членов F достигается по крайней мере дважды. Когда для многочлена Лорана f , эта последняя характеристика отражает тот факт, что при любом решении , минимальное значение членов f должно быть достигнуто по крайней мере дважды, чтобы все они сократились. [9] V ( F ) {\displaystyle \mathrm {V} (F)} V ( F ) {\displaystyle \mathrm {V} (F)} F = Trop ⁡ ( f ) {\displaystyle F=\operatorname {Trop} (f)} V ( F ) {\displaystyle \mathrm {V} (F)} f = 0 {\displaystyle f=0}

Тропические сорта

Определения

Для X алгебраическое многообразие в алгебраическом торе , тропическое многообразие X или тропизация X , обозначаемая , является подмножеством , которое может быть определено несколькими способами. Эквивалентность этих определений называется Основной теоремой тропической геометрии . [9] ( K × ) n {\displaystyle (K^{\times })^{n}} Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Пересечение тропических гиперповерхностей

Пусть — идеал многочленов Лорана, которые обращаются в нуль на X в . Определим I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} K [ x 1 ± 1 , … , x n ± 1 ] {\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}

Trop ⁡ ( X ) = ⋂ f ∈ I ( X ) V ( Trop ⁡ ( f ) ) ⊆ R n {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

Когда X является гиперповерхностью, ее исчезающий идеал является главным идеалом, порожденным многочленом Лорана f , а тропическое многообразие является в точности тропической гиперповерхностью . I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)} V ( Trop ⁡ ( f ) ) {\displaystyle \mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))}

Каждое тропическое многообразие является пересечением конечного числа тропических гиперповерхностей. Конечное множество многочленов называется тропическим базисом для X, если является пересечением тропических гиперповерхностей . В общем случае, порождающего множества недостаточно для формирования тропического базиса. Пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей называется тропическим предмногообразием и в общем случае не является тропическим многообразием. [9] { f 1 , … , f r } ⊆ I ( X ) {\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)} Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)} Trop ⁡ ( f 1 ) , … , Trop ⁡ ( f r ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})} I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)}

Первоначальные идеалы

Выбор вектора в определяет отображение из мономиальных членов в путем отправки члена m в . Для многочлена Лорана определим начальную форму f как сумму членов f , для которых является минимальным. Для идеала определим его начальный идеал относительно как w {\displaystyle \mathbf {w} } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} K [ x 1 ± 1 , … , x n ± 1 ] {\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]} R {\displaystyle \mathbb {R} } Trop ⁡ ( m ) ( w ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )} f = m 1 + ⋯ + m s {\displaystyle f=m_{1}+\cdots +m_{s}} m i {\displaystyle m_{i}} Trop ⁡ ( m i ) ( w ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )} I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} w {\displaystyle \mathbf {w} }

in w ⁡ I ( X ) = ( in w ⁡ ( f ) : f ∈ I ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X))} .

Затем определите

Trop ⁡ ( X ) = { w ∈ R n : in w ⁡ I ( X ) ≠ ( 1 ) } {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}} .

Поскольку мы работаем в кольце Лорана, это то же самое, что и набор весовых векторов, для которого не содержится монома. in w ⁡ I ( X ) {\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}

Когда K имеет тривиальную оценку, является в точности начальным идеалом относительно мономиального порядка, заданного вектором веса . Отсюда следует, что является подвеером веера Грёбнера . in w ⁡ I ( X ) {\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)} I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} w {\displaystyle \mathbf {w} } Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)} I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)}

Изображение карты оценки

Предположим, что X — многообразие над полем K с оценкой v, образ которого плотен в (например, поле рядов Пюизе). Действуя покоординатно, v определяет отображение из алгебраического тора в . Затем определим R {\displaystyle \mathbb {R} } ( K × ) n {\displaystyle (K^{\times })^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Trop ⁡ ( X ) = { ( v ( x 1 ) , … , v ( x n ) ) : ( x 1 , … , x n ) ∈ X } ¯ {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}}} ,

где верхняя черта указывает на замыкание в евклидовой топологии . Если оценка K не плотна в , то приведенное выше определение можно адаптировать, расширив скаляры до большего поля, которое имеет плотную оценку. R {\displaystyle \mathbb {R} }

Это определение показывает, что является неархимедовой амебой над алгебраически замкнутым неархимедовым полем K. [10] Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}

Если X — это многообразие над , можно рассматривать как предельный объект амебы, поскольку основание t логарифмического отображения стремится к бесконечности. [11] C {\displaystyle \mathbb {C} } Trop ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Trop} (X)} Log t ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Log} _{t}(X)}

Многогранный комплекс

Следующая характеристика описывает тропические многообразия по сути без ссылки на алгебраические многообразия и тропизацию. Множество V в является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем взвешенного полиэдрального комплекса чистой размерности d , который удовлетворяет условию нулевого натяжения и связен в коразмерности один. Когда d равно единице, условие нулевого натяжения означает, что вокруг каждой вершины взвешенная сумма исходящих направлений ребер равна нулю. Для более высоких размерностей суммы берутся вместо этого вокруг каждой ячейки размерности после факторизации аффинного промежутка ячейки. [8] Свойство, что V связно в коразмерности один, означает, что для любых двух точек, лежащих в ячейках размерности d , существует путь, соединяющий их, который не проходит ни через одну ячейку размерности меньше . [12] R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} d − 1 {\displaystyle d-1} d − 1 {\displaystyle d-1}

Тропические изгибы

Изучение тропических кривых (тропических разновидностей размерности один) особенно хорошо развито и тесно связано с теорией графов . Например, теория делителей тропических кривых связана с играми с чип-файрингом на графах, связанных с тропическими кривыми. [13]

Многие классические теоремы алгебраической геометрии имеют аналоги в тропической геометрии, в том числе:

Олег Виро использовал тропические кривые для классификации действительных кривых степени 7 на плоскости с точностью до изотопии . Его метод лоскутного шитья дает процедуру построения действительной кривой заданного класса изотопии из ее тропической кривой.

Приложения

Тропическая линия появилась в дизайне аукционов Пола Клемперера , используемых Банком Англии во время финансового кризиса 2007 года. [17] Ёсинори Сиодзава определил субтропическую алгебру как полукольцо max-times или min-times (вместо max-plus и min-plus). Он обнаружил, что рикардианская теория торговли (международная торговля без входной торговли) может быть интерпретирована как субтропическая выпуклая алгебра. [18] [ необходим неосновной источник ] Тропическая геометрия также использовалась для анализа сложности нейронных сетей прямого распространения с активацией ReLU . [19]

Более того, несколько задач оптимизации, возникающих, например, при планировании работ, анализе местоположения, транспортных сетях, принятии решений и дискретных динамических системах событий, могут быть сформулированы и решены в рамках тропической геометрии. [20] Тропический аналог карты Абеля–Якоби может быть применен к кристаллическому проектированию. [21] Веса в взвешенном конечном преобразователе часто должны быть тропическим полукольцом. Тропическая геометрия может демонстрировать самоорганизованную критичность . [22]

Тропическая геометрия также нашла применение в нескольких темах теоретической физики высоких энергий. В частности, тропическая геометрия использовалась для радикального упрощения амплитуд теории струн до их пределов теории поля [23] и нашла связи с такими конструкциями, как Amplituhedron [24] и тропологические (Кэрролловские) сигма-модели. [25]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Хартнетт, Кевин (5 сентября 2018 г.). «Модели Tinkertoy создают новые геометрические идеи». Журнал Quanta . Получено 12 декабря 2018 г.
  2. ^ См. Cuninghame-Green, Raymond A. (1979). Минимаксная алгебра . Конспект лекций по экономике и математическим наукам. Том 166. Springer. ISBN 978-3-540-09113-4и ссылки в них.
  3. ^ Маслов, Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Математические обзоры . 42 (3): 43–54. Bibcode :1987RuMaS..42...43M. doi :10.1070/RM1987v042n03ABEH001439. S2CID  250889913.
  4. ^ Концевич, Максим ; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). "Гомологическая зеркальная симметрия и торические расслоения". arXiv : math/0011041 .
  5. ^ Михалкин, Григорий (2005). «Исчислительная тропическая алгебраическая геометрия в R2» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 18 (2): 313–377. arXiv : math/0312530 . doi :10.1090/S0894-0347-05-00477-7.
  6. ^ Pin, Jean-Eric (1998). "Тропические полукольца" (PDF) . В Gunawardena, J. (ред.). Идемпотентность . Публикации Института Ньютона. Том 11. Cambridge University Press . стр. 50–69. doi :10.1017/CBO9780511662508.004. ISBN 9780511662508.
  7. ^ Саймон, Имре (1988). «Распознаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы информатики 1988. Конспект лекций по информатике . Том 324. Берлин/Гейдельберг: Springer. С. 107–120. doi :10.1007/BFb0017135. ISBN 978-3-540-50110-7.
  8. ^ Аб Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009), «Тропическая математика» (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (3): 163–173, doi : 10.1080/0025570X.2009.11953615, S2CID  15278805
  9. ^ abc Maclagan, Diane ; Sturmfels, Bernd (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество . ISBN 9780821851982.
  10. ^ Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсон, Саймон ; Элиашберг, Яков ; Громов, Михаил (ред.). Различные грани геометрии . Международная математическая серия. Том 3. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Kluwer Academic/Plenum Publishers. С. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Збл  1072.14013.
  11. ^ Кац, Эрик (2017), «Что такое тропическая геометрия?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 64 (4): 380–382, doi : 10.1090/noti1507
  12. ^ Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропических изменений», Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C, doi : 10.4310/MRL.2012.v19.n5.a10, S2CID  51767353
  13. ^ Hladký, Jan; Králʼ, Daniel; Norine, Serguei (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, Серия A. 120 ( 7): 1521–1538. arXiv : 0709.4485 . doi : 10.1016/j.jcta.2013.05.002. ISSN  0097-3165. S2CID  3045053.
  14. ^ Табера, Луис Фелипе (1 января 2005 г.). «Тропическая конструктивная теорема Паппуса». International Mathematics Research Notices . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : math/0409126 . doi :10.1155/IMRN.2005.2373. ISSN  1073-7928. S2CID  14250249.{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)
  15. ^ Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Mathematische Zeitschrift . 259 (1): 217–230. arXiv : math/0612129 . дои : 10.1007/s00209-007-0222-4. ISSN  1432-1823. S2CID  15239772.
  16. ^ Чан, Мелоди ; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в форме сот». В Brugallé, Erwan (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Труды на основе семинара CIEM по тропической геометрии, Международный центр математических встреч (CIEM), Кастро Урдиалес, Испания, 12–16 декабря 2011 г. Contemporary Mathematics. Том 589. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 87–107. arXiv : 1203.2356 . Bibcode : 2012arXiv1203.2356C. ISBN 978-0-8218-9146-9. Збл  1312.14142.
  17. ^ «Как геометрия пришла на помощь во время банковского кризиса». Экономический факультет Оксфордского университета . Получено 24 марта 2014 г.
  18. ^ Сиодзава, Ёсинори (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры». Обзор эволюционной и институциональной экономики . 12 (1): 177–212. doi :10.1007/s40844-015-0012-3. S2CID  155827635.Это дайджест черновика статьи Ё. Сиодзавы «Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли».
  19. ^ Чжан, Ливэнь; Найцат, Грегори; Лим, Лек-Хэн (2018). «Тропическая геометрия глубоких нейронных сетей». Труды 35-й Международной конференции по машинному обучению . 35-я Международная конференция по машинному обучению. С. 5824–5832.
  20. ^ Кривулин, Николай (2014). «Тропические задачи оптимизации». В Leon A. Petrosyan; David WK Yeung; Joseph V. Romanovsky (ред.). Advances in Economics and Optimization: Сборник научных исследований, посвященных памяти Л. В. Канторовича . Нью-Йорк: Nova Science Publishers. С. 195–214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7.
  21. ^ Сунады, Т. (2012). Топологическая кристаллография: с видом на дискретный геометрический анализ . Обзоры и руководства по прикладным математическим наукам. Том 6. Springer Japan. ISBN 9784431541769.
  22. ^ Калинин, Н.; Гусман-Саенс, А.; Прието, Ю.; Школьников, М.; Калинина, В.; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение паттернов через призму тропической геометрии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 115 (35): E8135–E8142. arXiv : 1806.09153 . Bibcode : 2018PNAS..115E8135K. doi : 10.1073/pnas.1805847115 . ISSN  0027-8424. PMC 6126730. PMID 30111541  . 
  23. ^ Туркин, Петр (2017). «Тропические амплитуды». Анналы Анри Пуанкаре . 18 (6): 2199–2249. arXiv : 1309.3551 . Bibcode : 2017AnHP...18.2199T. doi : 10.1007/s00023-017-0560-7.
  24. ^ Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2014). «Амплитуэдр». JHEP . 2014 (10): 030. arXiv : 1312.2007 . Бибкод : 2014JHEP...10..030A. дои : 10.1007/JHEP10(2014)030.
  25. ^ Альбрыхевич, Эмиль; Эллерс, Кай-Исаак; Франко Валиенте, Андрес; Горжава, Петр (2024). «Тропологические сигма-модели». JHEP . 06 (6): 135. arXiv : 2311.00745 . Бибкод : 2024JHEP...06..135A. doi : 10.1007/JHEP06(2024)135.

Ссылки

  • Маслов, Виктор (1986). «Новый принцип суперпозиции для задач оптимизации», Séminaire sur les Equations aux Dérivées Partielles 1985/6, Центр математики Политехнической школы, Палезо, разоблачение 24.
  • Маслов, Виктор (1987). «Операционные методы». Москва, Мир, 707 с. (См. главу 8, Линейная теория полумодулей, стр. 652–701).
  • Богарт, Тристрам; Дженсен, Андерс; Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд ; Томас, Рекха (2005). «Вычисление тропических многообразий». Журнал символьных вычислений . 42 (1–2): 54–73. arXiv : math/0507563 . Bibcode : 2005math......7563B. doi : 10.1016/j.jsc.2006.02.004. S2CID  24788157.
  • Эйнзидлер, Манфред; Капранов Михаил; Линд, Дуглас (2006). «Неархимедовы амебы и тропические разновидности». Дж. Рейн Анжью. Математика . 601 : 139–157. arXiv : math/0408311 . Бибкод : 2004math......8311E.
  • Гатманн, Андреас (2006). «Тропическая алгебраическая геометрия». arXiv : math/0601322v1 .
  • Гросс, Марк (2010). Тропическая геометрия и зеркальная симметрия . Провиденс, Род-Айленд: Опубликовано для Conference Board of the Mathematical Sciences Американским математическим обществом при поддержке Национального научного фонда. ISBN 9780821852323.
  • Итенберг, Илья; Григорий Михалкин; Евгений Шустин (2009). Тропическая алгебраическая геометрия (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. Збл  1165.14002.
  • Маклаган, Дайан; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество. ISBN 9780821851982.
  • Михалкин, Григорий (2006). «Тропическая геометрия и ее приложения». arXiv : math/0601041v2 .
  • Михалкин, Григорий (2004). «Исчислительная тропическая алгебраическая геометрия в R2». arXiv : math/0312530v4 .
  • Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». arXiv : math/0403015v1 .
  • Pachter, Lior ; Sturmfels, Bernd (2004). «Тропическая геометрия статистических моделей». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 101 (46): 16132–16137. arXiv : q-bio/0311009 . Bibcode :2004PNAS..10116132P. doi : 10.1073/pnas.0406010101 . PMC  528960 . PMID  15534224. Zbl  1135.62302.
  • Шпейер, Дэвид Э. (2003). «Тропический грассманиан». arXiv : math/0304218v3 .
  • Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Журнал «Математика» . 82 (3): 163–173. arXiv : math/0408099 . дои : 10.4169/193009809x468760. S2CID  119142649. Збл  1227.14051.
  • Теобальд, Торстен (2003). «Первые шаги в тропической геометрии». arXiv : math/0306366v2 .

Дальнейшее чтение

  • Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер, ред. (2013). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Научно-исследовательский институт Беллэрса, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Contemporary Mathematics. Том 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1021-6. Збл  1281.14002.
  • Тропическая геометрия и зеркальная симметрия
  • Тропическая геометрия, I
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tropical_geometry&oldid=1251714079"