Амеба (математика)

В комплексном анализе , разделе математики , амеба представляет собой множество , связанное с полиномом от одной или нескольких комплексных переменных . Амебы имеют приложения в алгебраической геометрии , особенно в тропической геометрии .

Рассмотрим функцию

${\displaystyle \operatorname {Log} :{\big (}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}{\big )}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

определенная на множестве всех n - кортежей ненулевых комплексных чисел со значениями в евклидовом пространстве, заданными формулой${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\big (}\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|{\big )}.}$

Здесь log обозначает натуральный логарифм . Если p ( z ) — многочлен от комплексных переменных, его амеба определяется как образ множества нулей p под Log, поэтому${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} (z):z\in {\big (}\mathbb {C} \setminus \{0\}{\big )}^{n},p(z)=0\right\}.}$

Амебы были представлены в 1994 году в книге Гельфанда , Капранова и Зелевинского . ^[1]

Пусть будет нулевым местом многочлена${\displaystyle V\subset (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{j\in A}a_{j}z^{j}}$

где конечно, и если и . Пусть будет многогранником Ньютона , т.е.${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z^{j}=z_{1}^{j_{1}}\cdots z_{n}^{j_{n}}}$${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle j=(j_{1},\dots ,j_{n})}$${\displaystyle \Delta _{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Delta _{f}={\text{Convex Hull}}\{j\in A\mid a_{j}\neq 0\}.}$

Затем

• Любая амеба представляет собой замкнутое множество .
• Любая связная компонента дополнения является выпуклой . ^[2 ] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}}$
• Площадь амебы не тождественно нулевого многочлена от двух комплексных переменных конечна.
• Двумерная амеба имеет ряд «щупалец», которые бесконечно длинны и экспоненциально сужаются к бесконечности.
• Число связных компонент дополнения не больше и не меньше числа вершин . ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle \#(\Delta _{f}\cap \mathbb {Z} ^{n})}$${\displaystyle \Delta _{f}}$
• Существует инъекция из множества связных компонент дополнения в . Вершины находятся в изображении при этой инъекции. Связная компонента дополнения ограничена тогда и только тогда, когда ее изображение находится внутри . ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle \Delta _{f}\cap \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \Delta _{f}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle \Delta _{f}}$
• Если , то площадь не больше . ^[2]${\displaystyle V\subset (\mathbb {C} ^{*})^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}(V)}$${\displaystyle \pi ^{2}{\text{Area}}(\Delta _{f})}$

Полезным инструментом при изучении амеб является функция Ронкина . Для p ( z ), полинома от n комплексных переменных, определяется функция Ронкина

${\displaystyle N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

по формуле

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\operatorname {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}$

где обозначает Эквивалентно, задается интегралом${\displaystyle x}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}$

где

${\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right).}$

Функция Ронкина является выпуклой и аффинной на каждом компоненте связности дополнения амебы . ^[3]${\displaystyle p(z)}$

В качестве примера можно привести функцию Ронкина монома

${\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}}$

с есть${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}.}$

• Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Семинары в Обервольфахе. Том 35. Базель: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1. Збл  1162.14300.
• Виро, Олег (2002), «Что такое ... амеба?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (8): 916–917.

• Теобальд, Торстен (2002). «Вычислительные амебы». Exp. Math . 11 (4): 513– 526. doi :10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl  1100.14048.

На Викискладе есть медиафайлы по теме Амеба (математика) .

• Амебы алгебраических многообразий