Группоид

В математике , особенно в теории категорий и теории гомотопий , группоид (реже группоид Брандта или виртуальная группа ) обобщает понятие группы несколькими эквивалентными способами. Группоид можно рассматривать как:

• Группа с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию ;
• Категория , в которой каждый морфизм обратим. Категорию такого рода можно рассматривать как дополненную унарной операцией над морфизмами, называемой обратной по аналогии с теорией групп . ^[1] Группоид, в котором есть только один объект, является обычной группой.

При наличии зависимой типизации категория в целом может рассматриваться как типизированный моноид , и аналогично группоид может рассматриваться как просто типизированная группа. Морфизмы переносят один объект в другой и образуют зависимое семейство типов, таким образом, морфизмы могут быть типизированы ⁠ ⁠${\displaystyle g:A\rightarrow B}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle h:B\rightarrow C}$ , скажем. Композиция тогда является полной функцией: ⁠ ⁠${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C)}$ , так что ⁠ ⁠${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$ .

К особым случаям относятся:

• Сетоиды : множества , имеющие отношение эквивалентности ,
• G-наборы : наборы, оснащенные действием группы ⁠ ⁠${\displaystyle G}$ .

Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как многообразия . Генрих Брандт  (1927) ввел группоиды неявно через полугруппы Брандта . ^[2]

Группоид можно рассматривать как алгебраическую структуру, состоящую из множества с бинарной частичной функцией ^{[ требуется ссылка ]} . Точнее, это непустое множество с унарной операцией ⁠ ⁠ и частичной функцией ⁠ ⁠ . Здесь не является бинарной операцией , поскольку она не обязательно определена для всех пар элементов ⁠ ⁠ . Точные условия, при которых определяется , здесь не сформулированы и различаются в зависимости от ситуации.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$${\displaystyle *}$${\displaystyle G}$${\displaystyle *}$

Операции и ⁻¹ обладают следующими аксиоматическими свойствами: для всех ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и в ⁠ ⁠ ,${\displaystyle \аст}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle с}$${\displaystyle G}$

1. Ассоциативность : Еслииопределены, тоиопределены и равны. Наоборот, если определен один изили, то они оба определены (и равны друг другу), иитакже определены.${\displaystyle а*б}$${\displaystyle б*с}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle а*(б*с)}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle а*(б*с)}$${\displaystyle а*б}$${\displaystyle б*с}$
2. Обратные :ивсегда определены.${\displaystyle а^{-1}*а}$${\displaystyle а*{а^{-1}}}$
3. Тождество : Еслиопределено, то ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . (Предыдущие две аксиомы уже показывают, что эти выражения определены и недвусмысленны.)${\displaystyle а*б}$${\displaystyle а*б*{б^{-1}}=а}$${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

Из этих аксиом вытекают два простых и удобных свойства:

• ⁠ ⁠${\displaystyle (а^{-1})^{-1}=а}$ ,
• Если определено, то ⁠ ⁠ . ^[3]${\displaystyle а*б}$${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

Группоид — это малая категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом , т.е. обратимым. ^[1] Более конкретно, группоид — это набор объектов с${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}}$

• для каждой пары объектов x и y — (возможно, пустое) множество G ( x , y ) морфизмов (или стрелок ) из x в y ; мы пишем f  : x → y, чтобы указать, что f является элементом G ( x , y );
• для каждого объекта x , обозначенный элемент G ( x , x );${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• для каждой тройки объектов x , y и z — функция ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$ ;
• для каждой пары объектов x , y , функция , удовлетворяющая для любых f  : x → y , g  : y → z , и h  : z → w :${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$
  • ⁠ ⁠${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$ ;
  • ⁠ ⁠${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$ ;
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$и ⁠ ⁠${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$ .

Если f является элементом G ( x , y ), то x называется источником f и обозначается s ( f ), а y называется целью f и обозначается t ( f ).

Группоид G иногда обозначается как ⁠ ⁠${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ , где — множество всех морфизмов, а две стрелки представляют источник и цель.${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

В более общем смысле можно рассматривать группоидный объект в произвольной категории, допускающей конечные волокнистые произведения.

Алгебраические и категориальные определения эквивалентны, как мы сейчас покажем. Для заданного группоида в категориальном смысле пусть G будет дизъюнктным объединением всех множеств G ( x , y ) (т. е. множеств морфизмов из x в y ). Тогда и станут частичными операциями на G , и фактически будут определены везде. Мы определяем ∗ как , а ⁻¹ как ⁠ ⁠ , что дает группоид в алгебраическом смысле. Явную ссылку на G ₀ (и, следовательно, на ⁠ ⁠ ) можно опустить.${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {id} }$

Обратно, для заданного группоида G в алгебраическом смысле определим отношение эквивалентности на его элементах с помощью тогда и только тогда, когда a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Пусть G ₀ — множество классов эквивалентности ⁠ ⁠ , т.е. ⁠ ​​⁠ . Обозначим a ∗ a ⁻¹ с помощью if with ⁠ ⁠ .${\displaystyle \сим }$${\displaystyle a\сим б}$${\displaystyle \сим }$${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$${\displaystyle 1_{x}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle x\in G_{0}}$

Теперь определим как множество всех элементов f, таких что существует. При заданных и ⁠ ⁠ их композиция определяется как ⁠ ⁠ . Чтобы увидеть, что это правильно определено, заметим, что поскольку и существуют, то существует и ⁠ ⁠ . Тождественный морфизм на x тогда равен ⁠ ⁠ , а теоретико-категорийный обратный элемент f равен f ⁻¹ .${\displaystyle G(x,y)}$${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$${\displaystyle f\in G(x,y)}$${\displaystyle g\in G(y,z)}$${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$${\displaystyle 1_{x}}$

Множества в определениях выше можно заменить классами , как это обычно бывает в теории категорий.

Если задан группоид G , то группы вершин или группы изотропии или группы объектов в G являются подмножествами формы G ( x , x ), где x — любой объект из G . Из приведенных выше аксиом легко следует, что это действительно группы, поскольку каждая пара элементов является составной, а обратные элементы находятся в одной и той же группе вершин.

Орбита группоида G в точке задается множеством, содержащим каждую точку, которая может быть соединена с x посредством морфизма в G. Если две точки и находятся на одних и тех же орбитах, их вершинные группы и изоморфны : если — любой морфизм из в ⁠ ⁠ , то изоморфизм задается отображением ⁠ ⁠ .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Орбиты образуют разбиение множества X, и группоид называется транзитивным , если он имеет только одну орбиту (эквивалентно, если он связан как категория). В этом случае все группы вершин изоморфны (с другой стороны, это не является достаточным условием транзитивности; см. раздел ниже для контрпримеров).

Подгруппоид — это подкатегория , которая сама является группоидом. Она называется широкой или полной , если она широкая или полная как подкатегория, т.е., соответственно, если или для каждого ⁠ ⁠ .${\displaystyle G\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$${\displaystyle x,y\in Y}$

Морфизм группоидов — это просто функтор между двумя (теоретико-категорными) группоидами.

Конкретные виды морфизмов группоидов представляют интерес. Морфизм группоидов называется расслоением , если для каждого объекта и каждого морфизма , начинающегося с , существует морфизм , начинающегося с , такой что ⁠ ⁠ . Расслоение называется морфизмом покрытия или покрытием группоидов, если и такое является единственным. Морфизмы покрытия группоидов особенно полезны, поскольку их можно использовать для моделирования отображений покрытия пространств. ^[4]${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(e)=b}$${\displaystyle e}$

Верно также, что категория накрывающих морфизмов данного группоида эквивалентна категории действий группоида на множествах.${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Для данного топологического пространства ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ , пусть будет множеством ⁠ ⁠ . Морфизмы из точки в точку являются классами эквивалентности непрерывных путей из в ⁠ ⁠ , причем два пути эквивалентны, если они гомотопны . Два таких морфизма составляются путем следования сначала по первому пути, затем по второму; гомотопическая эквивалентность гарантирует, что эта композиция ассоциативна . Этот группоид называется фундаментальным группоидом ⁠ ⁠ , обозначаемым ( или иногда ⁠ ⁠ ). ^[5] Обычная фундаментальная группа тогда является вершинной группой для точки ⁠ ⁠ .${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle x}$

Орбиты фундаментального группоида являются компонентами линейной связности ⁠ ⁠ . Соответственно, фундаментальный группоид линейно-связного пространства транзитивен, и мы восстанавливаем известный факт, что фундаментальные группы в любой базовой точке изоморфны. Более того, в этом случае фундаментальный группоид и фундаментальные группы эквивалентны как категории (см. раздел ниже для общей теории).${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$

Важным расширением этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида , где — выбранный набор «базовых точек». Вот (полный) подгруппоид ⁠ ⁠ , где рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат ⁠ ⁠ . Набор может быть выбран в соответствии с геометрией рассматриваемой ситуации.${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Если — сетоид , т.е. множество с отношением эквивалентности ⁠ ⁠ , то группоид, «представляющий» это отношение эквивалентности, может быть сформирован следующим образом:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$

• Объектами группоида являются элементы ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ ;
• Для любых двух элементов и в ⁠ ⁠ существует единственный морфизм из в (обозначим через ⁠ ⁠ ) тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ ;${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle x\sim y}$
• Состав и есть ⁠ ⁠ .${\displaystyle (z,y)}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle (z,x)}$

Вершинные группы этого группоида всегда тривиальны; более того, этот группоид в общем случае не транзитивен, а его орбиты — это в точности классы эквивалентности. Есть два крайних примера:

• Если каждый элемент находится в отношении с каждым другим элементом ⁠ ⁠ , мы получаем парный группоид ⁠ ⁠ , который имеет весь набор стрелок и который является транзитивным.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$
• Если каждый элемент находится в отношении только с самим собой, то получается единичный группоид , имеющий в качестве множества стрелок, ⁠ ⁠ и который полностью нетранзитивен (каждый синглетон является орбитой).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s=t=\mathrm {id} _{X}}$${\displaystyle \{x\}}$

• Если — гладкая сюръективная субмерсия гладких многообразий , то — отношение эквивалентности ^[6], поскольку имеет топологию, изоморфную фактор-топологии относительно сюръективного отображения топологических пространств. Если записать, то получим группоид , который иногда называют банальным группоидом сюръективной субмерсии гладких многообразий.${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$$${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0},}$$
• Если мы ослабим требование рефлексивности и рассмотрим частичные отношения эквивалентности , то станет возможным рассмотреть полуразрешимые понятия эквивалентности на вычислимых реализаторах для множеств. Это позволяет использовать группоиды в качестве вычислимого приближения к теории множеств, называемого моделями PER . Рассматриваемые как категория, модели PER являются декартовой замкнутой категорией с натуральными числами объектного и подобъектного классификатора, что приводит к эффективному топосу, введенному Мартином Хайлендом .

Группоид Чеха ^{[6] стр. 5} — это особый вид группоида, связанный с отношением эквивалентности, заданным открытым покрытием некоторого многообразия ⁠ ⁠ . Его объекты задаются несвязным объединением , а его стрелки — пересечениями${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i},}$$$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}.}$$

Исходные и целевые карты затем задаются индуцированными картами.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

и карта включения

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

давая структуру группоида. Фактически, это можно расширить, установив

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

как -итерированное волокнистое произведение, где представляет -кортежи составных стрелок. Структурная карта волокнистого произведения неявно является целевой картой, поскольку${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

является декартовой диаграммой, где отображения в являются целевыми отображениями. Эту конструкцию можно рассматривать как модель для некоторых ∞-группоидов . Также, еще одним артефактом этой конструкции являются k-коциклы${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

для некоторого постоянного пучка абелевых групп можно представить как функцию

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

дающий явное представление классов когомологий.

Если группа действует на множестве ⁠ ⁠ , то мы можем образовать группоид действия (или группоид преобразования ), представляющий это групповое действие, следующим образом:${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

• Объекты являются элементами ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ ;
• Для любых двух элементов и в ⁠ ⁠ морфизмы из в соответствуют элементам из таким , что ⁠ ⁠ ;${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gx=y}$
• Композиция морфизмов интерпретирует бинарную операцию ⁠${\displaystyle G}$ ⁠ .

Более явно, группоид действия — это небольшая категория с и и с исходными и целевыми картами и ⁠ ⁠ . Часто обозначается (или для правильного действия). Умножение (или композиция) в группоиде тогда ⁠ ⁠ , которое определяется при условии ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$${\displaystyle s(g,x)=x}$${\displaystyle t(g,x)=gx}$${\displaystyle G\ltimes X}$${\displaystyle X\rtimes G}$${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$${\displaystyle y=gx}$

Для ⁠ ⁠ , вершинная группа состоит из тех, у которых ⁠ ⁠ , что является просто подгруппой изотропии в для данного действия (именно поэтому вершинные группы также называются группами изотропии). Аналогично, орбиты группоида действия являются орбитами действия группы, и группоид транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно .${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g,x)}$${\displaystyle gx=x}$${\displaystyle x}$

Другим способом описания -множеств является категория функторов ⁠ ⁠ , где — группоид (категория) с одним элементом и изоморфный группе ⁠ ⁠ . Действительно, каждый функтор этой категории определяет множество и для каждого в (т. е. для каждого морфизма в ⁠ ⁠ ) индуцирует биекцию  : ⁠ ⁠ . Категорическая структура функтора гарантирует нам, что определяет -действие на множестве ⁠ ⁠ . (Единственный) представимый функтор — это представление Кэли ⁠ ⁠ . Фактически, этот функтор изоморфен и, таким образом, отправляет в множество , которое по определению является «множеством» , а морфизм (т. е . элемент ⁠ ⁠ ) — в перестановку множества ⁠ ⁠ . Из вложения Йонеды следует , что группа изоморфна группе ⁠ ⁠ , подгруппе группы перестановок ⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:\mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$${\displaystyle G}$

Рассмотрим действие группы на конечном множестве , которое переводит каждое число в его отрицательное значение, поэтому и ⁠ ⁠ . Факторгруппоид — это множество классов эквивалентности из этого действия группы ⁠ ⁠ , и имеет действие группы на нем.${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\displaystyle -2\mapsto 2}$${\displaystyle 1\mapsto -1}$${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$${\displaystyle [0]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Любая конечная группа , которая отображается в , дает групповое действие на аффинном пространстве (так как это группа автоморфизмов). Тогда факторгруппоид может иметь вид ⁠ ⁠ , который имеет одну точку со стабилизатором в начале координат. Примеры, подобные этим, составляют основу теории орбифолдов . Другое часто изучаемое семейство орбифолдов — это взвешенные проективные пространства и их подпространства, такие как орбифолды Калаби–Яу .${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Дана диаграмма группоидов с группоидными морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

где и ⁠ ⁠ , мы можем сформировать группоид , объектами которого являются тройки ⁠ ⁠ , где ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и в ⁠ ⁠ . Морфизмы можно определить как пару морфизмов , где и таких, что для тройок ⁠ ⁠ , существует коммутативная диаграмма в из ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ . ^[7]${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle X\times _{Z}Y}$${\displaystyle (x,\phi ,y)}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha :x\to x'}$${\displaystyle \beta :y\to y'}$${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$${\displaystyle \phi ,\phi '}$

Двухчленный комплекс

${\displaystyle C_{1}~{\overset {d}{\rightarrow }}~C_{0}}$

объектов в конкретной абелевой категории можно использовать для формирования группоида. Он имеет в качестве объектов множество и в качестве стрелок множество ⁠ ⁠ ; исходный морфизм — это просто проекция на , в то время как целевой морфизм — это добавление проекции на , составленной с и проекции на ⁠ ⁠ . То есть, учитывая ⁠ ⁠ , мы имеем${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Конечно, если абелева категория является категорией когерентных пучков на схеме, то эту конструкцию можно использовать для формирования предпучка группоидов.

Хотя такие головоломки, как кубик Рубика, можно моделировать с помощью теории групп (см. Группа кубика Рубика ), некоторые головоломки лучше моделировать с помощью группоидов. ^[8]

Преобразования головоломки «пятнадцать» образуют группоид (не группу, поскольку не все ходы могут быть составлены). ^{[9] [10] [11]} Этот группоид действует на конфигурации.

Группоид Матье — это группоид, введенный Джоном Хортоном Конвеем, действующий на 13 точек таким образом, что элементы, фиксирующие точку, образуют копию группы Матье M ₁₂ .

Если группоид имеет только один объект, то множество его морфизмов образует группу . Используя алгебраическое определение, такой группоид буквально является просто группой. ^[12] Многие концепции теории групп обобщаются на группоиды, при этом понятие функтора заменяет понятие гомоморфизма группы .

Каждый транзитивный/связный группоид — то есть, как объяснялось выше, тот, в котором любые два объекта связаны хотя бы одним морфизмом — изоморфен группоиду действия (как определено выше) ⁠ ⁠${\displaystyle (G,X)}$ . По транзитивности, под действием будет только одна орбита .

Обратите внимание, что только что упомянутый изоморфизм не является единственным, и естественного выбора нет . Выбор такого изоморфизма для транзитивного группоида по сути сводится к выбору одного объекта ⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$ , группового изоморфизма из в ⁠ ⁠ , и для каждого , кроме ⁠ ⁠ , морфизма в из в ⁠ ⁠ .${\displaystyle h}$${\displaystyle G(x_{0})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$

Если группоид не является транзитивным, то он изоморфен несвязному объединению группоидов указанного выше типа, также называемых его связными компонентами (возможно, с различными группами и множествами для каждой связной компоненты).${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

В терминах теории категорий каждый связный компонент группоида эквивалентен ( но не изоморфен ) группоиду с одним объектом, то есть одной группой. Таким образом, любой группоид эквивалентен мультимножеству неродственных групп. Другими словами, для эквивалентности вместо изоморфизма не нужно указывать множества ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ , а только группы ⁠ ⁠${\displaystyle G}$ . Например,

• Фундаментальный группоид эквивалентен набору фундаментальных групп каждого линейно связного компонента ⁠ ⁠ , но изоморфизм требует указания множества точек в каждом компоненте;${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Множество с отношением эквивалентности эквивалентно (как группоид) одной копии тривиальной группы для каждого класса эквивалентности , но изоморфизм требует указания того, что такое каждый класс эквивалентности;${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$
• Множество, снабженное действием группы , эквивалентно (как группоид) одной копии для каждой орбиты действия, но изоморфизм требует указания того, каким множеством является каждая орбита.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Сворачивание группоида в простую коллекцию групп теряет некоторую информацию, даже с точки зрения теории категорий, поскольку это неестественно . Таким образом, когда группоиды возникают в терминах других структур, как в приведенных выше примерах, может быть полезно сохранить весь группоид. В противном случае необходимо выбрать способ рассмотрения каждого в терминах одной группы, и этот выбор может быть произвольным. В примере из топологии необходимо сделать согласованный выбор путей (или классов эквивалентности путей) из каждой точки в каждую точку в одном и том же компоненте путевой связи.${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

В качестве более наглядного примера, классификация группоидов с одним эндоморфизмом не сводится к чисто групповым теоретико-групповым соображениям. Это аналогично тому, что классификация векторных пространств с одним эндоморфизмом нетривиальна.

Морфизмы группоидов бывают большего количества видов, чем у групп: у нас есть, например, расслоения , морфизмы покрытия , универсальные морфизмы и морфизмы факторизации. Таким образом, подгруппа группы дает действие на множестве смежных классов в и, следовательно, морфизм покрытия из, скажем, в ⁠ ⁠ , где — группоид с вершинными группами, изоморфными ⁠ ⁠ . Таким образом, представления группы могут быть «подняты» до представлений группоида ⁠ ⁠ , и это полезный способ получения информации о представлениях подгруппы ⁠ ⁠ . Для получения дополнительной информации см. книги Хиггинса и Брауна в разделе «Ссылки».${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$

Категория, объектами которой являются группоиды, а морфизмами — морфизмы группоидов, называется категорией группоидов или категорией группоидов и обозначается Grpd .

Категория Grpd , как и категория малых категорий, декартово замкнута : для любых группоидов мы можем построить группоид , чьи объекты — морфизмы , а стрелки — естественные эквивалентности морфизмов. Таким образом, если — просто группы, то такие стрелки — сопряжения морфизмов. Главный результат заключается в том, что для любых группоидов существует естественная биекция${\displaystyle H,K}$${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$${\displaystyle H\to K}$${\displaystyle H,K}$${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Этот результат представляет интерес даже в том случае, если все группоиды являются просто группами.${\displaystyle G,H,K}$

Другим важным свойством Grpd является то, что он является одновременно полным и сополным .

Включение имеет как левый, так и правый сопряженный элемент :${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Здесь обозначает локализацию категории , которая инвертирует каждый морфизм, а обозначает подкатегорию всех изоморфизмов.${\displaystyle C[C^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

Функтор нерва вкладывает Grpd как полную подкатегорию категории симплициальных множеств. Нерв группоида всегда является комплексом Кана .${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

Нерв имеет левое прилежащее

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Здесь обозначает фундаментальный группоид симплициального множества ⁠ ⁠ .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$

Существует дополнительная структура, которая может быть выведена из группоидов, внутренних по отношению к категории группоидов, двойных группоидов . ^{[13] [14]} Поскольку Grpd является 2-категорией, эти объекты образуют 2-категорию вместо 1-категории, поскольку есть дополнительная структура. По сути, это группоиды с функторами${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

и вложение, заданное тождественным функтором

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Один из способов думать об этих 2-группоидах заключается в том, что они содержат объекты, морфизмы и квадраты, которые могут составляться вместе вертикально и горизонтально. Например, данные квадраты

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$и${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

с тем же морфизмом, их можно вертикально соединить, получив диаграмму${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

который может быть преобразован в другой квадрат путем составления вертикальных стрелок. Существует аналогичный закон композиции для горизонтальных присоединений квадратов.

При изучении геометрических объектов возникающие группоиды часто несут топологию , превращающую их в топологические группоиды , или даже некоторую дифференцируемую структуру , превращающую их в группоиды Ли . Эти последние объекты также могут изучаться в терминах связанных с ними алгеброидов Ли , по аналогии с отношением между группами Ли и алгебрами Ли .

Группоиды, возникающие из геометрии, часто обладают дополнительными структурами, которые взаимодействуют с умножением группоидов. Например, в геометрии Пуассона есть понятие симплектического группоида , который является группоидом Ли, наделенным совместимой симплектической формой . Аналогично, можно иметь группоиды с совместимой римановой метрикой или комплексной структурой и т. д.

• ∞-группоид
• 2-группа
• Теория гомотопического типа
• Обратная категория
• Группоидная алгебра (не путать с алгебраическим группоидом)
• R-алгеброид

• Брандт, Х. (1927), «Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes», Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366 , doi : 10.1007/BF01209171, S2CID  119597988
• Браун, Рональд, 1987, "От групп к группоидам: краткий обзор", Bull. London Math. Soc. 19 : 113–34. Рассматривает историю группоидов до 1987 года, начиная с работы Брандта о квадратичных формах. Загружаемая версия обновляет множество ссылок.
• —, 2006. Топология и группоиды. Booksurge. Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды представлены в контексте их топологического применения.
• —, Теория групп более высокой размерности. Объясняет, как концепция группоида привела к гомотопическим группоидам более высокой размерности, имеющим приложения в теории гомотопии и когомологии групп . Множество ссылок.
• Дикс, Уоррен; Вентура, Энрик (1996), Группа, фиксированная семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы , Математические обзоры и монографии, т. 195, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Докучаев, М.; Эксель, Р.; Пиччоне, П. (2000). «Частичные представления и частичные групповые алгебры». Журнал алгебры . 226. Elsevier: 505–532 . arXiv : math/9903129 . doi :10.1006/jabr.1999.8204. ISSN  0021-8693. S2CID  14622598.
• Ф. Борсо, Г. Джанелидзе, 2001, Теории Галуа. Cambridge Univ. Press. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа.
• Каннас да Силва, А. и А. Вайнштейн , Геометрические модели некоммутативных алгебр. Особенно часть VI.
• Голубицкий, М. , Ян Стюарт, 2006, «Нелинейная динамика сетей: группоидный формализм», Bull. Amer. Math. Soc. 43 : 305–64
• «Группоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хиггинс, П. Дж., «Фундаментальный группоид графа групп », J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Хиггинс, П. Дж. и Тейлор, Дж., «Фундаментальный группоид и гомотопически скрещенный комплекс пространства орбит », в Теория категорий (Гуммерсбах, 1981), Lecture Notes in Math., том 962. Springer, Берлин (1982), 115–122.
• Higgins, PJ, 1971. Категории и группоиды . Van Nostrand Notes in Mathematics. Переиздано в Reprints in Theory and Applications of Categories , № 7 (2005) стр. 1–195; доступно для свободного скачивания. Содержательное введение в теорию категорий с особым акцентом на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, к обобщению теоремы Грушко , и в топологии, например, фундаментальный группоид .
• Mackenzie, KCH, 2005. Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Cambridge Univ. Press.
• Вайнштейн, Алан, «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии – Обзор некоторых примеров». Также доступно в Postscript, Notices of the AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.
• Вайнштейн, Алан, «Геометрия импульса» (2002)
• RT Zivaljevic. "Группоиды в комбинаторике — приложения теории локальных симметрий". В Algebraic and geometric combinatorics , том 423 Contemp. Math ., 305–324. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)
• фундаментальный группоид в n Lab
• ядро в n Lab