Обратная полугруппа

В теории групп обратная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой ^[1] ) S — это полугруппа , в которой каждый элемент x в S имеет единственный обратный y в S в том смысле, что x = xyx и y = yxy , т. е. регулярная полугруппа , в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Обратные полугруппы появляются в различных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичных симметрий . ^[2]

(В этой статье будет принято соглашение о записи функции справа от ее аргумента, например, x  f, а не f ( x ), и составлении функций слева направо — соглашение, часто соблюдаемое в теории полугрупп.)

Инверсные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером ^[3] в Советском Союзе в 1952 году ^[4] и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 году ^[5]. Оба автора пришли к инверсным полугруппам через изучение частичных биекций множества : частичное преобразование α множества X является функцией из A в B , где A и B являются подмножествами X. Пусть α и β являются частичными преобразованиями множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) на наибольшей области , на которой «имеет смысл» их составление:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

где α ⁻¹ обозначает прообраз под  α . Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . ^[6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . ^[7] Он также признал, что областью композиции двух частичных преобразований может быть пустое множество , поэтому он ввел пустое преобразование , чтобы учесть это. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится всюду определенной ассоциативной бинарной операцией . При этой композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X , с обратным — функциональным обратным, определенным от образа к области (эквивалентно, обратное отношение ). ^[8] Это «архетипическая» обратная полугруппа, таким же образом, как симметричная группа является архетипической группой . Например, подобно тому, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную обратную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп ниже).${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

Обратный элемент x инверсной полугруппы S обычно записывается как x ⁻¹ . Обратные элементы в инверсной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и обратные элементы в группе , например, ( ab ) −1 ⁼ b −1 ^a −1 ^. В инверсном моноиде xx ⁻¹ и x ⁻¹ x не обязательно равны единице, но они оба идемпотентны . ^[9] Инверсный моноид S , в котором xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , для всех x из S ( унипотентный инверсный моноид), является, конечно, группой .

Существует ряд эквивалентных характеристик инверсной полугруппы S : ^[10]

• Каждый элемент S имеет уникальный обратный элемент в указанном выше смысле.
• Каждый элемент S имеет по крайней мере один обратный элемент ( S — регулярная полугруппа ), а идемпотенты коммутируют (то есть идемпотенты S образуют полурешетку ).
• Каждый -класс и каждый -класс содержит ровно один идемпотент , где и - два отношения Грина .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Идемпотент в -классе s есть s ⁻¹ s , в то время как идемпотент в -классе s есть ss ⁻¹ . Поэтому существует простая характеристика соотношений Грина в инверсной полугруппе: ^[11]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

Если не указано иное, E(S) будет обозначать полурешетку идемпотентов инверсной полугруппы S.

• Частичные биекции на множестве X образуют обратную полугруппу относительно композиции.
• Каждая группа является инверсной полугруппой.
• Бициклическая полугруппа является обратной, причем ( a , b ) ⁻¹ = ( b , a ) .
• Каждая полурешетка является обратной.
• Полугруппа Брандта является обратной.
• Полугруппа Манна является обратной.

Пример таблицы умножения. Она ассоциативна и каждый элемент имеет свою собственную обратную согласно aba = a , bab = b . Она не имеет тождества и не коммутативна.

Инверсная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым как ω), которое определяется следующим образом: ^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

для некоторого идемпотента e в S. Эквивалентно,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

для некоторого (в общем случае, другого) идемпотента f в S. Фактически, e можно взять равным aa ⁻¹ , а f — равным a ⁻¹ a . ^[13]

Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть ^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

и

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

В группе этот частичный порядок просто сводится к равенству, поскольку тождество является единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. е. α ≤ β тогда и только тогда, когда область α содержится в области β и xα = xβ для всех x в области α . ^[15]

Естественный частичный порядок на инверсной полугруппе взаимодействует с отношениями Грина следующим образом: если s ≤ t и s t , то s = t . Аналогично, если s t . ^[16]${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

На E ( S ) естественный частичный порядок становится:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку относительно операции произведения, произведения на E ( S ) дают наименьшие верхние границы относительно ≤.

Если E ( S ) конечен и образует цепь (т.е. E ( S ) полностью упорядочен по ≤), то S является объединением групп . ^[17] Если E ( S ) является бесконечной цепью , то можно получить аналогичный результат при дополнительных гипотезах относительно S и E ( S ) . ^[18]

Гомоморфизм (или морфизм ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любой другой полугруппы: для инверсных полугрупп S и T функция θ из S в T является морфизмом , если ( sθ ) ( tθ ) = ( st ) θ , для всех s , t из S . Определение морфизма инверсных полугрупп можно было бы расширить, включив условие ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , однако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения с помощью следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный образ инверсной полугруппы является инверсной полугруппой; инверсия элемента всегда отображается в инверсию образа этого элемента. ^[19]

Одним из самых ранних результатов, доказанных относительно инверсных полугрупп, была теорема Вагнера–Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :

Теорема Вагнера–Престона. Если S — обратная полугруппа, то функция φ из S в , заданная формулой${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹ и x ( aφ ) = xa

является точным представлением S. [ ²⁰ ]

Таким образом, любая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную обратную полугруппу, причем с образом, замкнутым относительно обратной операции над частичными биекциями. Обратно, любая подполугруппа симметричной обратной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметричной обратной полугруппы, замкнутой относительно обратных операций, тогда и только тогда, когда S является обратной полугруппой.

Конгруэнтность определяется на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнтность ρ — это отношение эквивалентности , совместимое с умножением полугрупп, т. е.

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

Особый интерес представляет отношение , определяемое на инверсной полугруппе S соотношением${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$существует с ^[22]${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle c\leq a,b.}$

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, это групповая конгруэнция , что означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В множестве всех групповых конгруэнций на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S является обратной полугруппой, σ является наименьшей конгруэнцией на S такой, что S / σ является группой, то есть, если τ является любой другой конгруэнцией на S с S / τ группой, то σ содержится в τ . Конгруэнция σ называется минимальной групповой конгруэнцией на S . ^[23] Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. ниже).

Конгруэнция ρ на инверсной полугруппе S называется идемпотентно чистой , если

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

Одним из классов инверсных полугрупп , который интенсивно изучался на протяжении многих лет, является класс E -унитарных инверсных полугрупп: инверсная полугруппа S (с полурешеткой E идемпотентов ) является E -унитарной , если для всех e из E и всех s из S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Еще одна характеристика E -унитарной инверсной полугруппы S следующая: если e принадлежит E и e ≤ s для некоторого s из S , то s принадлежит E. ^[26]

Теорема. Пусть S — инверсная полугруппа с полурешеткой E идемпотентов и минимальной групповой конгруэнтностью σ . Тогда следующие условия эквивалентны: ^[27]

• S является E -унитарным;
• σ — идемпотентно чистый;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

где — отношение совместимости на S , определяемое формулой${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$являются идемпотентными.

Теорема покрытия Макалистера. Каждая обратная полугруппа S имеет E-унитарное покрытие; то есть существует идемпотентный разделяющий сюръективный гомоморфизм из некоторой E-унитарной полугруппы T на S. ^[28]

Центральным в изучении E -унитарных обратных полугрупп является следующая конструкция. ^[29] Пусть будет частично упорядоченным множеством с порядком ≤, и пусть будет подмножеством со свойствами, которые${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$является нижней полурешеткой , то есть каждая пара элементов A , B в имеет точную нижнюю грань A B в (относительно ≤);${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$является порядковым идеалом , то есть для A , B из , если A принадлежит и B ≤ A , то B принадлежит .${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Теперь пусть G — группа , действующая на (слева), такая, что${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• для всех g в G и всех A , B в , gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для каждого g в G и каждого B в существует A в такой, что gA = B ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех A , B в , A ≤ B тогда и только тогда, когда gA ≤ gB ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех g , h в G и всех A в , g ( hA ) = ( gh ) A .${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Предполагается также, что тройка обладает следующими свойствами:${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• для каждого X из , существует g из G и A из , такие что gA = X ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• для всех g из G , g и имеют непустое пересечение.${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Такая тройка называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего:${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

вместе с умножением

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Тогда — инверсная полугруппа относительно этого умножения, с ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ) . Одним из основных результатов в изучении E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера :${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

P-теорема Макалистера. Пусть — тройка Макалистера. Тогда — E -унитарная обратная полугруппа. Обратно, каждая E -унитарная обратная полугруппа изоморфна одной из этого типа. ^[30]${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

Говорят, что инверсная полугруппа является F -инверсной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над собой в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ -класс имеет максимальный элемент. Каждая F -инверсная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема покрытия Макалистера была улучшена М. В. Лоусоном до:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -обратное покрытие. ^[31]

P -теорема Макалистера также использовалась для характеристики F -обратных полугрупп. Тройка Макалистера является F -обратной полугруппой тогда и только тогда, когда является главным идеалом и является полурешеткой.${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Для инверсных полугрупп возможна конструкция, аналогичная свободной группе . Представление свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая свободную полугруппу с инволюцией , где инволюция — это взятие инверсии, а затем взятие фактора по сравнению Вагнера

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

Проблема слов для свободных обратных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит У. Д. Манну, который показал, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественным образом рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна, которые по сути состоят из перекрывающихся общих частей деревьев. (см. Lawson 1998 для получения дополнительных подробностей)

Любая свободная инверсная полугруппа является F -инверсной. ^[31]

Вышеуказанная композиция частичных преобразований множества порождает симметричную обратную полугруппу. Существует другой способ композиции частичных преобразований, который является более ограничительным, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β ; в противном случае композиция αβ не определена. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных взаимно-однозначных преобразований множества образует не обратную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между обратными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана–Шейна–Намбурипада , которая утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из обратной полугруппы, и наоборот. ^[32] Точнее, инверсная полугруппа — это в точности группоид в категории частично упорядоченных множеств, который является этальным группоидом относительно своей (двойственной) топологии Александрова и частично упорядоченный набор объектов которого является полурешеткой встреч.

Как отмечено выше, инверсная полугруппа S может быть определена условиями (1) S является регулярной полугруппой и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений инверсной полугруппы: полугруппы, в которых (1) выполняется, но (2) не выполняется, и наоборот.

Примерами регулярных обобщений инверсной полугруппы являются: ^[33]

• Регулярные полугруппы : полугруппа S является регулярной , если каждый элемент имеет хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого a из S существует x из S , такой что axa = a .
• Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe является инверсной полугруппой для каждого идемпотента e .
• Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную связку, т. е. xyzx = xzyx , для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенно -инверсных полугрупп является пересечением класса локально-инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. ^[34]

Среди нерегулярных обобщений инверсной полугруппы: ^[35]

• (Левая, правая, двусторонняя) адекватные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.

Это понятие инверсии также легко обобщается на категории . Инверсная категория — это просто категория, в которой каждый морфизм f  : X → Y имеет обобщенную инверсию g  : Y → X такую, что fgf = f и gfg = g . Инверсная категория является самодвойственной . Категория множеств и частичных биекций — яркий пример. ^[36]

Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике . ^[37]

• Клиффорд, AH; Престон, GB (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Математические обзоры Американского математического общества. Том 7. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). «Адекватные полугруппы». Труды Эдинбургского математического общества . 22 (2): 113–125. doi : 10.1017/S0013091500016230 .
• Голаб, ул. (1939). "Über den Begriff der "Pseudogruppe von Transformationen""". Mathematische Annalen (на немецком языке). 116 : 768–780. doi : 10.1007/BF01597390.
• Эксель, Р. (1998). «Частичные действия групп и действия обратных полугрупп». Труды Американского математического общества . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an/9511003 . doi :10.1090/S0002-9939-98-04575-4.
• Gould, V. "(Слабо) левые E-обильные полугруппы". Архивировано из оригинала (Postscript) 2005-08-26 . Получено 2006-08-28 .
• Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: Теория частичных симметрий . World Scientific. ISBN 9810233167.
• Макалистер, ДБ (1974a). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы». Труды Американского математического общества . 192 : 227–244. doi :10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• Макалистер, ДБ (1974б). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II». Труды Американского математического общества . 196 : 351–370. doi : 10.2307/1997032 . JSTOR  1997032.
• Петрич, М. (1984). Инверсные полугруппы . Уайли. ISBN 0471875457.
• Престон, ГБ (1954а). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 396–403. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.396.
• Престон, ГБ (1954б). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 404–411. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.404.
• Престон, ГБ (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 411–9. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.411.
• Шейн, Б. М. (1981). "Некролог: Виктор Владимирович Вагнер (1908–1981)". Форум полугруппы . 28 : 189–200. doi : 10.1007/BF02676643 .
• Шейн, Б. М. (2002). «Обзор книги: «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий» Марка В. Лоусона». Semigroup Forum . 65 : 149–158. doi :10.1007/s002330010132.
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия Академии наук СССР . 84 : 1119–1122. Перевод на английский язык (PDF)
• Вагнер, В. В. (1953). «Теория обобщенных груд и обобщенных групп». Математический сборник . Новая серия. 32 (74): 545–632.

• Краткое введение в обратные полугруппы см. в Clifford & Preston 1967, Глава 7 или Howie 1995, Глава 5.
• Более подробные введения можно найти в работах Петрича (1984) и Лоусона (1998).
• Линкельман, М. (2012). "Об обратных категориях и переносе в когомологиях" (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 56 : 187. doi :10.1017/S0013091512000211.Препринт открытого доступа