Группоидный объект

В теории категорий , разделе математики , группоидный объект является как обобщением группоида , построенного на более богатых структурах, чем множества, так и обобщением групповых объектов, когда умножение определено лишь частично.

Группоидный объект в категории C, допускающий конечные волокнистые произведения, состоит из пары объектов вместе с пятью морфизмами${\displaystyle R,U}$

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

удовлетворяющий следующим группоидным аксиомам

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$где - две проекции,${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$
2. (ассоциативность)${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. (единица)${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R}) = m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. (обратный) , , . ^[1]${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$

Групповой объект является частным случаем группоидного объекта, где и . Таким образом, топологические группы восстанавливаются , если взять категорию топологических пространств , или группы Ли, если взять категорию многообразий , и т. д.${\displaystyle R=U}$${\displaystyle с=т}$

Группоидный объект в категории множеств — это именно группоид в обычном смысле: категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Действительно, если задана такая категория C , то U — множество всех объектов в C , R — множество всех стрелок в C , пять морфизмов, заданных , , и . Когда термин «группоид» может естественным образом относиться к группоидному объекту в некоторой конкретной категории, термин «группоидное множество» используется для обозначения группоидного объекта в категории множеств.${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$${\displaystyle е(х)=1_{х}}$${\displaystyle я(е)=е^{-1}}$

Однако, в отличие от предыдущего примера с группами Ли, группоидный объект в категории многообразий не обязательно является группоидом Ли , поскольку отображения s и t не удовлетворяют дополнительным требованиям (они не обязательно являются погружениями ).

Группоид S -схема - это группоидный объект в категории схем над некоторой фиксированной базовой схемой S . Если , то группоидная схема (где обязательно являются структурной картой) - это то же самое, что и групповая схема . Группоидная схема также называется алгебраическим группоидом , ^[2] чтобы передать идею, что это обобщение алгебраических групп и их действий.${\displaystyle U=S}$${\displaystyle с=т}$

Например, предположим, что алгебраическая группа G действует справа на схему U. Тогда возьмем , s — проекцию, t — заданное действие. Это определяет схему группоида.${\displaystyle R=U\times G}$

Для данного объекта группоида ( R , U ) уравнитель , если таковой имеется, является групповым объектом, называемым группой инерции группоида. Соуравнитель той же диаграммы, если таковой имеется, является фактором группоида.${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U}$

Каждый объект группоида в категории C (если таковой имеется) можно рассматривать как контравариантный функтор из C в категорию группоидов. Таким образом, каждый объект группоида определяет предстек в группоидах. Этот предстек не является стеком , но его можно сложить в стек , чтобы получить стек.

Основное применение понятия заключается в том, что оно предоставляет атлас для стека. Более конкретно, пусть будет категорией ( R ⇉ U ) {\displaystyle (R\rightrightarrows U)} -торсоров. Тогда это категория, расслоенная на группоиды ; фактически (в хорошем случае) стек Делиня–Мамфорда . Наоборот, любой стек DM имеет эту форму.${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$

• Симплициальная схема

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантехи, Барбара; Гёттше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки, заархивировано из оригинала 2008-05-05 , извлечено 2014-02-11
• Жилле, Анри (1984), «Теория пересечений алгебраических стеков и Q-многообразий», Труды конференции Люмини по алгебраической K -теории (Люмини, 1983), Журнал чистой и прикладной алгебры , 34 (2–3): 193–240, doi :10.1016/0022-4049(84)90036-7, MR  0772058