2-группа

В математике , в частности в теории категорий , 2-группа — это группоид со способом умножения объектов , делающим его похожим на группу . Они являются частью более крупной иерархии n- групп . Они были введены Хоангом Сюань Синем в конце 1960-х годов под названием gr-категории , ^{[1] [2]} и также известны как категориальные группы .

2-группа — это моноидальная категория G, в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет слабый обратный объект. (Здесь слабым обратным объектом x является объект y, такой что xy и yx оба изоморфны единичному объекту.)

Большая часть литературы посвящена строгим 2-группам . Строгая 2-группа — это строгая моноидальная категория , в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет строгий обратный (так что xy и yx фактически равны единичному объекту).

Строгая 2-группа — это групповой объект в категории (малых) категорий ; как таковые, их можно было бы назвать групповыми категориями . И наоборот, строгая 2-группа — это категориальный объект в категории групп ; как таковые, их также называют категориальными группами . Их также можно отождествить с перекрещенными модулями , и чаще всего они изучаются именно в этой форме. Таким образом, 2-группы в целом можно рассматривать как ослабление перекрещенных модулей.

Каждая 2-группа эквивалентна строгой 2-группе , хотя это не может быть сделано последовательно: это не распространяется на гомоморфизмы 2-групп . ^{[ необходима ссылка ]}

Для данной ( малой ) категории C мы можем рассмотреть 2-группу Aut  C. Это моноидальная категория, объектами которой являются автоэквивалентности C (т. е. эквивалентности F : C → C ), морфизмы которой являются естественными изоморфизмами между такими автоэквивалентностями, а умножение автоэквивалентностей задается их композицией.

Если задано топологическое пространство X и точка x в этом пространстве, то существует фундаментальная 2-группа X в точке x , которая записывается как Π ₂ ( X , x ). Как моноидальная категория, объекты являются петлями в точке x , умножение которых задается конкатенацией, а морфизмы являются гомотопиями между петлями, сохраняющими базовую точку, причем эти морфизмы идентифицируются, если они сами гомотопны.

Слабые обратные объекты всегда можно назначить когерентно: ^[3] можно определить функтор на любой 2-группе G , который назначает слабый обратный объект каждому объекту, так что каждый объект связан с назначенным ему слабым обратным объектом посредством сопряженной эквивалентности в моноидальной категории G.

Если даны бикатегория B и объект x из B , то существует 2-группа автоморфизмов x в B , которая записывается как Aut _B x . Объекты являются автоморфизмами x , умножение которых задается композицией, а морфизмы являются обратимыми 2-морфизмами между ними. Если B является 2-группоидом (то есть все объекты и морфизмы слабо обратимы), а x — его единственный объект, то Aut _B x — единственные оставшиеся данные в B . Таким образом, 2-группы могут быть идентифицированы с однообъектными 2-группоидами , подобно тому, как группы могут быть идентифицированы с однообъектными группоидами, а моноидные категории могут быть идентифицированы с однообъектными бикатегориями.  

Если G является строгой 2-группой, то объекты G образуют группу, называемую базовой группой G и обозначаемую как G ₀ . Это не будет работать для произвольных 2-групп ; однако, если выделить изоморфные объекты, то классы эквивалентности образуют группу, называемую фундаментальной группой G и обозначаемую как π ₁ G . (Обратите внимание, что даже для строгой 2-группы фундаментальная группа будет только фактор-группой базовой группы.)

Как моноидальная категория, любая 2-группа G имеет единичный объект I _G. Группа автоморфизмов I _G является абелевой группой по аргументу Экмана–Хилтона , обозначаемой как Aut( I _G ) или π ₂ G .

Фундаментальная группа группы G действует по обе стороны от π ₂ G , а ассоциатор группы G определяет элемент группы когомологий H ³ (π ₁ G , π ₂ G ). Фактически, 2-группы классифицируются следующим образом: если заданы группа π ₁ , абелева группа π ₂ , действие группы π ₁ на π ₂ и элемент из H 3 ⁽ π ₁ , π ₂ ), то существует единственная ( с точностью до эквивалентности) 2-группа G с π ₁ G, изоморфным π ₁ , π ₂ G, изоморфным π ₂ , и другими соответствующими данными.

Элемент H ³ (π ₁ , π ₂ ), связанный с 2-группой , иногда называют ее инвариантом Sinh , поскольку он был разработан учеником Гротендика Хоангом Сюань Синем .

Как упоминалось выше, фундаментальная 2-группа топологического пространства X и точки x — это 2-группа Π ₂ ( X , x ), объектами которой являются петли в точке x , умножение которых задается конкатенацией, а морфизмы — это гомотопии между петлями, сохраняющие базовую точку, причем эти морфизмы идентифицируются, если они сами по себе гомотопны.

Обратно, для любой 2-группы G можно найти единственное ( с точностью до слабой гомотопической эквивалентности ) точечное связное пространство ( X , x ), фундаментальной 2-группой которого является G , а гомотопические группы π _n тривиальны для n  > 2. Таким образом, 2-группы классифицируют точечные связные слабые гомотопические 2-типы. Это обобщение конструкции пространств Эйленберга–Маклейна .

Если X — топологическое пространство с базовой точкой x , то фундаментальная группа X в точке x совпадает с фундаментальной группой фундаментальной 2-группы X в точке x , то есть

${\displaystyle \пи _{1}(X,x)=\пи _{1}(\Пи _{2}(X,x)).\!}$

Этот факт является источником термина «фундаментальный» в обоих его двухгрупповых вариантах.

Сходным образом,

${\displaystyle \пи _{2}(X,x)=\пи _{2}(\Пи _{2}(X,x)).\!}$

Таким образом, как первая, так и вторая гомотопические группы пространства содержатся в его фундаментальной 2-группе . Поскольку эта 2-группа также определяет действие π ₁ ( X , x ) на π ₂ ( X , x ) и элемент группы когомологий H ³ (π ₁ ( X , x ), π ₂ ( X , x )), это как раз те данные, которые необходимы для формирования башни Постникова пространства X, если X является точечным связным гомотопическим 2-типом.

• n -группа
• Абелева 2-группа

• Баез, Джон К.; Лауда, Аарон Д. (2004), «Высокоразмерная алгебра V: 2-группы» (PDF) , Теория и приложения категорий , 12 : 423–491, arXiv : math.QA/0307200
• Baez, John C. ; Stevenson, Danny (2009), "Классифицирующее пространство топологической 2-группы", в Baas, Nils; Friedlander, Eric; Jahren, Bjørn; Østvær, Paul Arne (ред.), Algebraic Topology. Симпозиум Абеля 2007 , Springer, Berlin, стр. 1–31, arXiv : 0801.3843
• Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж. (июль 1991 г.), «Классифицирующее пространство скрещенного комплекса», Математические труды Кембриджского философского общества , 110 (1): 95–120, Bibcode : 1991MPCPS.110...95B, doi : 10.1017/S0305004100070158
• Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (август 2011 г.), Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , EMS Tracts in Mathematics, т. 15, arXiv : math/0407275 , doi :10.4171/083, ISBN 978-3-03719-083-8, MR  2841564, Zbl  1237.55001
• Пфайффер, Хендрик (2007), «2-группы, триалгебры и их категории Хопфа представлений», Успехи в математике , 212 (1): 62–108, arXiv : math/0411468 , doi : 10.1016/j.aim.2006.09.014
• Сегарра, Антонио Мартинес; Эредиа, Бенхамин А.; Ремедиос, Хосуэ (2012), «Двойные группоиды и гомотопические 2-типы», Applied Categorical Structures , 20 (4): 323–378, arXiv : 1003.3820 , doi : 10.1007/s10485-010-9240-1

• 2-я группа в n-й лаборатории
• Семинар 2008 г. по категориальным группам в Центре математических исследований.