Дифференциал Кэлера

В математике дифференциалы Кэлера обеспечивают адаптацию дифференциальных форм к произвольным коммутативным кольцам или схемам . Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х годах. Оно было принято в качестве стандарта в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии несколько позже, когда возникла необходимость адаптировать методы из исчисления и геометрии над комплексными числами к контекстам, где такие методы недоступны.

Пусть R и S — коммутативные кольца, а φ  : R → S — гомоморфизм колец . Важным примером является случай, когда R — поле , а S — унитальная алгебра над R (такая как координатное кольцо аффинного многообразия ). Дифференциалы Кэлера формализуют наблюдение, что производные многочленов снова являются многочленными. В этом смысле дифференцирование — это понятие, которое можно выразить в чисто алгебраических терминах. Это наблюдение можно превратить в определение модуля

${\displaystyle \Omega _{S/R}}$

дифференциалов разными, но эквивалентными способами.

R -линейное дифференцирование на S является гомоморфизмом R -модуля в S -модуль M , удовлетворяющий правилу Лейбница ( из этого определения автоматически следует, что образ R находится в ядре d ^[1] ). Модуль кэлеровых дифференциалов определяется как S -модуль, для которого существует универсальное дифференцирование . Как и в случае с другими универсальными свойствами , это означает, что d является наилучшим возможным дифференцированием в том смысле, что любое другое дифференцирование может быть получено из него путем композиции с гомоморфизмом S -модуля. Другими словами, композиция с d обеспечивает для каждого S -модуля M изоморфизм S -модуля ${\displaystyle d:S\to M}$ ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$ ${\displaystyle \Omega _{S/R}}$${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Одна конструкция Ω _{S / R} и d осуществляется путем построения свободного S -модуля с одним формальным генератором ds для каждого s в S и наложения соотношений

• др = 0 ,
• д ( с + т ) = ds + dt ,
• d ( ст ) = s dt + t ds ,

для всех r из R и всех s и t из S. Универсальный вывод переводит s в ds . Из соотношений следует, что универсальный вывод является гомоморфизмом R -модулей.

Другая конструкция продолжается, позволяя I быть идеалом в тензорном произведении, определяемом как ядро ​​отображения умножения${\displaystyle S\otimes _{R}S}$

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

Тогда модуль кэлеровых дифференциалов S может быть эквивалентно определен как ^[2]

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

и универсальный вывод — это гомоморфизм d, определяемый формулой

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

Эта конструкция эквивалентна предыдущей, поскольку I является ядром проекции

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

Тогда может быть отождествлен с I с помощью карты, индуцированной дополнительной проекцией${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

Это отождествляет I с S -модулем, порождённым формальными генераторами ds для s в S , при условии, что d является гомоморфизмом R -модулей, который переводит каждый элемент R в ноль. Взятие частного по I ² в точности налагает правило Лейбница.

Для любого коммутативного кольца R кэлеровы дифференциалы кольца многочленов являются свободным S -модулем ранга n, порожденным дифференциалами переменных:${\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

Дифференциалы Кэлера совместимы с расширением скаляров в том смысле, что для второй R -алгебры R ′ и {{{1}}} существует изоморфизм

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}$

Как частный случай этого, дифференциалы Кэлера совместимы с локализациями , что означает, что если W является мультипликативным множеством в S , то существует изоморфизм

${\displaystyle W^{-1}\Омега _{S/R}\cong \Омега _{W^{-1}S/R}.}$

Если заданы два кольцевых гомоморфизма , то существует короткая точная последовательность T - модулей${\displaystyle R\to S\to T}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}$

Если для некоторого идеала I член обращается в нуль, то последовательность можно продолжить слева следующим образом:${\displaystyle T=S/I}$${\displaystyle \Omega _{T/S}}$

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}$

Обобщением этих двух коротких точных последовательностей является комплекс котангенса .

Последняя последовательность и приведенное выше вычисление для кольца полиномов позволяют вычислять дифференциалы Кэлера конечно порожденных R -алгебр . Вкратце, они генерируются дифференциалами переменных и имеют соотношения, вытекающие из дифференциалов уравнений. Например, для одного полинома от одной переменной,${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$

${\displaystyle \Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.}$

Поскольку дифференциалы Кэлера совместимы с локализацией, их можно построить на общей схеме, выполнив любое из двух определений выше на аффинных открытых подсхемах и склеивании. Однако второе определение имеет геометрическую интерпретацию, которая глобализируется немедленно. В этой интерпретации I представляет собой идеал, определяющий диагональ в волокнистом произведении Spec( S ) с самим собой над Spec( S ) → Spec( R ) . Таким образом, эта конструкция имеет более геометрический оттенок в том смысле, что понятие первой бесконечно малой окрестности диагонали тем самым улавливается с помощью функций, исчезающих по модулю функций, исчезающих по крайней мере до второго порядка (см. кокасательное пространство для связанных понятий). Более того, она распространяется на общий морфизм схем , устанавливая его в качестве идеала диагонали в волокнистом произведении . Кокасательный пучок , вместе с выводом, определенным аналогично предыдущему, является универсальным среди -линейных выводов -модулей. Если U — открытая аффинная подсхема X , образ которой в Y содержится в открытой аффинной подсхеме V , то кокасательный пучок ограничивается пучком на U , который также универсален. Следовательно, это пучок, связанный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, лежащих в основе U и V .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Подобно случаю коммутативной алгебры, существуют точные последовательности, связанные с морфизмами схем. При заданных морфизмах и схем существует точная последовательность пучков на${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

Кроме того, если — замкнутая подсхема, заданная идеальным пучком , то и существует точная последовательность пучков на${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}$

Если — конечное расширение поля, то тогда и только тогда, когда — сепарабельно. Следовательно, если — конечное сепарабельное расширение поля и — гладкое многообразие (или схема), то относительная последовательность котангенсов${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}$${\displaystyle K/k}$${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}$

${\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}$

доказывает .${\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}$

При наличии проективной схемы ее кокасательный пучок может быть вычислен из свёртывания кокасательного модуля на базовой градуированной алгебре. Например, рассмотрим комплексную кривую${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}$

тогда мы можем вычислить модуль котангенса как

${\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}$

Затем,

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}$

Рассмотрим морфизм

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])=Y}$

в . Затем, используя первую последовательность, мы видим, что${\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }$

${\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

следовательно

${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}$

Как и прежде, фиксируем карту . Дифференциальные формы более высокой степени определяются как внешние мощности (над ),${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

Вывод естественным образом распространяется на последовательность карт${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

удовлетворяющий Это комплекс коцепей, известный как комплекс де Рама .${\displaystyle d\circ d=0.}$

Комплекс де Рама обладает дополнительной мультипликативной структурой — произведением клина

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

Это превращает комплекс де Рама в коммутативную дифференциальную градуированную алгебру . Он также имеет структуру коалгебры, унаследованную от структуры внешней алгебры . ^[3]

Гиперкогомологии комплекса де Рама пучков называются алгебраическими когомологиями де Рама X над Y и обозначаются как или просто , если Y ясно из контекста. (Во многих ситуациях Y является спектром поля нулевой характеристики .) Алгебраические когомологии де Рама были введены Гротендиком (1966a). Они тесно связаны с кристаллическими когомологиями .${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$

Как известно из когерентных когомологий других квазикогерентных пучков, вычисление когомологий де Рама упрощается, когда X = Spec S и Y = Spec R являются аффинными схемами. В этом случае, поскольку аффинные схемы не имеют высших когомологий, может быть вычислено как когомологии комплекса абелевых групп${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

что, по существу, является глобальными сечениями пучков .${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$

Чтобы взять очень частный пример, предположим, что это мультипликативная группа над Поскольку это аффинная схема, гиперкогомологии сводятся к обычным когомологиям. Алгебраический комплекс де Рама — это${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

Дифференциал d подчиняется обычным правилам исчисления, то есть ядро ​​и коядро вычисляют алгебраические когомологии де Рама, поэтому${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

и все другие алгебраические группы когомологий де Рама равны нулю. Для сравнения, алгебраические группы когомологий де Рама гораздо больше, а именно,${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

Поскольку числа Бетти этих групп когомологий не соответствуют ожидаемым, для решения этой проблемы была разработана кристаллическая когомология ; она определяет теорию когомологий Вейля над конечными полями.

Если X — гладкое комплексное алгебраическое многообразие , то существует естественное отображение сравнения комплексов пучков

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

между алгебраическим комплексом де Рама и гладким комплексом де Рама, определенным в терминах (комплекснозначных) дифференциальных форм на , комплексном многообразии , связанном с X . Здесь обозначает функтор комплексной аналитизации. Это отображение далеко от изоморфизма. Тем не менее, Гротендик (1966a) показал, что отображение сравнения индуцирует изоморфизм${\displaystyle X^{\text{an}}}$${\textstyle (-)^{\text{an}}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

от алгебраических к гладким когомологиям де Рама (и, таким образом, к сингулярным когомологиям по теореме де Рама ). В частности, если X — гладкое аффинное алгебраическое многообразие, вложенное в , то включение подкомплекса алгебраических дифференциальных форм в подкомплекс всех гладких форм на X является квазиизоморфизмом . Например, если ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$,

то, как показано выше, вычисление алгебраических когомологий де Рама дает явные генераторы для и , соответственно, тогда как все другие группы когомологий исчезают. Поскольку X гомотопически эквивалентно окружности , это соответствует теореме Гротендика. ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$

Контрпримеры в сингулярном случае можно найти с не- Дюбуа-сингулярностями, такими как градуированное кольцо с , где и . ^[4] Другие контрпримеры можно найти в алгебраических плоских кривых с изолированными сингулярностями, числа Милнора и Тьюриной которых не равны. ^[5]${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \deg(y)=3}$${\displaystyle \deg(x)=2}$

Доказательство теоремы Гротендика с использованием концепции смешанной теории когомологий Вейля было дано Цисинским и Деглисом (2013).

Если X — гладкое многообразие над полем k , ^{[ необходимо разъяснение ],} то — векторное расслоение (т.е. локально свободный -модуль) ранга , равного размерности X. Это подразумевает, в частности, что${\displaystyle \Omega _{X/k}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

является линейным расслоением или, что то же самое, дивизором . Он называется каноническим дивизором . Канонический дивизор, как оказывается, является дуализирующим комплексом и поэтому появляется в различных важных теоремах алгебраической геометрии, таких как двойственность Серра или двойственность Вердье .

Геометрический род гладкого алгебраического многообразия X размерности d над полем k определяется как размерность

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

Для кривых это чисто алгебраическое определение согласуется с топологическим определением (для ) как «числа ручек» римановой поверхности, связанной с X. Существует довольно четкая трихотомия геометрических и арифметических свойств в зависимости от рода кривой, для g , равного 0 ( рациональные кривые ), 1 ( эллиптические кривые ) и больше 1 (гиперболические римановы поверхности, включая гиперэллиптические кривые ) соответственно.${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Касательное расслоение гладкого многообразия X , по определению, является двойственным к кокасательному пучку . Теорема Римана–Роха и ее далеко идущее обобщение, теорема Гротендика–Римана–Роха , содержат в качестве решающего ингредиента класс Тодда касательного расслоения.${\displaystyle \Omega _{X/k}}$

Пучок дифференциалов связан с различными алгебро-геометрическими понятиями. Морфизм схем неразветвлен тогда и только тогда, когда равен нулю. ^[6] Частным случаем этого утверждения является то, что для поля k , является сепарабельным над k тогда и только тогда , когда , что также можно вывести из приведенного выше вычисления.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$${\displaystyle K:=k[t]/f}$${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$

Морфизм f конечного типа является гладким морфизмом, если он плоский и если является локально свободным -модулем соответствующего ранга. Вычисление выше показывает, что проекция из аффинного пространства является гладкой.${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$

Периоды , в общем, являются интегралами некоторых арифметически определенных дифференциальных форм. ^[7] Простейшим примером периода является, который возникает как${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

Алгебраические когомологии де Рама используются для построения периодов следующим образом: ^[8] Для алгебраического многообразия X , определенного над вышеупомянутой совместимостью с заменой базы, получается естественный изоморфизм${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

С другой стороны, правая группа когомологий изоморфна когомологиям де Рама комплексного многообразия , связанного с X , обозначенного здесь Еще один классический результат, теорема де Рама , утверждает изоморфизм последней группы когомологий с сингулярными когомологиями (или когомологиями пучков) с комплексными коэффициентами, , которая по теореме об универсальных коэффициентах в свою очередь изоморфна Композиция этих изоморфизмов дает два рациональных векторных пространства, которые после тензорного умножения на становятся изоморфными. Выбирая базисы этих рациональных подпространств (также называемых решетками), определитель матрицы замены базы является комплексным числом, хорошо определенным с точностью до умножения на рациональное число. Такие числа являются периодами .${\displaystyle X^{\text{an}}}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

В алгебраической теории чисел дифференциалы Кэлера могут использоваться для изучения ветвления в расширении полей алгебраических чисел . Если L / K - конечное расширение с кольцами целых чисел R и S соответственно, то другой идеал δ _{L / K} , который кодирует данные ветвления, является аннулятором R -модуля Ω _{R / S} : ^[9]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$

Гомологии Хохшильда — это теория гомологии для ассоциативных колец, которая оказывается тесно связанной с дифференциалами Кэлера. Это происходит из-за теоремы Хохшильда-Костанта-Розенберга, которая утверждает, что гомологии Хохшильда алгебры гладкого многообразия изоморфны комплексу де Рама для поля характеристики . Выведенное улучшение этой теоремы утверждает, что гомологии Хохшильда дифференциальной градуированной алгебры изоморфны производному комплексу де Рама.${\displaystyle HH_{\bullet }(R)}$${\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$

Комплекс де Рама–Витта, грубо говоря, является расширением комплекса де Рама для кольца векторов Витта .

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), «Смешанные когомологии Вейля», Advances in Mathematics , 230 (1): 55– 130, arXiv : 0712.3291 , doi : 10.1016/j.aim.2011.10.021

• Гротендик, Александр (1966a), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 29 (29): 95–103 , doi : 10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194, S2CID  123434721(письмо Майклу Атья , 14 октября 1963 г.)

• Гротендик, Александр (1966b), Письмо Джону Тейту (PDF)

• Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии де Рама схем» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л .; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Продвинутые исследования в области чистой математики, т. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр.  306–358 , MR  0269663
• Джонсон, Джеймс (1969), «Кэлеровы дифференциалы и дифференциальная алгебра», Annals of Mathematics , 89 (1): 92–98 , doi :10.2307/1970810, JSTOR  1970810, Zbl  0179.34302
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Мацумура, Хидеюки (1986), Теория коммутативных колец , Cambridge University Press
• Нойкирх, Юрген (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Розенлихт, М. (1976), «О теории элементарных функций Лиувилля» (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 65 (2): 485–492 , doi : 10.2140/pjm.1976.65.485 , Zbl  0318.12107
• Фу, Гофэн; Халас, Мирослав; Ли, Цимин (2011), «Некоторые замечания о дифференциалах Кэлера и обыкновенных дифференциалах в нелинейных системах управления», Systems and Control Letters , 60 : 699–703 , doi :10.1016/j.sysconle.2011.05.006

• Заметки о p-адических алгебраических когомологиях де-Рама — дает множество вычислений над характеристикой 0 в качестве мотивировки
• Тема, посвященная соотношению алгебраических и аналитических дифференциальных форм
• Дифференциалы (проект Stacks)