Алгебраическое расширение
Расширение математического поля с полиномиальными корнями

В математике алгебраическое расширение — это расширение поля L / K , такое, что каждый элемент большего поля L является алгебраическим над меньшим полем K ; то есть каждый элемент L является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. [1] [2] Расширение поля, которое не является алгебраическим , называется трансцендентным и должно содержать трансцендентные элементы , то есть элементы, которые не являются алгебраическими. [3] [4]

Алгебраические расширения поля рациональных чисел называются алгебраическими числовыми полями и являются основными объектами изучения алгебраической теории чисел . Другим примером общего алгебраического расширения является расширение действительных чисел комплексными числами . В {\displaystyle \mathbb {Q} } С / Р {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }

Некоторые свойства

Все трансцендентные расширения имеют бесконечную степень . Это , в свою очередь, подразумевает, что все конечные расширения являются алгебраическими. [5] Однако обратное неверно: существуют бесконечные расширения, которые являются алгебраическими. [6] Например, поле всех алгебраических чисел является бесконечным алгебраическим расширением рациональных чисел. [7]

Пусть E — поле расширения поля K , и a ∈ E. Наименьшее подполе поля E , содержащее K и a, обычно обозначается Если a алгебраично над K , то элементы K ( a ) можно выразить как многочлены от a с коэффициентами в K ; то есть K ( a ) также является наименьшим кольцом , содержащим K и a . В этом случае — конечное расширение поля K (это конечномерное K -векторное пространство), и все его элементы алгебраичны над K . [8] Эти свойства не выполняются, если a не алгебраично. Например, и они оба являются бесконечномерными векторными пространствами над [9] К ( а ) . {\displaystyle К(а).} К ( а ) {\displaystyle К(а)} В ( π ) ≠ В [ π ] , {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi)\neq \mathbb {Q} [\pi],} В . {\displaystyle \mathbb {Q} .}

Алгебраически замкнутое поле F не имеет собственных алгебраических расширений, то есть, никаких алгебраических расширений E с F < E . [10] Примером является поле комплексных чисел. Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто (называемое его алгебраическим замыканием ), но доказательство этого в общем случае требует некоторой формы аксиомы выбора . [11]

Расширение L / K является алгебраическим тогда и только тогда, когда каждая под -K - алгебра L является полем.

Характеристики

Имеют место следующие три свойства: [12]

  1. Если E является алгебраическим расширением F , а F является алгебраическим расширением K , то E является алгебраическим расширением K.
  2. Если E и F являются алгебраическими расширениями K в общем надполе C , то композитум EF является алгебраическим расширением K.
  3. Если E является алгебраическим расширением F и E > K > F , то E является алгебраическим расширением K.

Эти конечные результаты можно обобщить с помощью трансфинитной индукции:

  1. Объединение любой цепочки алгебраических расширений над базовым полем само является алгебраическим расширением над тем же базовым полем.

Этот факт вместе с леммой Цорна (примененной к соответствующим образом выбранному частично упорядоченному множеству ) устанавливает существование алгебраических замыканий .

Обобщения

Теория моделей обобщает понятие алгебраического расширения на произвольные теории: вложение M в N называется алгебраическим расширением , если для каждого x из N существует формула p с параметрами из M , такая, что p ( x ) является истинной и множество

{ у ∈ Н ∣ п ( у ) } {\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}

конечна. Оказывается, что применение этого определения к теории полей дает обычное определение алгебраического расширения. Группа Галуа N над M может быть снова определена как группа автоморфизмов , и оказывается , что большая часть теории групп Галуа может быть развита для общего случая.

Относительные алгебраические замыкания

Для поля k и поля K , содержащего k , можно определить относительное алгебраическое замыкание поля k в K как подполе поля K, состоящее из всех элементов поля K , которые являются алгебраическими над полем k , то есть всех элементов поля K , которые являются корнем некоторого ненулевого многочлена с коэффициентами в k .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Фрели (2014), Определение 31.1, с. 283.
  2. ^ Малик, Мордесон, Сен (1997), Определение 21.1.23, стр. 453.
  3. ^ Фрели (2014), Определение 29.6, стр. 267.
  4. ^ Малик, Мордесон, Сен (1997), теорема 21.1.8, с. 447.
  5. ^ См. также Hazewinkel et al. (2004), с. 3.
  6. ^ Фрели (2014), теорема 31.18, с. 288.
  7. ^ Фрели (2014), следствие 31.13, с. 287.
  8. ^ Фрели (2014), Теорема 30.23, с. 280.
  9. ^ Фрели (2014), пример 29.8, с. 268.
  10. ^ Фрели (2014), следствие 31.16, с. 287.
  11. ^ Фрели (2014), Теорема 31.22, с. 290.
  12. ^ Лэнг (2002) стр.228

Ссылки

  • Фрэли, Джон Б. (2014), Первый курс абстрактной алгебры , Пирсон, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули, вып. 1, Спрингер, ISBN 1-4020-2690-0
  • Ланг, Серж (1993), "Т.1:Алгебраические расширения", Алгебра (третье изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 223 и далее, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
  • Малик, Д.Б.; Мордесон, Джон Н.; Сен, М.К. (1997), Основы абстрактной алгебры , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • Маккарти, Пол Дж. (1991) [исправленное переиздание 2-го издания, 1976], Алгебраические расширения полей, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, ЗБЛ  0768.12001
  • Роман, Стивен (1995), Теория поля, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Ротман, Джозеф Дж. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Алгебраическое_расширение&oldid=1220717492"