Теорема Люрота

В математике теорема Люрота утверждает , что каждое поле , которое лежит между полем K и полем рациональной функции K ( X ), должно быть порождено как расширение K одним элементом K ( X ). Этот результат назван в честь Якоба Люрота , который доказал его в 1876 году. [ ^1]

Пусть будет полем и будет промежуточным полем между и для некоторого неопределенного X. Тогда существует рациональная функция такая, что . Другими словами, каждое промежуточное расширение между и является простым расширением .${\displaystyle К}$${\displaystyle М}$${\displaystyle К}$${\displaystyle К(Х)}$ ${\displaystyle f(X)\in K(X)}$${\displaystyle М=К(f(X))}$${\displaystyle К}$${\displaystyle К(Х)}$

Доказательство теоремы Люрота можно легко вывести из теории рациональных кривых , используя геометрический род . ^[2] Этот метод неэлементарен, но уже давно известны несколько коротких доказательств, использующих только основы теории поля , в основном с использованием понятия степени трансцендентности . ^[3] Многие из этих простых доказательств используют лемму Гаусса о примитивных многочленах в качестве основного шага. ^[4]