Проективное векторное поле

Проективное векторное поле ( projective ) — это гладкое векторное поле на полуримановом многообразии (например, пространстве-времени ) , поток которого сохраняет геодезическую структуру без обязательного сохранения аффинного параметра любой геодезической. Более интуитивно понятно, поток проективного гладко отображает геодезические в геодезические без сохранения аффинного параметра.${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$

При работе с векторным полем на полуримановом многообразии (например, в общей теории относительности ) часто бывает полезно разложить ковариантную производную на ее симметричную и кососимметричную части:${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{a;b}={\frac {1}{2}}h_{ab}+F_{ab}}$

где

${\displaystyle h_{ab}=({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab}=X_{a;b}+X_{b;a}}$

и

${\displaystyle F_{ab}={\frac {1}{2}}(X_{a;b}-X_{b;a})}$

Обратите внимание, что являются ковариантными компонентами .${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X}$

Математически условие проективности векторного поля эквивалентно существованию одномерной формы, удовлетворяющей${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \пси}$

${\displaystyle X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _{c)}}$

что эквивалентно

${\displaystyle h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _{b}+g_{bc}\psi _{a}}$

Множество всех глобальных проективных векторных полей над связным или компактным многообразием образует конечномерную алгебру Ли, обозначаемую ( проективную алгебру ), и удовлетворяет для связных многообразий условию: . Здесь проективное векторное поле однозначно определяется указанием значений , и (эквивалентно указанием , , и ) в любой точке . (Для несвязных многообразий вам необходимо указать эти 3 в одной точке на связный компонент.) Проективные поля также удовлетворяют свойствам:${\displaystyle P(M)}$${\displaystyle \dim P(M)\leq n(n+2)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \набла X}$${\displaystyle \набла \набла X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}}$

Могут возникнуть несколько важных частных случаев проективных векторных полей, и они образуют подалгебры Ли . Эти подалгебры полезны, например, при классификации пространства-времени в общей теории относительности.${\displaystyle P(M)}$

Аффинные векторные поля (аффинные) удовлетворяют (эквивалентно, ) и, следовательно, каждое аффинное является проективным. Аффинные сохраняют геодезическую структуру полуримского многообразия (читай пространства-времени), сохраняя при этом аффинный параметр. Множество всех аффинных на образует подалгебру Ли в , обозначаемую ( аффинная алгебра ) и удовлетворяет для связного M , . Аффинный вектор однозначно определяется указанием значений векторного поля и его первой ковариантной производной (эквивалентно, указанием , и ) в любой точке . Аффинные также сохраняют тензоры Римана, Риччи и Вейля, т.е. ${\displaystyle \набла h=0}$${\displaystyle \пси =0}$${\displaystyle М}$${\displaystyle P(M)}$${\displaystyle А(М)}$${\displaystyle \dim A(M)\leq n(n+1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle F}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0}$, ,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0}$

Гомотетические векторные поля (гомотетии) сохраняют метрику с точностью до постоянного множителя, т.е. . Так как , каждая гомотетия является аффинной, а множество всех гомотетий на образует подалгебру Ли в , обозначаемую ( гомотетическую алгебру ), и удовлетворяет для связного M${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg}$${\displaystyle \набла h=0}$${\displaystyle М}$${\displaystyle А(М)}$${\displaystyle H(M)}$

${\displaystyle \dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1}$.

Гомотетическое векторное поле однозначно определяется заданием значений векторного поля и его первой ковариантной производной (что эквивалентно заданию , и ) в любой точке многообразия.${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle с}$

Векторные поля Killing (Killings) сохраняют метрику, т. е . Принимая Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин для браузера): Недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle c=0} в определяющем свойстве гомотетии, видно, что каждый Killing является гомотетией (и, следовательно, аффинным), а множество всех векторных полей Killing на образует подалгебру Ли в обозначенной ( алгебра Killing ) и удовлетворяет для связного M${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=0}$${\displaystyle М}$${\displaystyle H(M)}$${\displaystyle К(М)}$

${\displaystyle \dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)}$.

Поле векторов Киллинга однозначно определяется указанием значений векторного поля и его первой ковариантной производной (что эквивалентно указанию и ) в любой точке (для каждого компонента связности) .${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle М}$

В общей теории относительности многие пространства-времена обладают определенными симметриями, которые могут быть охарактеризованы векторными полями в пространстве-времени. Например, пространство Минковского допускает максимальную проективную алгебру, т.е. . ${\displaystyle {\mathbb {M} }}$${\displaystyle \dim P({\mathbb {M} })=24}$

Многие другие применения векторных полей симметрии в общей теории относительности можно найти в работе Холла (2004), которая также содержит обширную библиографию, включающую множество исследовательских работ в области симметрии в общей теории относительности .

• Poor, W. (1981). Дифференциальные геометрические структуры . Нью-Йорк: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0.
• Яно, К. (1970). Интегральные формулы в римановой геометрии . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN ???.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные заметки по физике) . Сингапур: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5.