Закон сохранения

В физике закон сохранения гласит, что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не изменяется по мере развития системы с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение массы-энергии , сохранение импульса , сохранение момента импульса и сохранение электрического заряда . Существует также много приближенных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд и т. д. Эти величины сохраняются в определенных классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение непрерывности , частное дифференциальное уравнение , которое дает связь между количеством количества и «переносом» этого количества. Он утверждает, что количество сохраняющегося количества в точке или внутри объема может изменяться только на количество количества, которое втекает или вытекает из объема.

Из теоремы Нётер следует , что каждая дифференцируемая симметрия приводит к закону сохранения. ^{[1] [2] [3]} Могут существовать и другие сохраняющиеся величины.

Законы сохранения имеют основополагающее значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не изменяется, хотя может изменять форму. В общем, общее количество свойства, регулируемого этим законом, остается неизменным в ходе физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), линейного импульса, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, кроме как парами, где одна является обычной, а другая является античастицей. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения, связанных с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, имеющими широкое применение в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения являются точными или абсолютными в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения являются частичными, в том смысле, что они справедливы для некоторых процессов, но не для других.

Одним из особенно важных результатов, касающихся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемой симметрией Вселенной . Например, сохранение энергии следует из однородности времени , а сохранение момента импульса возникает из изотропии пространства , ^{[4] [5] [6] т.е. потому, что нет выделенного направления} пространства . Примечательно, что не существует закона сохранения, связанного с обращением времени , хотя известны более сложные законы сохранения , объединяющие обращение времени с другими симметриями .

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Август 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Частичный список физических уравнений сохранения, обусловленных симметрией , которые считаются точными законами , или, точнее, никогда не было доказано, что они нарушаются:

Другая точная симметрия — это CPT-симметрия , одновременная инверсия пространственных и временных координат, вместе с заменой всех частиц их античастицами; однако, будучи дискретной симметрией, теорема Нётер к ней не применима. Соответственно, сохраняющаяся величина, CPT-четность, обычно не может быть осмысленно рассчитана или определена.

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Август 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Существуют также приближенные законы сохранения. Они приблизительно верны в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные масштабы или определенные взаимодействия.

• Сохранение механической энергии
• Сохранение массы (приблизительно справедливо для нерелятивистских скоростей )
• Сохранение барионного числа (см. хиральную аномалию и сфалерон )
• Сохранение лептонного числа (в Стандартной модели )
• Сохранение вкуса (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение странности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение пространственной четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение зарядовой четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение временной четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение CP-четности (нарушаемое слабым взаимодействием ); в Стандартной модели это эквивалентно сохранению временной четности .

Общее количество некоторой сохраняющейся величины во Вселенной может остаться неизменным, если равное количество появится в одной точке A и одновременно исчезнет из другой отдельной точки B. Например, некоторое количество энергии может появиться на Земле, не изменив общего количества во Вселенной, если такое же количество энергии исчезнет из какой-то другой области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, поскольку она не является инвариантной относительно Лоренца , поэтому явления, подобные вышеприведенным, не встречаются в природе. ^{[7] [8]} Согласно специальной теории относительности , если появление энергии в точке A и исчезновение энергии в точке B происходят одновременно в одной инерциальной системе отсчета , они не будут происходить одновременно в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущейся системе отсчета одно произойдет раньше другого; либо энергия в точке A появится до или после исчезновения энергии в точке B. В обоих случаях в течение интервала энергия не будет сохраняться.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы для изменения величины сохраняющейся величины в точке должен быть поток или поток величины в точку или из нее. Например, величина электрического заряда в точке никогда не изменяется без электрического тока в точку или из нее, который переносит разницу в заряде. Поскольку он включает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является инвариантным относительно Лоренца ; величина, сохраняющаяся в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. ^{[7] [8]} Это называется локальным законом сохранения. ^{[7] [8]} Локальное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общая величина сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянной. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением непрерывности , которое гласит, что изменение величины в объеме равно общему чистому «потоку» величины через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются уравнения непрерывности в целом.

В механике сплошных сред наиболее общая форма точного закона сохранения задается уравнением непрерывности . Например, сохранение электрического заряда q имеет вид , где ∇⋅ — оператор дивергенции , ρ — плотность q (количество на единицу объема), j — поток q (количество, пересекающее единичную площадь за единицу времени), а t — время.$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$

Если предположить, что движение заряда u является непрерывной функцией положения и времени, то$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}} &=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}}$$

В одном пространственном измерении это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка : ^{[9] : 43} где зависимая переменная y называется плотностью сохраняющейся величины , а A ( y ) называется текущим якобианом , и для частных производных были использованы нижние индексные обозначения. Более общий неоднородный случай: не является уравнением сохранения, а представляет собой общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная y называется несохраняющейся величиной , а неоднородный член s ( y , x , t ) является источником , или диссипацией . Например, уравнения баланса такого рода являются уравнениями импульса и энергии Навье-Стокса или балансом энтропии для общей изолированной системы .$${\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = 0}$$$${\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = s}$$

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка , которое можно представить в адвективной форме: где зависимая переменная y ( x , t ) называется плотностью сохраняющейся (скалярной) величины, а a ( y ) называется текущим коэффициентом , обычно соответствующим частной производной по сохраняющейся величине от текущей плотности сохраняющейся величины j ( y ) : ^{[9] : 43}$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$$${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

В этом случае, поскольку применяется цепное правило , уравнение сохранения можно представить в виде плотности тока:$${\displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}$$$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

В пространстве с более чем одним измерением предыдущее определение можно расширить до уравнения, которое можно представить в виде:$${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

где сохраняющаяся величина равна y ( r , t ) , ⋅ обозначает скалярное произведение , ∇ — оператор набла , здесь указывающий градиент , а a ( y ) — вектор коэффициентов тока, аналогично соответствующий дивергенции векторной плотности тока, связанной с сохраняющейся величиной j ( y ) :$${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

Это касается уравнения непрерывности :$${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u})=0}$$

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ ( r , t ) и плотностью тока ρu , идентичной плотности импульса , тогда как u ( r , t ) — скорость потока .

В общем случае уравнение сохранения может быть также системой такого рода уравнений ( векторное уравнение ) в виде: ^{[9] : 43} где y называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, ∇ y — ее градиентом , 0 — нулевым вектором , а A ( y ) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также и в векторном случае A ( y ) обычно соответствует якобиану матрицы плотности тока J ( y ) : и уравнение сохранения можно представить в виде:$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

Например, это касается уравнений Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае они имеют вид:$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,}$$

где:

• u —векторскорости потока с компонентами в N-мерном пространстве u ₁ , u ₂ , ..., u _N ,
• s — удельное давление (давление на единицу плотности ), дающее источник ,

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица плотности тока для этих уравнений равны соответственно:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad }$$

где обозначает внешнее произведение .${\displaystyle \otimes }$

Уравнения сохранения обычно также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последней по существу состоит в том, что она требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяя класс допустимых решений, включая разрывные решения. ^{[9] : 62–63} Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве: и используя теорему Грина , интегральная форма имеет вид:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

Аналогичным образом, для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет вид: где интегрирование по линии выполняется вдоль границы области против часовой стрелки. ^{[9] : 62–63}$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0}$$

Более того, определив тестовую функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактным носителем, слабую форму можно получить, поворачивая начальное условие . В одномерном пространстве это:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

В слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были переданы тестовой функции, которая при первой гипотезе является достаточно гладкой, чтобы допустить эти производные. ^{[9] : 62–63}

• Инвариант (физика)
• Импульс
  • Уравнение импульса Коши
• Энергия
  • Сохранение энергии и Первый закон термодинамики
• Консервативная система
• Сохраняемое количество
  • Некоторые виды спиральности сохраняются в бездиссипативном пределе: гидродинамическая спиральность , магнитная спиральность , перекрестная спиральность.
• Принцип изменчивости
• Закон сохранения тензора энергии- напряжения
• инвариант Римана
• Философия физики
• Принцип тоталитаризма
• Уравнение конвекции-диффузии
• Однородность природы

• Адвекция
• Закон сохранения массы или уравнение непрерывности
• Сохранение заряда
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• невязкое уравнение Бюргерса
• Кинематическая волна
• Сохранение энергии
• Поток транспорта

• Филипсон, Шустер, Моделирование с помощью нелинейных дифференциальных уравнений: диссипативные и консервативные процессы , World Scientific Publishing Company 2009.
• Виктор Дж. Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, Нью-Йорк: Prometheus Books. Глава 12 — это мягкое введение в симметрию, инвариантность и законы сохранения.
• Э. Годлевский и П.А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

• Медиа, связанные с законами об охране природы на Wikimedia Commons
• Законы сохранения – Гл. 11–15 в онлайн-учебнике