N = 2 суперконформная алгебра

В математической физике 2D N  = 2 суперконформная алгебра — это бесконечномерная супералгебра Ли , связанная с суперсимметрией , которая встречается в теории струн и двумерной конформной теории поля . Она имеет важные приложения в зеркальной симметрии . Она была введена М. Адемолло , Л. Бринком и А. Д'Аддой и др. (1976) как калибровочная алгебра фермионной струны U(1).

Существует два немного отличающихся способа описания суперконформной алгебры N  = 2, называемой алгеброй Рамона N  = 2 и алгеброй Невё–Шварца N  = 2, которые изоморфны (см. ниже), но отличаются выбором стандартного базиса.  Суперконформная алгебра N = 2 — это супералгебра Ли с базисом из четных элементов c , L _n , J _n , где n — целое число, и нечетных элементов G⁺
_р, Г⁻
_р, где (для базиса Рамона) или (для базиса Невё–Шварца) определяются следующими соотношениями: ^[1]${\displaystyle r\in {\mathbb {Z} }}$${\textstyle r\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$

c находится в центре

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=\left(mn\right)L_{m+n}+{c \over 12}\left(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{м},\,J_{н}]=-нJ_{м+н}}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={c \over 3}m\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{1 \over 2}\left(rs\right)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right)\delta _{r+s,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=\left({m \over 2}-r\right)G_{r+m}^{\pm }}$

${\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }}$

Если в этих соотношениях, это дает  алгебру Рамона N = 2 ; в то время как если являются полуцелыми числами, это дает  алгебру Невё–Шварца N = 2 . Операторы порождают подалгебру Ли, изоморфную алгебре Вирасоро . Вместе с операторами они порождают супералгебру Ли, изоморфную супералгебре Вирасоро , давая алгебру Рамона, если являются целыми числами, и алгебру Невё–Шварца в противном случае. При представлении в виде операторов на комплексном пространстве скалярного произведения , принимается, что действует как умножение на действительный скаляр, обозначается той же буквой и называется центральным зарядом , а присоединенная структура выглядит следующим образом:${\displaystyle r,s\in {\mathbb {Z} }}$${\textstyle r,s\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle G_{r}=G_{r}^{+}+G_{r}^{-}}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle с}$

${\displaystyle {L_{n}^{*}=L_{-n},\,\,J_{m}^{*}=J_{-m},\,\,(G_{r}^{\pm })^{*}=G_{-r}^{\mp },\,\,c^{*}=c}}$

• Алгебры Рамона и Невё–Шварца при N =  2 изоморфны по изоморфизму спектрального сдвига Швиммера и Зайберга (1987): с обратным:${\displaystyle \альфа}$$${\displaystyle \alpha (L_{n})=L_{n}+{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (J_{n})=J_{n}+{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (G_{r}^{\pm })=G_{r\pm {1 \over 2}}^{\pm }}$$$${\displaystyle \alpha ^{-1}(L_{n})=L_{n}-{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(J_{n})=J_{n}-{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(G_{r}^{\pm })=G_{r\mp {1 \over 2}}^{\pm }}$$
• В алгебре Рамона N  = 2 операторы нулевой моды , и константы образуют пятимерную супералгебру Ли. Они удовлетворяют тем же соотношениям, что и фундаментальные операторы в геометрии Кэлера , с соответствующими Лапласиану, оператору степени и операторам и .${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$
• Даже целые степени спектрального сдвига дают автоморфизмы N  = 2 суперконформных алгебр, называемые автоморфизмами спектрального сдвига. Другой автоморфизм , периода два, задается выражением В терминах операторов Кэлера, соответствует сопряжению комплексной структуры. Поскольку , автоморфизмы и порождают группу автоморфизмов N =  2 суперконформной алгебры, изоморфную бесконечной диэдральной группе .${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \beta (L_{m})=L_{m},}$$ $${\displaystyle \beta (J_{m})=-J_{m}-{c \over 3}\delta _{m,0},}$$ $${\displaystyle \beta (G_{r}^{\pm })=G_{r}^{\mp }}$$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{-1}}$${\displaystyle \alpha ^{2}}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\rtimes {\mathbb {Z} }_{2}}$
• Скрученные операторы были введены Эгучи и Янгом (1990) и удовлетворяют: так что эти операторы удовлетворяют соотношению Вирасоро с центральным зарядом 0. Константа по-прежнему появляется в соотношениях для и модифицированных соотношениях${\textstyle {\mathcal {L}}_{n}=L_{n}+{1 \over 2}(n+1)J_{n}}$$${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},{\mathcal {L}}_{n}]=(m-n){\mathcal {L}}_{m+n}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle J_{m}}$$${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}+{c \over 6}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$ $${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=2{\mathcal {L}}_{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \over 3}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$

Грин, Шварц и Виттен (1988a, 1988b) дают конструкцию, использующую два коммутирующих реальных бозонных поля ,${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$

${\displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

и комплексное фермионное поле ${\displaystyle (e_{r})}$

${\displaystyle \{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}$

${\displaystyle L_{n}}$определяется как сумма операторов Вирасоро, естественно связанных с каждой из трех систем

${\displaystyle L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}\left(r+{n \over 2}\right):e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

где для бозонов и фермионов использовался нормальный порядок .

Оператор тока определяется стандартной конструкцией из фермионов${\displaystyle J_{n}}$

${\displaystyle J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

и два суперсимметричных оператора${\displaystyle G_{r}^{\pm }}$

${\displaystyle G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m},\,\,\,\,G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}}$

Это дает алгебру Невё–Шварца N  = 2 с  c  = 3.

Ди Веккиа и др. (1986) дали конструкцию косетов для N  = 2 суперконформных алгебр, обобщающую конструкции косетов Годдарда, Кента и Олива (1986) для дискретных серийных представлений алгебры Вирасоро и супералгебры Вирасоро. Учитывая представление аффинной алгебры Каца–Муди SU (2) на уровне с базисом , удовлетворяющим${\displaystyle \ell }$${\displaystyle E_{n},F_{n},H_{n}}$

${\displaystyle [H_{m},H_{n}]=2m\ell \delta _{n+m,0},}$

${\displaystyle [E_{m},F_{n}]=H_{m+n}+m\ell \delta _{m+n,0},}$

${\displaystyle [H_{m},E_{n}]=2E_{m+n},}$

${\displaystyle [H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n},}$

суперсимметричные генераторы определяются как

${\displaystyle G_{r}^{+}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum E_{-m}\cdot e_{m+r},\,\,\,G_{r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.}$

Это дает N=2 суперконформную алгебру с

${\displaystyle c=3\ell /(\ell +2).}$

Алгебра коммутирует с бозонными операторами

${\displaystyle X_{n}=H_{n}-2\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:.}$

Пространство физических состояний состоит из собственных векторов , одновременно аннулируемых оператором ' для положительных и суперзаряда ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q=G_{1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}}$(Неве–Шварц)

${\displaystyle Q=G_{0}^{+}+G_{0}^{-}.}$(Рамонд)

Оператор суперзаряда коммутирует с действием аффинной группы Вейля, а физические состояния лежат на одной орбите этой группы, что подразумевает формулу характера Вейля-Каца . ^[2]

Kazama & Suzuki (1989) обобщили конструкцию класса SU(2) для любой пары, состоящей из простой компактной группы Ли и замкнутой подгруппы максимального ранга, т.е. содержащей максимальный тор , с дополнительным условием, что размерность центра не равна нулю. В этом случае компактное эрмитово симметричное пространство является кэлеровым многообразием, например, когда . Физические состояния лежат в одной орбите аффинной группы Вейля, что снова подразумевает формулу характера Вейля–Каца для аффинной алгебры Каца–Муди . ^[2]${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle H=T}$${\displaystyle G}$

• Алгебра Вирасоро
• Супер алгебра Вирасоро
• Строительство косетов
• Теория струн типа IIB

• Адемолло, М.; Бринк, Л.; Д'Адда, А.; Д'Аурия, Р.; Наполитано, Э.; Сьюто, С.; Джудиче, Э. Дель; Веккья, П. Ди; Феррара, С.; Глиоцци, Ф.; Мусто, Р.; Петторино, Р. (1976), «Суперсимметричные струны и ограничение цвета», Physics Letters B , 62 (1): 105–110 , Бибкод : 1976PhLB...62..105A, doi : 10.1016/0370-2693(76) 90061-7
• Буше, В.; Фридан, Д.; Кент, А. (1986), «Определяющие формулы и унитарность для N  = 2 суперконформных алгебр в двух измерениях или точные результаты по компактификации струн», Phys. Lett. B , 172 ( 3– 4): 316– 322, Bibcode : 1986PhLB..172..316B, doi : 10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P.; Petersen, JL; Yu, M.; Zheng, HB (1986), "Явное построение унитарных представлений суперконформной алгебры N  = 2", Phys. Lett. B , 174 (3): 280– 284, Bibcode : 1986PhLB..174..280D, doi : 10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Эгучи, Тору; Янг, Сунг-Кил (1990), " N  = 2 суперконформные модели как топологические теории поля", Mod. Phys. Lett. A , 5 (21): 1693– 1701, Bibcode : 1990MPLA....5.1693E, doi : 10.1142/S0217732390001943
• Годдард, П.; Кент, А.; Олив, Д. (1986), "Унитарные представления алгебр Вирасоро и супералгебр Вирасоро", Comm. Math. Phys. , 103 (1): 105– 119, Bibcode : 1986CMaPh.103..105G, doi : 10.1007/bf01464283, S2CID  91181508
• Грин, Майкл Б .; Шварц, Джон Х.; Виттен , Эдвард (1988a), Теория суперструн, Том 1: Введение , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
• Грин, Майкл Б .; Шварц, Джон Х.; Виттен , Эдвард (1988b), Теория суперструн, Том 2: Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология , Cambridge University Press, Bibcode : 1987cup..bookR....G, ISBN 0-521-35753-5
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Новые N  = 2 суперконформные теории поля и компактификация суперструн", Nuclear Physics B , 321 (1): 232– 268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K, doi : 10.1016/0550-3213(89)90250-2
• Швиммер, А.; Зайберг, Н. (1987), "Комментарии к суперконформным алгебрам N  = 2, 3, 4 в двух измерениях", Phys. Lett. B , 184 ( 2– 3): 191– 196, Bibcode : 1987PhLB..184..191S, doi : 10.1016/0370-2693(87)90566-1
• Voisin, Claire (1999), Зеркальная симметрия , тексты и монографии SMF/AMS, т. 1, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1947-X
• Вассерман, А. Дж. (2010) [1998]. «Конспект лекций по алгебрам Каца-Муди и Вирасоро». arXiv : 1004.1287 .
• Уэст, Питер С. (1990), Введение в суперсимметрию и супергравитацию (2-е изд.), World Scientific, стр.  337–8 , ISBN 981-02-0099-4