Поле Рамонда–Рамонда

В теоретической физике поля Рамона–Рамонда являются полями дифференциальной формы в 10-мерном пространстве-времени теорий супергравитации типа II , которые являются классическими пределами теории струн типа II . Ранги полей зависят от того, какая теория типа II рассматривается. Как утверждал Джозеф Полчински в 1995 году, D-браны являются заряженными объектами, которые действуют как источники для этих полей, согласно правилам электродинамики p-форм . Было высказано предположение, что квантовые поля RR не являются дифференциальными формами, а вместо этого классифицируются скрученной K-теорией .

Прилагательное «Рамон–Рамон» отражает тот факт, что в формализме RNS эти поля появляются в секторе Рамона–Рамона , в котором все векторные фермионы являются периодическими. Оба использования слова «Рамон» отсылают к Пьеру Рамону , который изучал такие граничные условия (так называемые граничные условия Рамона ) и поля, которые им удовлетворяют в 1971 году. ^[1]

Как и в теории электромагнетизма Максвелла и ее обобщении, электродинамике p-формы , поля Рамона–Рамонда (RR) поступают парами, состоящими из потенциала p-формы C _p и напряженности поля ( p  + 1)-формы G _{p +1} . Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала G _{p +1}  =  dC _p .

Как обычно в таких теориях, если допустить топологически нетривиальные конфигурации или заряженную материю ( D-браны ), то связи определяются только на каждом координатном участке пространства-времени, а значения на различных участках склеиваются с использованием функций перехода. В отличие от случая электромагнетизма, в присутствии нетривиальной 3-формы напряженности поля Невё–Шварца напряженность поля, определенная выше, больше не является калибровочно-инвариантной и поэтому также должна определяться по участкам со струной Дирака вне данного участка, интерпретируемого как D-брана. Это дополнительное усложнение отвечает за некоторые из наиболее интересных явлений в теории струн, таких как переход Ханани–Виттена .

Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA поля существуют для p  = 1 и p  = 3. С другой стороны, в супергравитации типа IIB существуют поля для p  = 0, p  = 2 и p  = 4, хотя поле p  = 4 ограничено, чтобы удовлетворять условию самодуальности G ₅  = * G ₅ , где * — звезда Ходжа . Условие самодуальности не может быть наложено лагранжианом без введения дополнительных полей или разрушения явной супер-Пуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной или римской супергравитацией IIA, включает в себя напряженность поля G ₀ , называемую римской массой. Будучи нулевой формой, она не имеет соответствующей связи. Более того, уравнения движения предполагают, что римская масса постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что _G0 — это целое число, которое увеличивается на единицу при пересечении D8-браны .

Часто бывает удобно использовать демократическую формулировку теорий струн типа II, которая была введена Полом Таунсендом в p-Brane Democracy. В D-brane Wess-Zumino Actions, T-duality and the Cosmological Constant Майкл Грин , Крис Халл и Пол Таунсенд построили напряженности полей и нашли калибровочные преобразования, которые оставляют их инвариантными. Наконец, в New Formulations of D=10 Supersymmetry and D8-O8 Domain Walls авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В этой формулировке включены все четные напряженности полей в IIA и все нечетные напряженности полей в IIB. Дополнительные напряженности полей определяются звездным условием G _p =*G _10−p . В качестве проверки согласованности обратите внимание, что звездное условие совместимо с самодуальностью G ₅ , поэтому демократическая формулировка содержит то же число степеней свободы, что и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременно включить в электромагнетизм как электрические, так и магнитные потенциалы, двойные калибровочные потенциалы не могут быть добавлены к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить явную локальность теории. Это происходит потому, что двойные потенциалы получаются из исходных потенциалов путем интегрирования звездного условия.

Супергравитационные ланграгианы типа II инвариантны относительно ряда локальных симметрий , таких как диффеоморфизмы и локальные преобразования суперсимметрии . Кроме того, различные поля формы преобразуются под калибровочными преобразованиями Невё–Шварца и Рамона–Рамона.

В демократической формулировке калибровочные преобразования Рамона–Рамона калибровочных потенциалов, которые оставляют действие инвариантным, имеют вид

${\displaystyle C_{p}\rightarrow C_{p}+d\Lambda _{p-1}+H\wedge \Lambda _{p-3}}$

где H — напряженность поля 3-формы Невё-Шварца, а калибровочные параметры — q-формы. Поскольку калибровочные преобразования смешивают различные ', необходимо, чтобы каждая форма RR преобразовывалась одновременно, используя один и тот же набор калибровочных параметров. Зависящие от H члены, не имеющие аналога в электромагнетизме, требуются для сохранения вклада в действие членов Черна–Саймонса , которые присутствуют в теориях супергравитации типа II.${\displaystyle \Лямбда _{q}}$${\displaystyle \Лямбда _{q}}$

Обратите внимание, что существует несколько калибровочных параметров, соответствующих одному и тому же калибровочному преобразованию, в частности, мы можем добавить любую ( d  +  H )-замкнутую форму к Lambda. Таким образом, в квантовой теории мы также должны калибровать калибровочные преобразования, а затем калибровать их и так далее, пока размерности не станут достаточно низкими. В квантовании Фадеева–Попова это соответствует добавлению башни призраков. Математически в случае, когда H обращается в нуль, результирующая структура представляет собой когомологии Делиня пространства-времени. Для нетривиального H, после включения условия квантования Дирака , было высказано предположение, что вместо этого она соответствует дифференциальной K-теории.

Обратите внимание, что благодаря членам H в калибровочных преобразованиях напряженности поля также преобразуются нетривиальным образом

${\displaystyle G_{p+1}\rightarrow G_{p+1}+H\клин d\Лямбда _{p-3}.}$

Часто вводят улучшенные поля напряженности

${\displaystyle F_{p+1}=G_{p+1}+H\клин C_{p-2}}$

которые являются калибровочно-инвариантными.

Хотя они калибровочно-инвариантны, улучшенные напряженности поля не являются ни замкнутыми, ни квантованными, вместо этого они только скрученно-замкнутыми. Это означает, что они удовлетворяют уравнению движения , которое является просто тождеством Бьянки . Они также «скрученно-квантованы» в том смысле, что можно преобразовать обратно в исходную напряженность поля, интегралы которой по компактным циклам квантуются. Именно исходные напряженности поля являются источниками заряда D-браны, в том смысле, что интеграл исходной напряженности поля p-формы G _p по любому сжимаемому p-циклу равен заряду D(8-p)-браны, связанному этим циклом. Поскольку заряд D-браны квантуется, квантуется G _p , а не улучшенная напряженность поля.${\displaystyle dF_{p+1}=H\клин F_{p-1}}$ ${\displaystyle 0=d^{2}C_{p}}$

Как обычно в калибровочных теориях p-формы , поля формы должны подчиняться классическим уравнениям поля и тождествам Бианки . Первые выражают условие, что вариации действия относительно различных полей должны быть тривиальными. Теперь мы ограничим наше внимание теми уравнениями поля, которые возникают из вариаций полей Рамона–Рамона (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций B-поля Невё–Шварца , гравитона, дилатона и их суперпартнеров гравитино и дилатино.

В демократической формулировке тождество Бьянки для напряженности поля G _p+1 является классическим уравнением поля для его дуального по Ходжу G _9−p , и поэтому достаточно будет наложить тождества Бьянки для каждого поля RR. Это как раз те условия, что потенциалы RR C _p локально определены, и что, следовательно, внешняя производная, действующая на них, нильпотентна

${\displaystyle 0=d^{2}C_{p}=dG_{p+1}=dF_{p+1}+H\wedge G_{p-1}.}$

Во многих приложениях требуется добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-бранами . Как и в классическом электромагнетизме, можно добавить источники, включив связь C _p потенциала p-формы с током (10-p)-формы в плотность лагранжиана . Обычное соглашение в литературе по теории струн, по-видимому, заключается в том, чтобы не писать этот термин явно в действии.${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$

Ток изменяет уравнение движения, которое возникает из-за изменения C _p . Как и в случае с магнитными монополями в электромагнетизме, этот источник также делает недействительным дуальное тождество Бианки, поскольку это точка, в которой дуальное поле не определено. В модифицированном уравнении движения появляется в левой части уравнения движения вместо нуля. Для простоты в будущем мы также поменяем местами p и 7 −  p , тогда уравнение движения при наличии источника будет${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{p+2}}$

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{9-p}=d^{2}C_{7-p}=dG_{8-p}=dF_{8-p}+H\wedge G_{6-p}.}$

(9-p)-форма — это ток Dp-браны, что означает, что она является дуальной по Пуанкаре к мировому объему ( p  + 1)-мерного протяженного объекта, называемого Dp-браной. Расхождение в единицу в схеме наименования является историческим и происходит из того факта, что одно из p  + 1 направлений, охватываемых Dp-браной, часто является времениподобным, оставляя p пространственных направлений.${\displaystyle {\mathcal {J}}_{9-p}}$

Вышеуказанное тождество Бианки интерпретируется как то, что Dp-брана, по аналогии с магнитными монополями в электромагнетизме, магнитно заряжена в RR p -форме C _{7− p} . Если вместо этого рассматривать это тождество Бианки как уравнение поля для C _{p +1} , то можно сказать, что Dp-брана электрически заряжена в ( p  + 1)-форме C _p+1 .

Вышеприведенное уравнение движения подразумевает, что существует два способа вывести заряд Dp-браны из окружающих потоков. Во-первых, можно проинтегрировать dG _8−p по поверхности, что даст заряд Dp-браны, пересекаемый этой поверхностью. Второй способ связан с первым теоремой Стокса . Можно проинтегрировать G _8−p по циклу, это даст заряд Dp-браны, связанный этим циклом. Квантование заряда Dp-браны в квантовой теории тогда подразумевает квантование напряженностей поля G, но не улучшенных напряженностей поля F.

Было высказано предположение, что RR-поля, а также D-браны, классифицируются скрученной K-теорией . В этой структуре приведенные выше уравнения движения имеют естественные интерпретации. Уравнения движения без источника для улучшенных напряженностей поля F подразумевают, что формальная сумма всех F _p является элементом H-скрученных когомологий де Рама . Это версия когомологий де Рама, в которой дифференциал не является внешней производной d, а вместо этого (d+H), где H является 3-формой Невё-Шварца. Обратите внимание, что (d+H), как необходимо для того, чтобы когомологии были хорошо определены, квадратично равен нулю.

Улучшенные напряженности поля F живут в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется как тензорирование рациональными числами. Поэтому F должны быть некоторой рациональной версией скрученной K-теории. Такая рациональная версия, фактически характерный класс скрученной K-теории, уже известна. Это скрученный класс Черна, определенный в скрученной K-теории и K-теории Bundle Gerbes Питером Боукнегтом , Аланом Л. Кэри, Варгезе Матаи , Майклом К. Мюрреем и Дэнни Стивенсоном и расширенный в Характер Черна в скрученной K-теории: эквивариантные и голоморфные случаи. Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами H-скрученных когомологий де Рама.

В отличие от улучшенных напряженностей поля, исходные напряженности поля G являются не скрученными, целыми когомологическими классами. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а вместо этого могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют когомологическим классам в конструкции спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха скрученной K-теории, которые определены только с точностью до членов, замкнутых относительно любого из ряда дифференциальных операторов .

Исходные члены, по-видимому, являются препятствиями для существования класса K-теории. Другие уравнения движения, такие как полученные путем изменения NS B-поля, не имеют интерпретаций K-теории. Включение этих поправок в структуру K-теории является открытой проблемой. Для получения дополнительной информации по этой проблеме нажмите здесь .

• Месторождение Кальба-Рамонда

• Хорошим введением в различные напряженности поля в теориях с терминами Черна-Саймонса является работа «Термины Черна-Саймонса и три понятия заряда» Дональда Марольфа .
• Демократическую формулировку 10-мерных супергравитаций можно найти в New Formulations of D=10 Supersymmetry and D8-O8 Domain Walls Эрика Бергшоффа, Ренаты Каллош , Томаса Ортина, Дидерика Руста и Антуана Ван Пройена. Она включает в себя множество деталей, отсутствующих в оригинальной статье Таунсенда, но ограничивает внимание топологически тривиальной 3-формой Невё-Шварца.