Функция треугольника Шварца

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Комплексные числа
Реальное число Мнимое число Комплексная плоскость Комплексно сопряженный Единичное комплексное число
Комплексные функции
Комплекснозначная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши–Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюса Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Лорана Изолированная сингулярность Теорема о вычетах Принцип аргументации Конформная карта лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа Теорема Лиувилля теорема Пикара
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риман Карл Вейерштрасс
Математический портал
в т е

В комплексном анализе функция треугольника Шварца или s-функция Шварца — это функция, которая конформно отображает верхнюю полуплоскость в треугольник в верхней полуплоскости, имеющий линии или дуги окружностей для ребер. Целевой треугольник не обязательно является треугольником Шварца , хотя это наиболее математически интересный случай. Когда этот треугольник является неперекрывающимся треугольником Шварца, т. е. треугольником Мёбиуса , обратная функция треугольника Шварца является однозначной автоморфной функцией для группы треугольников этого треугольника . Более конкретно, это модульная функция .

Пусть πα , πβ , и πγ будут внутренними углами в вершинах треугольника в радианах . Каждый из α , β , и γ может принимать значения от 0 до 1 включительно. Следуя Нехари, ^[1] эти углы идут по часовой стрелке, причем вершина имеет угол πα в начале координат, а вершина имеет угол πγ, лежащий на действительной прямой. Функция треугольника Шварца может быть задана в терминах гипергеометрических функций как:

${\displaystyle s(\альфа,\бета,\гамма;z)=z^{\альфа}{\frac {_{2}F_{1}\left(a',b';c';z\right)}{_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)}}}$

где

а = (1−α−β−γ)/2,

б = (1−α+β−γ)/2,

с = 1−α,

а ′ = а − с + 1 = (1+α−β−γ)/2,

b ′ = b − c + 1 = (1+α+β−γ)/2, и

с ′ = 2 − с = 1 + α.

Эта функция отображает верхнюю полуплоскость в сферический треугольник , если α + β + γ > 1, или в гиперболический треугольник , если α + β + γ < 1. Если α + β + γ = 1, то треугольник является евклидовым треугольником с прямыми ребрами: a  = 0, , и формула сводится к формуле, задаваемой преобразованием Шварца–Кристоффеля . ${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=1}$

С помощью теории сложных обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками и производной Шварца треугольная функция может быть выражена как частное двух решений гипергеометрического дифференциального уравнения с действительными коэффициентами и особыми точками в 0, 1 и ∞. По принципу отражения Шварца группа отражения индуцирует действие на двумерном пространстве решений. На сохраняющей ориентацию нормальной подгруппе это двумерное представление соответствует монодромии обыкновенного дифференциального уравнения и индуцирует группу преобразований Мёбиуса на частных гипергеометрических функций . ^[2]

Это отображение имеет регулярные особые точки при z = 0, 1 и ∞, соответствующие вершинам треугольника с углами πα, πγ и πβ соответственно. В этих особых точках ^[3]

${\displaystyle {\begin{align}s(0)&=0,\\[4mu]s(1)&={\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (1-b')\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c)}},\\[8mu]s(\infty )&=\exp \left(i\pi \alpha \right){\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (b)\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (b')\Gamma (c)}},\end{align}}}$

где - гамма-функция .${\textstyle \Гамма (x)}$

Вблизи каждой особой точки функция может быть аппроксимирована как

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\alpha }(1+O(z)),\\[6mu]s_{1}(z)&=(1- z)^{\gamma }(1+O(1-z)),\\[6mu]s_{\infty }(z)&=z^{\beta }(1+O(1/z)),\end{aligned}}}$

где обозначение O большое .${\displaystyle O(x)}$

Когда α, β и γ рациональны, треугольник является треугольником Шварца. Когда каждый из α, β и γ является либо обратным целому числу, либо нулю, треугольник является треугольником Мёбиуса , т. е. неперекрывающимся треугольником Шварца. Для треугольника Мёбиуса обратная функция является модульной функцией .

В сферическом случае эта модульная функция является рациональной функцией . Для евклидовых треугольников обратная функция может быть выражена с использованием эллиптических функций . ^[4]

При α = 0 треугольник вырожден, полностью лежащий на действительной прямой. Если β или γ не равны нулю, углы можно переставить так, чтобы положительное значение было равно α , но это не вариант для идеального треугольника, все углы которого равны нулю.

Вместо этого отображение в идеальный треугольник с вершинами в точках 0, 1 и ∞ задается в терминах полного эллиптического интеграла первого рода :

${\displaystyle я{\frac {K(1-z)}{K(z)}}}$.

Это выражение является обратным по отношению к модульной лямбда-функции . ^[5]

Преобразование Шварца –Кристоффеля дает отображение верхней полуплоскости на любой евклидов многоугольник.

Методология, использованная ранее для вывода функции треугольника Шварца, может быть применена в более общем случае к многоугольникам с дуговыми ребрами. Однако для многоугольника с n сторонами решение имеет n-3 дополнительных параметра, которые трудно определить на практике. ^[6] Подробнее см . в производной Шварца § Конформное отображение многоугольников с дугами окружности .

Л. П. Ли использовал треугольные функции Шварца для получения проекций конформных карт на многогранные поверхности. ^[4]