Треугольник Шварца

В геометрии треугольник Шварца , названный в честь Германа Шварца , — это сферический треугольник , который можно использовать для замощения сферы ( сферическая мозаика ), возможно, с перекрытием, посредством отражений в ее ребрах. Они были классифицированы Шварцем (1873) .

Их можно определить более обобщенно как мозаики сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости . Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу , тогда как на евклидовой или гиперболической плоскости они определяют бесконечную группу.

Треугольник Шварца представлен тремя рациональными числами ( p q r ) , каждое из которых представляет угол при вершине. Значение n ⁄ d означает, что угол при вершине равен d ⁄ n полуокружности. «2» означает прямоугольный треугольник . Когда это целые числа, треугольник называется треугольником Мёбиуса и соответствует неперекрывающейся мозаике, а группа симметрии называется группой треугольников . На сфере есть три треугольника Мёбиуса плюс одно однопараметрическое семейство; на плоскости есть три треугольника Мёбиуса, в то время как в гиперболическом пространстве есть трехпараметрическое семейство треугольников Мёбиуса и нет исключительных объектов .

Треугольник фундаментальной области ( pqr ) с углами при вершинах π ⁄ p , π ⁄ q и π ⁄ r может существовать в различных пространствах в зависимости от значения суммы обратных величин этих целых чисел:

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{cases}>1&\implies {\text{Sphere}}\\[2pt]=1&\implies {\text{Euclidean plane}}\\[2pt]<1&\implies {\text{Hyperbolic plane}}\end{cases}}}$$

Это просто способ сказать, что в евклидовом пространстве сумма внутренних углов треугольника равна π , тогда как на сфере сумма этих углов больше π , а в гиперболическом пространстве сумма этих углов меньше.

Треугольник Шварца графически представлен треугольным графом . Каждый узел представляет собой ребро (зеркало) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, равным π/ угол вершины .

Треугольник Шварца ( p q r ) на сфере

Треугольный граф Шварца

Ребра порядка 2 представляют собой перпендикулярные зеркала, которые можно игнорировать в этой диаграмме. Диаграмма Коксетера-Дынкина представляет этот треугольный граф со скрытыми ребрами порядка 2.

Группу Коксетера можно использовать для более простой записи, например ( p q r ) для циклических графов, и ( p q 2) = [ p , q ] для (прямоугольных треугольников), и ( p 2 2) = [ p ]×[].

(2 2 2) или [2,2]	(3 2 2) или [3,2]	...
(3 3 2) или [3,3]	(4 3 2) или [4,3]	(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса , включают одно однопараметрическое семейство и три исключительных случая:

1. [ p ,2] или ( p 2 2) – Диэдральная симметрия ,
2. [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдрическая симметрия ,
3. [4,3] или (4 3 2) – Октаэдрическая симметрия ,
4. [5,3] или (5 3 2) – икосаэдрическая симметрия ,

Треугольники Шварца ( p q r ), сгруппированные по плотности :

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Плотность 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 ( равносторонний ),
2. (4 4 2) – 45-45-90 (равнобедренный правый),
3. (6 3 2) – 30-60-90 ,

Плотность 2:

1. (6 6 3/2) - треугольник 120-30-30

Плотность ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области треугольников ( p q r )

Плотность 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

Плотность 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11)...

Плотность 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11)...

Плотность 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11)...
• (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Плотность 10:

• (3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и как таковой представляет особый интерес. Его группа треугольников (или, точнее, группа фон Дика индекса 2 изометрий, сохраняющих ориентацию) является группой треугольников (2,3,7) , которая является универсальной группой для всех групп Гурвица – максимальных групп изометрий римановых поверхностей . Все группы Гурвица являются факторами группы треугольников (2,3,7), и все поверхности Гурвица замощены треугольником Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица является простой группой порядка 168, второй наименьшей неабелевой простой группой , которая изоморфна PSL(2,7) , а связанная поверхность Гурвица (рода 3) является квартикой Клейна .

Треугольник (2 3 8) покрывает поверхность Больца , высокосимметричную (но не Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, были впервые классифицированы Энтони У. Кнаппом в ^[1]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами приведен в ^{[2] .}

В этом разделе будут обсуждаться мозаики верхней гиперболической полуплоскости треугольниками Шварца с использованием элементарных методов. Для треугольников без «каспов» — углов, равных нулю или, что эквивалентно, вершин на действительной оси — будет использоваться элементарный подход Каратеодори (1954). Для треугольников с одним или двумя каспами будут использоваться элементарные аргументы Эванса (1973), упрощающие подход Гекке (1935): в случае треугольника Шварца с одним нулевым углом и другим прямым углом сохраняющая ориентацию подгруппа группы отражений треугольника является группой Гекке . Для идеального треугольника, в котором все углы равны нулю, так что все вершины лежат на действительной оси, существование мозаики будет установлено путем связывания ее с рядом Фарея, описанным в Hardy & Wright (2008) и Series (2015). В этом случае замощение можно рассматривать как замощение, связанное с тремя касающимися окружностями на сфере Римана , предельный случай конфигураций, связанных с тремя непересекающимися невложенными окружностями и их группами отражений, так называемыми « группами Шоттки », подробно описанными в Mumford, Series & Wright (2015). Альтернативно — разделив идеальный треугольник на шесть треугольников с углами 0, π /2 и π /3 — замощение идеальными треугольниками можно понимать в терминах замощений треугольниками с одним или двумя остриями.

Предположим, что гиперболический треугольник Δ имеет углы π / a , π / b и π / c , причем a , b , c — целые числа, большие 1. Гиперболическая площадь Δ равна π – π / a – π / b – π / c , так что

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1.}$

Построение мозаики сначала будет выполнено для случая, когда a , b и c больше 2. ^[3]

Исходный треугольник Δ дает выпуклый многоугольник P ₁ с 3 вершинами. В каждой из трех вершин треугольник можно последовательно отразить относительно ребер, исходящих из вершин, чтобы получить 2 m копий треугольника, где угол при вершине равен π / m . Треугольники не перекрываются, за исключением ребер, половина из них имеет обратную ориентацию, и они подходят друг другу, чтобы замостить окрестность точки. Объединение этих новых треугольников вместе с исходным треугольником образует связанную форму P ₂ . Она состоит из треугольников, которые пересекаются только по ребрам или вершинам, образует выпуклый многоугольник со всеми углами, меньшими или равными π, и каждая сторона является ребром отраженного треугольника. В случае, когда угол Δ равен π /3, вершина P ₂ будет иметь внутренний угол π , но это не влияет на выпуклость P ₂ . Даже в этом вырожденном случае, когда возникает угол π , два коллинеарных края все равно считаются различными для целей построения.

Построение P ₂ можно понять более ясно, заметив, что некоторые треугольники или плитки добавляются дважды, три из которых имеют общую сторону с исходным треугольником. Остальные имеют только общую вершину. Более систематический способ выполнения мозаики заключается в том, чтобы сначала добавить плитку к каждой стороне (отражение треугольника относительно этого ребра), а затем заполнить пробелы в каждой вершине. Это дает в общей сложности 3 + (2 a – 3) + (2 b - 3) + (2 c - 3) = 2( a + b + c ) - 6 новых треугольников. Новые вершины бывают двух типов. Те, которые являются вершинами треугольников, прикрепленных к сторонам исходного треугольника, которые соединены с 2 вершинами Δ. Каждая из них лежит в трех новых треугольниках, которые пересекаются в этой вершине. Остальные соединены с уникальной вершиной Δ и принадлежат двум новым треугольникам, которые имеют общее ребро. Таким образом, имеется 3 + (2 a – 4) + (2 b - 4) + (2 c - 4) = 2( a + b + c ) - 9 новых вершин. По построению нет перекрытия. Чтобы увидеть, что P ₂ является выпуклым, достаточно увидеть, что угол между сторонами, встречающимися в новой вершине, составляет угол, меньший или равный π . Но новые вершины лежат в двух или трех новых треугольниках, которые встречаются в этой вершине, поэтому угол в этой вершине не больше 2 π /3 или π , как и требуется.

Этот процесс можно повторить для P _{2 ,} чтобы получить P ₃ , сначала добавив плитки к каждому краю P ₂ , а затем заполнив плитками каждую вершину P ₂ . Затем процесс можно повторить с P ₃ , чтобы получить P ₄ и так далее, последовательно производя P _n из P _{n – 1} . Можно проверить индуктивно, что все это выпуклые многоугольники с неперекрывающимися плитками. Действительно, как и на первом этапе процесса, есть два типа плиток при построении P _n из P _{n – 1} , те, которые прикреплены к краю P _{n – 1} , и те, которые прикреплены к одной вершине. Аналогично есть два типа вершин, одни, в которых встречаются две новые плитки, и те, в которых встречаются три плитки. Таким образом, при условии, что никакие плитки не перекрываются, предыдущий аргумент показывает, что углы в вершинах не больше π и, следовательно, P _n является выпуклым многоугольником. ^[a]

Поэтому необходимо проверить, что при построении P _n из P _{n − 1} : ^[4]

Чтобы доказать (a), обратите внимание, что по выпуклости многоугольник P _{n − 1} является пересечением выпуклых полупространств, определяемых полными дугами окружности, определяющими его границу. Таким образом, в данной вершине P _{n − 1} есть две такие дуги окружности, определяющие два сектора: один сектор содержит внутренность P _{n − 1} , другой содержит внутренности новых треугольников, добавленных вокруг данной вершины. Это можно визуализировать, используя преобразование Мёбиуса для отображения верхней полуплоскости в единичный круг, а вершины в начало координат; внутренность многоугольника и каждый из новых треугольников лежат в разных секторах единичного круга. Таким образом, (a) доказано.

Прежде чем доказывать (c) и (b), можно применить преобразование Мёбиуса, чтобы сопоставить верхнюю полуплоскость с единичным кругом, а фиксированную точку внутри Δ — с началом координат.

Доказательство (c) проводится по индукции. Обратите внимание, что радиус, соединяющий начало координат с вершиной многоугольника P _{n − 1,} образует угол, меньший 2 π /3 с каждым из ребер многоугольника в этой вершине, если ровно два треугольника P _{n − 1} встречаются в вершине, так как каждый имеет угол, меньший или равный π /3 в этой вершине. Чтобы проверить это, когда три треугольника P _{n − 1} встречаются в вершине, скажем, C , предположим, что средний треугольник имеет основание на стороне AB многоугольника P _{n − 2} . По индукции радиусы OA и OB образуют углы, меньшие или равные 2 π /3 с ребром AB . В этом случае область в секторе между радиусами OA и OB вне ребра AB является выпуклой как пересечение трех выпуклых областей. По индукции углы при A и B больше или равны π /3. Таким образом, геодезические к C из A и B начинаются в этой области; по выпуклости треугольник ABC полностью лежит внутри этой области. Четырехугольник OACB имеет все свои углы меньше π (так как OAB является геодезическим треугольником), поэтому он выпуклый. Следовательно, радиус OC лежит внутри угла треугольника ABC около C. Таким образом, углы между OC и двумя ребрами P _{n – 1} , пересекающимися в C, меньше или равны π /3 + π /3 = 2 π /3, как и утверждается.

Чтобы доказать (б), нужно проверить, как пересекаются новые треугольники в P _n .

Сначала рассмотрим плитки, добавленные к ребрам P _{n – 1} . Приняв обозначения, аналогичные (c), пусть AB будет основанием плитки, а C – третьей вершиной. Тогда радиусы OA и OB образуют углы, меньшие или равные 2 π /3 с ребром AB , и рассуждения в доказательстве (c) применяются для доказательства того, что треугольник ABC лежит в секторе, определенном радиусами OA и OB . Это верно для каждого ребра P _{n – 1} . Поскольку внутренности секторов, определенных различными ребрами, не пересекаются, новые треугольники этого типа пересекаются только так, как заявлено.

Далее рассмотрим дополнительные плитки, добавленные для каждой вершины P _{n – 1} . Принимая вершину за A , три из них являются двумя ребрами AB ₁ и AB ₂ P _{n – 1} , которые встречаются в A . Пусть C ₁ и C ₂ будут дополнительными вершинами плиток, добавленных к этим ребрам. Теперь дополнительные плитки, добавленные в A , лежат в секторе, определенном радиусами OB ₁ и OB ₂ . Многоугольник с вершинами C ₂ O , C ₁ , а затем вершинами дополнительных плиток имеет все свои внутренние углы меньше π и, следовательно, является выпуклым. Поэтому он полностью содержится в секторе, определенном радиусами OC ₁ и OC ₂ . Поскольку все внутренности этих секторов не пересекаются, это подразумевает все утверждения о том, как пересекаются добавленные плитки.

Наконец, остается доказать, что мозаика, образованная объединением треугольников, покрывает всю верхнюю полуплоскость. Любая точка z, покрытая мозаикой, лежит в многоугольнике P _n и, следовательно, в многоугольнике P _{n +1} . Следовательно, она лежит в копии исходного треугольника Δ, а также в копии P _{2 ,} полностью содержащейся в P _{n +1} . Гиперболическое расстояние между Δ и внешней стороной P ₂ равно r > 0. Таким образом, гиперболическое расстояние между z и точками, не покрытыми мозаикой, составляет по крайней мере r . Поскольку это применимо ко всем точкам в мозаике, множество, покрытое мозаикой, замкнуто. С другой стороны, мозаика открыта, поскольку совпадает с объединением внутренностей многоугольников P _n . По связности мозаика должна покрывать всю верхнюю полуплоскость.

Чтобы увидеть, как обращаться со случаем, когда угол Δ является прямым, обратите внимание на неравенство

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1}$.

подразумевает, что если один из углов прямой, скажем, a = 2, то оба угла b и c больше 2, и один из них, скажем, b , должен быть больше 3. В этом случае отражение треугольника относительно стороны AB дает равнобедренный гиперболический треугольник с углами π / c , π / c и 2 π / b . Если 2 π / b ≤ π /3, т. е. b больше 5, то все углы удвоенного треугольника меньше или равны π /3. В этом случае построение мозаики выше посредством увеличивающихся выпуклых многоугольников адаптируется слово в слово к этому случаю, за исключением того, что вокруг вершины с углом 2 π / b для замощения окрестности вершины требуются только b — а не 2 b — копии треугольника. Это возможно, поскольку удвоенный треугольник равнобедренный. Тесселяция для удвоенного треугольника дает тесселяцию для исходного треугольника при разрезании всех больших треугольников пополам. ^[5]

Остается рассмотреть случай, когда b равно 4 или 5. Если b = 4, то c ≥ 5: в этом случае, если c ≥ 6, то b и c можно поменять местами, и приведенный выше аргумент применим, оставляя случай b = 4 и c = 5. Если b = 5, то c ≥ 4. Случай c ≥ 6 можно обработать, поменяв местами b и c , так что единственным дополнительным случаем будет b = 5 и c = 5. Этот последний равнобедренный треугольник является удвоенной версией первого исключительного треугольника, поэтому нужно рассмотреть только треугольник Δ ₁ —с углами π /2, π /4 и π /5 и гиперболической площадью π /20 (см. ниже). Каратеодори (1954) рассматривает этот случай общим методом, который работает для всех прямоугольных треугольников, для которых два других угла меньше или равны π /4. Предыдущий метод построения P ₂ , P ₃ , ... модифицируется добавлением дополнительного треугольника каждый раз, когда в вершине возникает угол 3 π /2. Те же рассуждения применяются для доказательства отсутствия перекрытия и того, что мозаика покрывает верхнюю гиперболическую полуплоскость. ^[5]

С другой стороны, данная конфигурация порождает арифметическую треугольную группу. Они были впервые изучены в работе Фрике и Клейна (1897) и породили обширную литературу. В 1977 году Такеучи получил полную классификацию арифметических треугольных групп (их существует лишь конечное число) и определил, когда две из них соизмеримы. Конкретный пример связан с кривой Бринга , а арифметическая теория подразумевает, что треугольная группа для Δ ₁ содержит треугольную группу для треугольника Δ ₂ с углами π /4, π /4 и π /5 как ненормальную подгруппу индекса 6. ^[6]

Удваивая треугольники Δ ₁ и Δ ₂ , это подразумевает, что должно быть соотношение между 6 треугольниками Δ ₃ с углами π /2, π /5 и π /5 и гиперболической площадью π /10 и треугольником Δ ₄ с углами π /5, π /5 и π /10 и гиперболической площадью 3 π /5. Трелфолл (1932) установил такое соотношение напрямую совершенно элементарными геометрическими средствами, без ссылки на арифметическую теорию: действительно, как показано на пятом рисунке ниже, четырехугольник, полученный путем отражения относительно стороны треугольника типа Δ _4, можно замостить 12 треугольниками типа Δ ₃ . Замощение треугольниками типа Δ ₄ можно выполнить основным методом в этом разделе; Таким образом, это доказывает существование мозаики треугольниками типа Δ ₃ и Δ ₁ . ^[7]

В случае треугольника Шварца с одним или двумя остриями процесс замощения упрощается; однако проще использовать другой метод, восходящий к Гекке, чтобы доказать, что они исчерпывают верхнюю гиперболическую полуплоскость.

В случае одного куспида и ненулевых углов π / a , π / b с целыми числами a , b больше единицы, мозаику можно представить в единичном круге с вершиной, имеющей угол π / a в начале координат. Мозаика начинается с добавления 2 a – 1 копий треугольника в начале координат путем последовательных отражений. Это приводит к многоугольнику P ₁ с 2 a куспидами и между каждыми двумя 2 a вершинами, каждая с углом π / b . Поэтому многоугольник является выпуклым. Для каждой неидеальной вершины P ₁ уникальный треугольник с этой вершиной может быть подобным образом отражен вокруг этой вершины, таким образом добавляя 2 b – 1 новых треугольников, 2 b – 1 новых идеальных точек и 2 b – 1 новых вершин с углом π / a . Полученный многоугольник P ₂ таким образом состоит из 2 a (2 b – 1) куспидов и того же числа вершин, каждая с углом π / a , поэтому он выпуклый. Процесс может быть продолжен таким образом, чтобы получить выпуклые многоугольники P ₃ , P ₄ и так далее. Многоугольник P _n будет иметь вершины с углами, чередующимися между 0 и π / a для четного n и между 0 и π / b для нечетного n . По построению треугольники перекрываются только по краям или вершинам, поэтому образуют мозаику. ^[8]

Случай, когда треугольник имеет два острия и один ненулевой угол π / a, можно свести к случаю одного острия, заметив, что тринал является удвоением треугольника с одним остриком и ненулевыми углами π / a и π / b, где b = 2. Затем мозаика продолжается, как и прежде. ^[9]

Чтобы доказать, что они дают мозаики, удобнее работать в верхней полуплоскости. Оба случая можно рассматривать одновременно, поскольку случай двух каспов получается путем удвоения треугольника с одним каспом и ненулевыми углами π / a и π /2. Поэтому рассмотрим геодезический треугольник в верхней полуплоскости с углами 0, π / a , π / b с целыми числами a , b больше единицы. Внутренность такого треугольника можно реализовать как область X в верхней полуплоскости, лежащую вне единичного круга | z | ≤ 1 и между двумя прямыми, параллельными мнимой оси, через точки u и v на единичной окружности. Пусть Γ — группа треугольников, порожденная тремя отражениями относительно сторон треугольника.

Чтобы доказать, что последовательные отражения треугольника покрывают верхнюю полуплоскость, достаточно показать, что для любого z в верхней полуплоскости существует g в Γ, такой что g ( z ) лежит в X . Это следует из аргумента Эванса (1973), упрощенного из теории групп Гекке . Пусть λ = Re a и μ = Re b , так что, без потери общности, λ < 0 ≤ μ. Три отражения относительно сторон задаются формулой

${\displaystyle R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .}$

Таким образом, T = R ₃ ∘ R ₂ является переносом на μ − λ. Отсюда следует, что для любого z ₁ в верхней полуплоскости существует элемент g ₁ в подгруппе Γ ₁ группы Γ, порожденной T , такой, что w ₁ = g ₁ ( z ₁ ) удовлетворяет λ ≤ Re w ₁ ≤ μ, т. е. эта полоса является фундаментальной областью для группы переносов Γ ₁ . Если | w ₁ | ≥ 1, то w ₁ лежит в X , и результат доказан. В противном случае пусть z ₂ = R ₁ ( w ₁ ) и найдем g ₂ Γ ₁ такой, что w ₂ = g ₂ ( z ₂ ) удовлетворяет λ ≤ Re w ₂ ≤ μ. Если | w ₂ | ≥ 1, то результат доказан. Продолжая таким образом, либо некоторое w _n удовлетворяет | w _n | ≥ 1, в этом случае результат доказан; либо | w _n | < 1 для всех n . Теперь, поскольку g _{n + 1} лежит в Γ ₁ и | w _n | < 1,

${\displaystyle \operatorname {Im} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Im} z_{n+1}=\operatorname {Im} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Im} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}.}$

В частности

${\displaystyle \operatorname {Im} w_{n+1}\geq \operatorname {Im} w_{n}}$

и

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.}$

Таким образом, из неравенства выше, точки ( w _n ) лежат в компактном множестве | z | ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ и Im z ≥ Im w ₁ . Отсюда следует, что | w _n | стремится к 1; иначе было бы r < 1 такое, что | w _m | ≤ r для бесконечного числа m , и тогда последнее уравнение выше означало бы, что Im w _n стремится к бесконечности, противоречие.

Пусть w будет предельной точкой w n _, так что | w | = 1. Таким образом, w лежит на дуге единичной окружности между u и v . Если w ≠ u , v , то R ₁ w _n будет лежать в X для достаточно большого n , вопреки предположению. Следовательно, w = u или v . Следовательно, для достаточно большого n w _n лежит близко к u или v и, следовательно, должен лежать в одном из отражений треугольника относительно вершины u или v , поскольку они заполняют окрестности u и v . Таким образом, существует элемент g в Γ такой, что g ( w _n ) лежит в X . Поскольку по построению w _n находится в Γ-орбите z ₁ , следует, что в этой орбите есть точка, лежащая в X , как и требуется. ^[10]

Тесселяцию для идеального треугольника со всеми вершинами на единичной окружности и всеми углами 0 можно рассматривать как частный случай тесселяции для треугольника с одним острием и двумя теперь нулевыми углами π /3 и π /2. Действительно, идеальный треугольник состоит из шести копий треугольника с одним острием, полученных путем отражения меньшего треугольника относительно вершины с углом π /3.

Однако каждый шаг мозаики однозначно определяется положениями новых каспов на окружности или, что эквивалентно, действительной оси; и эти точки можно понять непосредственно в терминах рядов Фарея, следуя Series (2015), Hatcher (2013, стр. 20–32) и Hardy & Wright (2008, стр. 23–31). Это начинается с базового шага, который генерирует мозаику, отражение идеального треугольника относительно одной из его сторон. Отражение соответствует процессу инверсии в проективной геометрии и взятию проективного гармонического сопряжения , которое можно определить в терминах перекрестного отношения . Фактически, если p , q , r , s являются различными точками в сфере Римана, то существует уникальное комплексное преобразование Мёбиуса g, переводящее p , q и s в 0, ∞ и 1 соответственно. Двойное отношение ( p , q ; r , s ) определяется как g ( r ) и задается формулой

${\displaystyle (p,q;r,s)={\frac {(p-r)(q-s)}{(p-s)(q-r)}}.}$

По определению он инвариантен относительно преобразований Мёбиуса. Если a , b лежат на действительной оси, гармоническое сопряжение c относительно a и b определяется как уникальное действительное число d такое, что ( a , b ; c , d ) = −1. Так, например, если a = 1 и b = –1, сопряжение r равно 1/ r . В общем случае инвариантность Мёбиуса можно использовать для получения явной формулы для d в терминах a , b и c . Действительно, переводя центр t = ( a + b )/2 окружности с диаметром, имеющим конечные точки a и b , в 0, d – t является гармоническим сопряжением c – t относительно a - t и b – t . Радиус окружности равен ρ = ( b – a )/2, поэтому ( d - t )/ρ является гармонически сопряженным значением ( c – t )/ρ относительно 1 и -1. Таким образом

${\displaystyle {\frac {d-t}{\rho }}={\frac {\rho }{c-t}}}$

так что

${\displaystyle d={\frac {\rho ^{2}}{r-t}}+t={\frac {(c-a)b+(c-b)a}{(c-a)+(c-b)}}.}$

Теперь будет показано, что существует параметризация таких идеальных треугольников, заданная рациональными числами в приведенной форме.

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$

где a и c удовлетворяют «условию соседства» p ₂ q ₁ − q ₂ p ₁ = 1.

Средний член b называется суммой Фарея или медианой внешних членов и записывается

${\displaystyle b=a\oplus c.}$

Формула для отраженного треугольника дает

${\displaystyle d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.}$

Аналогично отраженный треугольник во втором полукруге дает новую вершину b ⊕ c . Непосредственно проверяется, что a и b удовлетворяют условию соседства, как и b и c .

Теперь эту процедуру можно использовать для отслеживания треугольников, полученных путем последовательного отражения базового треугольника Δ с вершинами 0, 1 и ∞. Достаточно рассмотреть полосу с 0 ≤ Re z ≤ 1, так как та же картина воспроизводится в параллельных полосах путем применения отражений относительно линий Re z = 0 и 1. Идеальный треугольник с вершинами 0, 1, ∞ отражается в полуокружности с основанием [0,1] в треугольник с вершинами a = 0, b = 1/2, c = 1. Таким образом, a = 0/1 и c = 1/1 являются соседями и b = a ⊕ c . Полуокружность делится на две меньшие полуокружности с основаниями [ a , b ] и [ b , c ]. Каждый из этих интервалов делится на два интервала тем же процессом, в результате чего получается 4 интервала. Продолжая таким образом, получаем подразделы на 8, 16, 32 интервала и т. д. На n -м этапе имеется 2 ⁿ смежных интервалов с 2 ⁿ + 1 конечными точками. Конструкция выше показывает, что последовательные конечные точки удовлетворяют условию соседства, так что новые конечные точки, полученные в результате отражения, задаются формулой суммы Фарея.

Чтобы доказать, что мозаика покрывает всю гиперболическую плоскость, достаточно показать, что каждое рациональное число в [0,1] в конечном итоге появляется как конечная точка. Есть несколько способов увидеть это. Один из самых элементарных методов описан в работе Грэма, Кнута и Паташника (1994) в их разработке — без использования непрерывных дробей — теории дерева Штерна-Броко , которая кодифицирует новые рациональные конечные точки, которые появляются на n -м этапе. Они дают прямое доказательство того, что появляется каждое рациональное число. Действительно, начиная с {0/1,1/1}, последовательные конечные точки вводятся на уровне n +1 путем добавления сумм Фарея или медиантов ( p + r )/( q + s ) между всеми последовательными членами p / q , r / s на n- м уровне (как описано выше). Пусть x = a / b — рациональное число, лежащее между 0 и 1, причем a и b взаимно просты. Предположим, что на некотором уровне x зажат между последовательными членами p / q < x < r / s . Эти неравенства вынуждают aq – bp ≥ 1 и br – as ≥ 1 и, следовательно, поскольку rp – qs = 1 ,

${\displaystyle a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.}$

Это устанавливает верхнюю границу суммы числителей и знаменателей. С другой стороны, медиана ( p + r )/( q + s ) может быть введена и либо равна x , в этом случае рациональное число x появляется на этом уровне; либо медиана предоставляет новый интервал, содержащий x со строго большей суммой числителя и знаменателя. Таким образом, процесс должен завершиться после максимум a + b шагов, тем самым доказывая, что x появляется. ^[11]

Второй подход основан на модулярной группе G = SL(2, Z ). ^[12] Евклидов алгоритм подразумевает, что эта группа генерируется матрицами

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

На самом деле пусть H — подгруппа G, порожденная S и T. Пусть

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

быть элементом SL(2, Z ). Таким образом, ad − cb = 1, так что a и c взаимно просты. Пусть

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Применяя S, если необходимо, можно предположить, что | a | > | c | (равенство невозможно из-за взаимной простоты). Запишем a = mc + r , где 0 ≤ r ≤ | c |. Но тогда

${\displaystyle T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.}$

Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока один из элементов не станет 0, в этом случае другой обязательно будет ±1. Применяя степень S , если необходимо, следует, что v = h u для некоторого h из H. Следовательно

${\displaystyle h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}}$

с p , q целыми числами. Очевидно, что p = 1, так что h ⁻¹ g = T ^q . Таким образом, g = h T ^q лежит в H, как и требовалось.

Чтобы доказать, что все рациональные числа из [0,1] встречаются, достаточно показать, что G переносит Δ на треугольники в тесселяции. Это следует из того, что сначала следует отметить, что S и T переносят Δ на такой треугольник: действительно, как преобразования Мёбиуса, S ( z ) = –1/ z и T ( z ) = z + 1, поэтому они дают отражения Δ относительно двух его сторон. Но тогда S и T сопрягают отражения относительно сторон Δ в отражения относительно сторон S Δ и T Δ, которые лежат в Γ. Таким образом, G нормализует Γ. Поскольку треугольники в тесселяции — это в точности треугольники вида g Δ с g в Γ, то отсюда следует, что S и T , а следовательно, и все элементы G , переставляют треугольники в тесселяции. Поскольку каждое рациональное число имеет вид g (0) для g из G , каждое рациональное число из [0,1] является вершиной треугольника в замощении.

Группа отражений и замощение для идеального треугольника также могут рассматриваться как предельный случай группы Шоттки для трех непересекающихся невложенных окружностей на сфере Римана. Опять же, эта группа порождается гиперболическими отражениями в трех окружностях. В обоих случаях три окружности имеют общую окружность, которая пересекает их ортогонально. Используя преобразование Мёбиуса, можно предположить, что это единичная окружность или, что эквивалентно, действительная ось в верхней полуплоскости. ^[13]

В этом подразделе излагается подход Карла Людвига Зигеля к теореме о замощении треугольников. Менее элементарный подход Зигеля не использует выпуклость, а вместо этого опирается на теорию римановых поверхностей , покрывающих пространств и версию теоремы о монодромии для покрытий. Он был обобщен, чтобы дать доказательства более общей теоремы о многоугольниках Пуанкаре. (Заметим, что особый случай замощения правильными n -угольниками с внутренними углами 2 π / n является непосредственным следствием замощения треугольниками Шварца с углами π / n , π / n и π /2.) ^{[14] [15]}

Пусть Γ будет свободным произведением Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Если Δ = ABC — треугольник Шварца с углами π / a , π / b и π / c , где a , b , c ≥ 2, то существует естественное отображение Γ на группу, порожденную отражениями относительно сторон Δ. Элементы Γ описываются произведением трех образующих, где никакие две соседние образующие не равны. В вершинах A , B и C произведение отражений относительно сторон, встречающихся в вершине, определяет повороты на углы 2 π / a , 2 π / b и 2 π / c ; Пусть g _A , g _B и g _C — соответствующие произведения образующих Γ = Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Пусть Γ ₀ — нормальная подгруппа индекса 2 группы Γ, состоящая из элементов, являющихся произведением четного числа образующих; и пусть Γ ₁ — нормальная подгруппа группы Γ, порожденная ( g _A ) ^a , ( g _B ) ^b и ( g _C ) ^c . Они действуют тривиально на Δ. Пусть Γ = Γ/Γ ₁ и Γ ₀ = Γ ₀ /Γ ₁ .

Несвязное объединение копий Δ, индексированных элементами Γ с идентификациями ребер, имеет естественную структуру римановой поверхности Σ. Во внутренней точке треугольника имеется очевидная карта. Как точка внутренней части ребра карта получается путем отражения треугольника относительно ребра. В вершине треугольника с внутренним углом π / n карта получается из 2 n копий треугольника, полученных путем его последовательного отражения вокруг этой вершины. Группа Γ действует посредством преобразований палуб Σ, причем элементы в Γ ₀ действуют как голоморфные отображения, а элементы не в Γ ₀ действуют как антиголоморфные отображения.

Существует естественное отображение P из Σ в гиперболическую плоскость. Внутренность треугольника с меткой g в Γ переносится на g (Δ), ребра переводятся в ребра, а вершины в вершины. Также легко проверить, что окрестность внутренней точки ребра переносится в окрестность образа; и аналогично для вершин. Таким образом, P локально является гомеоморфизмом и, таким образом, переводит открытые множества в открытые множества. Образ P (Σ), т. е. объединение трансляций g ( Δ ), является, таким образом, открытым подмножеством верхней полуплоскости. С другой стороны, это множество также замкнуто. Действительно, если точка достаточно близка к Δ, она должна находиться в трансляции Δ . Действительно, окрестность каждой вершины заполнена отражениями Δ , и если точка лежит вне этих трех окрестностей, но все еще близка к Δ , она должна лежать на трех отражениях Δ относительно его сторон. Таким образом, существует δ > 0 такое, что если z лежит на расстоянии, меньшем δ, от Δ , то z лежит в Γ -трансляции Δ . Поскольку гиперболическое расстояние является Γ -инвариантным, то если z лежит на расстоянии, меньшем δ, от Γ( Δ ), то оно фактически лежит в Γ( Δ ), так что это объединение замкнуто. Из связности следует, что P (Σ) — это вся верхняя полуплоскость.

С другой стороны, P является локальным гомеоморфизмом, то есть накрывающим отображением. Поскольку верхняя полуплоскость односвязна, то P является взаимно-однозначным отображением, и, следовательно, трансляции Δ заполняют верхнюю полуплоскость. Это является следствием следующей версии теоремы о монодромии для покрытий римановых поверхностей: если Q является накрывающим отображением между римановыми поверхностями Σ ₁ и Σ ₂ , то любой путь в Σ ₂ может быть поднят до пути в Σ ₁ , и любые два гомотопных пути с теми же конечными точками поднимаются до гомотопных путей с теми же конечными точками; немедленное следствие состоит в том, что если Σ ₂ односвязна, Q должен быть гомеоморфизмом. ^[16] Чтобы применить это, пусть Σ ₁ = Σ, пусть Σ ₂ будет верхней полуплоскостью и пусть Q = P . По следствию теоремы о монодромии P должен быть взаимно-однозначным.

Отсюда также следует, что g (Δ) = Δ тогда и только тогда, когда g лежит в Γ ₁ , так что гомоморфизм Γ ₀ в группу Мёбиуса является точным.

Замощение треугольников Шварца можно рассматривать как обобщение теории бесконечных групп Коксетера , следуя теории гиперболических групп отражений, развитой алгебраически Жаком Титсом ^[17] и геометрически Эрнестом Винбергом . ^[18] В случае плоскости Лобачевского или гиперболической плоскости идеи берут начало в работах Анри Пуанкаре и Вальтера фон Дейка девятнадцатого века . Однако, как указал Джозеф Ленер в Mathematical Reviews , строгие доказательства того, что отражения треугольника Шварца порождают замощение, часто были неполными, его собственная книга 1964 года «Discontinuous Groups and Automorphic Functions» является одним из примеров. ^{[19] [20]} Элементарное рассмотрение Каратеодори в его учебнике 1950 года Funktiontheorie , переведенном на английский в 1954 году, и отчет Сигеля 1954 года с использованием принципа монодромии являются строгими доказательствами. Подход с использованием групп Кокстера будет обобщен здесь в рамках общей структуры классификации гиперболических групп отражений. ^[21]

Пусть r, s, t будут символами, а a , b , c ≥ 2 будут целыми числами, возможно ∞ , причем

$${\displaystyle {1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.}$$

Определим Γ как группу с представлением, имеющую генераторы r, s, t , которые все являются инволюциями и удовлетворяют Если одно из целых чисел бесконечно, то произведение имеет бесконечный порядок. Генераторы r, s, t называются простыми отражениями .$${\displaystyle {\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}$$

Set ^[22] Пусть e _r , e _s , e _t будут базисом для 3-мерного действительного векторного пространства V с симметричной билинейной формой Λ такой, что с тремя диагональными элементами, равными единице. Симметричная билинейная форма Λ является невырожденной с сигнатурой (2, 1) . Определим:$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}}$$

Теорема (геометрическое представление). Операторы ρ, σ, τ являются инволюциями на V с соответствующими собственными векторами e r _, e s _, e t _с простым собственным значением −1. Произведения операторов имеют порядки, соответствующие представлению выше (так что στ имеет порядок a , и т.д.). Операторы ρ, σ, τ индуцируют представление Γ на V , которое сохраняет Λ .

Билинейная форма Λ для базиса имеет матрицу

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},}$$

так что имеет определитель Если c = 2 , скажем, то собственные значения матрицы равны Условие немедленно вынуждает так, что Λ должна иметь сигнатуру (2, 1) . Так что в общем случае a , b , c ≥ 3. Очевидно, случай, когда все равны 3, невозможен. Но тогда определитель матрицы отрицателен, а ее след положителен. В результате два собственных значения положительны и одно отрицательно, т. е. Λ имеет сигнатуру (2, 1) . Очевидно, ρ, σ, τ являются инволюциями, сохраняющими Λ с заданными −1 собственными векторами.$${\displaystyle \det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.}$$${\displaystyle 1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle A^{2}+B^{2}>1,}$

Чтобы проверить порядок произведений типа στ , достаточно отметить, что:

1. отражения σ и τ порождают конечную или бесконечную диэдральную группу ;
2. двумерная линейная оболочка U множеств es и _e t инвариантна относительно σ и _τ с ограничением Λ положительной определенности;
3. W , ортогональное дополнение к U , отрицательно определено на Λ , а σ и τ действуют тривиально на W .

(1) ясно, так как если γ = στ порождает нормальную подгруппу с σγσ ⁻¹ = γ ⁻¹ . Для (2) U инвариантно по определению, а матрица положительно определена, так как Поскольку Λ имеет сигнатуру (2, 1) , ненулевой вектор w в W должен удовлетворять Λ( w , w ) < 0 . По определению σ имеет собственные значения 1 и –1 на U , поэтому w должно быть зафиксировано σ . Аналогично w должно быть зафиксировано τ , так что (3) доказано. Наконец, в (1)${\displaystyle 0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}$$

так что, если a конечно, собственные значения στ равны -1, ς и ς ⁻¹ , где и если a бесконечно, собственные значения равны -1, X и X ⁻¹ , где Более того, прямое индукционное рассуждение показывает, что если то ^[23]${\displaystyle \varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};}$${\displaystyle X=e^{2x}.}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{a}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}$$

и если х > 0, то

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}}$$

Пусть Γ _a — диэдральная подгруппа Γ , порожденная s и t , с аналогичными определениями для Γ _b и Γ _c . Аналогично определим Γ _r как циклическую подгруппу Γ, заданную 2-группой {1, r }, с аналогичными определениями для Γ _s и Γ _t . Из свойств геометрического представления все шесть этих групп действуют точно на V . В частности, Γ _a можно отождествить с группой, порожденной σ и τ ; как и выше, она явно разлагается в прямую сумму 2-мерного неприводимого подпространства U и 1-мерного подпространства W с тривиальным действием. Таким образом, существует единственный вектор в W, удовлетворяющий σ ( w ) = w и τ ( w ) = w . Явно,$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.}$$

Замечание о представлениях диэдральных групп. Хорошо известно, что для конечномерных вещественных пространств скалярного произведения две ортогональные инволюции S и T могут быть разложены как ортогональная прямая сумма 2-мерных или 1-мерных инвариантных пространств; например, это можно вывести из наблюдения Пола Халмоша и других, что положительный самосопряженный оператор ( S – T ) ² коммутирует как с S , так и с T . Однако в приведенном выше случае, когда билинейная форма Λ больше не является положительно определенным скалярным произведением, необходимо привести другие ad hoc рассуждения.

Теорема (Титс). Геометрическое представление группы Кокстера является точным.

Этот результат был впервые доказан Титсом в начале 1960-х годов и впервые опубликован в тексте Бурбаки (1968) с его многочисленными упражнениями. В тексте фундаментальная камера была введена индуктивным аргументом; упражнение 8 в §4 Главы V было расширено Винаем Деодхаром, чтобы развить теорию положительных и отрицательных корней и таким образом сократить исходный аргумент Титса. ^[24]

Пусть X будет выпуклым конусом сумм κ e _r + λ e _s + μ e _t с действительными неотрицательными коэффициентами, не все из которых равны нулю. Для g в группе Γ определим ℓ( g ) , длину слова или длину , как минимальное число отражений от r, s, t, требуемое для записи g в виде упорядоченной композиции простых отражений. Определим положительный корень как вектор g e _r , g e _s или g e _{r ,} лежащий в X , с g в Γ . ^[b]

Обычно из определений следует, что ^[25]

• если | ℓ( gq ) – ℓ( g ) | = 1 для простого отражения q и, если g ≠ 1 , всегда существует простое отражение q такое, что ℓ( g ) = ℓ( gq ) + 1 ;
• для g и h в Γ , ℓ( gh ) ≤ ℓ( g ) + ℓ( h ) .

Предложение. Если g лежит в Γ и ℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 для простого отражения q , то g e _q лежит в ± X , и, следовательно, является положительным или отрицательным корнем в зависимости от знака.

Заменив g на gq , нужно рассмотреть только положительный знак. Утверждение будет доказано индукцией по ℓ( g ) = m , поскольку оно тривиально при m = 0 . Предположим, что ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1 . Если ℓ( g ) = m > 0 , без уменьшения общности можно предположить, что минимальное выражение для g заканчивается на ...t . Поскольку s и t порождают диэдральную группу Γ _a , g можно записать в виде произведения g = hk , где k = ( st ) ⁿ или t ( st ) ^{n ,} а h имеет минимальное выражение, которое заканчивается на ...r , но никогда на s или t . Это означает, что ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1 и ℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1 . Так как ℓ( h ) < m , то индукционная гипотеза показывает, что оба h e _s , h e _t лежат в X . Поэтому достаточно показать, что k e _s имеет вид λ e _s + μ e _t с λ , μ ≥ 0 , а не оба 0. Но это уже было проверено в формулах выше. ^[25]

Следствие (доказательство теоремы Титса). Геометрическое представление является точным.

Достаточно показать, что если g фиксирует e _r , es _, e _t , то g = 1. Рассматривая минимальное выражение для g ≠ 1 , условия ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 явно не могут быть одновременно удовлетворены тремя простыми отражениями q .

Обратите внимание, что, как следствие теоремы Титса, генераторы (слева) удовлетворяют условиям (справа): Это дает представление сохраняющей ориентацию нормальной подгруппы индекса 2 Γ ₁ группы Γ . Представление соответствует фундаментальной области, полученной путем отражения двух сторон геодезического треугольника для формирования геодезического параллелограмма (частный случай теоремы Пуанкаре о многоугольнике). ^[26]$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}$$

Дальнейшие следствия. Корни являются несвязным объединением положительных корней и отрицательных корней. Простое отражение q переставляет каждый положительный корень, кроме e _q . Для g в Γ , ℓ( g ) — это число положительных корней, сделанных отрицательными с помощью g .

Фундаментальная область и конус Титса. ^[27]

Пусть G — 3-мерная замкнутая подгруппа Ли в GL( V ) , сохраняющая Λ . Поскольку V можно отождествить с 3-мерным лоренцевым или минковским пространством с сигнатурой (2,1) , группа G изоморфна группе Лоренца O(2,1) и, следовательно, ^[c] Выбрав e в качестве положительного корневого вектора в X , стабилизатор e является максимальной компактной подгруппой K в G , изоморфной O(2) . Однородное пространство X = G / K является симметричным пространством постоянной отрицательной кривизны, которое можно отождествить с 2-мерным гиперболоидом или плоскостью Лобачевского . Дискретная группа Γ действует разрывно на G / K : факторпространство Γ \ G / K компактно, если a, b, c все конечны, и имеет конечную площадь в противном случае. Результаты о фундаментальной камере Титса имеют естественную интерпретацию в терминах соответствующего треугольника Шварца, которые напрямую переводятся в свойства замощения геодезического треугольника через гиперболическую группу отражения Γ . Переход от групп Кокстера к замощению можно впервые найти в упражнениях §4 главы V Бурбаки (1968), благодаря Титсу, и в Ивахори (1966); в настоящее время доступно множество других эквивалентных трактовок, не всегда напрямую сформулированных в терминах симметричных пространств.${\displaystyle \mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

Маскит (1971) дал общее доказательство теоремы Пуанкаре о многоугольнике в гиперболическом пространстве; похожее доказательство было дано в работе де Рама (1971). Специализируясь на гиперболической плоскости и треугольниках Шварца, это может быть использовано для предоставления современного подхода к установлению существования мозаик треугольников Шварца, как описано в работах Бирдона (1983) и Маскита (1988). Швейцарские математики де ла Арп (1991) и Хефлигер предоставили вводный отчет, взяв за отправную точку геометрическую теорию групп . ^[28]

• Список однородных многогранников по треугольнику Шварца
• Символ Витхоффа
• Строительство Витхофф
• Однородный многогранник
• Невыпуклый однородный многогранник
• Плотность (политоп)
• Тетраэдр Гурса
• Правильная гиперболическая мозаика
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости

• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Шварца». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D Общий треугольник Шварца (pqr) и обобщенные матрицы инцидентности соответствующих многогранников».