Эллиптическая функция

В математической области комплексного анализа эллиптические функции являются особыми видами мероморфных функций, которые удовлетворяют двум условиям периодичности. Они называются эллиптическими функциями, потому что происходят от эллиптических интегралов . Эти интегралы, в свою очередь, называются эллиптическими , потому что они впервые были встречены для вычисления длины дуги эллипса .

Важными эллиптическими функциями являются эллиптические функции Якоби и функция Вейерштрасса${\displaystyle \wp}$ .

Дальнейшее развитие этой теории привело к гиперэллиптическим функциям и модулярным формам .

Мероморфная функция называется эллиптической функцией, если существуют два линейно независимых комплексных числа, такие, что${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$и .${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Таким образом, эллиптические функции имеют два периода и, следовательно, являются двоякопериодическими функциями .

Если — эллиптическая функция с периодами, то также справедливо, что${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\ displaystyle f (z + \ gamma) = f (z)}$

для каждой линейной комбинации с .${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

Абелева группа

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2} \rangle _ {\mathbb {Z}}:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

называется решеткой периодов .

Параллелограмм , образованный и${\displaystyle \омега _{1}}$${\displaystyle \омега _{2}}$

${\displaystyle \{\му \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu, \nu \leq 1\}}$

является фундаментальной областью действия .​${\displaystyle \Лямбда}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Геометрически комплексная плоскость вымощена параллелограммами. Все, что происходит в одной фундаментальной области, повторяется во всех других. По этой причине мы можем рассматривать эллиптические функции как функции с фактор-группой в качестве их области. Эта фактор-группа, называемая эллиптической кривой , может быть визуализирована как параллелограмм, в котором противоположные стороны отождествлены, что топологически является тором . ^[1]${\displaystyle \mathbb {C} /\Лямбда }$

Следующие три теоремы известны как теоремы Лиувилля (1847) .

Голоморфная эллиптическая функция постоянна. ^[2]

Это изначальная форма теоремы Лиувилля , и она может быть выведена из нее. ^[3] Голоморфная эллиптическая функция ограничена, поскольку она принимает все свои значения в фундаментальной области, которая компактна. Поэтому она постоянна по теореме Лиувилля.

Каждая эллиптическая функция имеет конечное число полюсов в , а сумма ее вычетов равна нулю. ^[4]${\displaystyle \mathbb {C} /\Лямбда }$

Из этой теоремы следует, что не существует эллиптической функции, не равной нулю, с ровно одним полюсом первого порядка или ровно одним нулем первого порядка в фундаментальной области.

Неконстантная эллиптическая функция принимает каждое значение одинаковое число раз с учетом кратности. ^[5]${\displaystyle \mathbb {C} /\Лямбда }$

Одной из важнейших эллиптических функций является функция Вейерштрасса. Для заданной решетки периодов она определяется как${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \Лямбда}$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Он построен таким образом, что имеет полюс второго порядка в каждой точке решетки. Член нужен для того, чтобы сделать ряд сходящимся.${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp}$является четной эллиптической функцией; то есть, . ^[6]${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

Его производная

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _ {\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda)^{3}}}}$

является нечетной функцией, т.е. ^[6]${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Одним из основных результатов теории эллиптических функций является следующий: каждая эллиптическая функция относительно заданной решетки периодов может быть выражена как рациональная функция через и . ^[7]${\displaystyle \Лямбда}$${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \wp '}$

-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению${\displaystyle \wp}$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

где и — константы, зависящие от . Точнее, и , где и — так называемые ряды Эйзенштейна . ^[8]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \Лямбда}$${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle G_{6}}$

На алгебраическом языке поле эллиптических функций изоморфно полю

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

где изоморфизм отображается в и в .${\displaystyle \wp }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle Y}$

• 
  Функция Вейерштрасса с решеткой периодов${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  Производная -функции${\displaystyle \wp }$

Связь с эллиптическими интегралами имеет в основном историческую подоплеку. Эллиптические интегралы изучались Лежандром , чья работа была продолжена Нильсом Хенриком Абелем и Карлом Густавом Якоби .

Абель открыл эллиптические функции, взяв обратную функцию эллиптической интегральной функции${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

с . ^[9]${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Кроме того, он определил функции ^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

и

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

После продолжения на комплексную плоскость они оказались двоякопериодическими и известны как эллиптические функции Абеля .

Эллиптические функции Якоби аналогичным образом получаются как обратные функции эллиптических интегралов.

Якоби рассмотрел интегральную функцию

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

и перевернул его: . обозначает sinus amplitudinis и является названием новой функции. ^[11] Затем он ввел функции cosinus amplitudinis и delta amplitudinis , которые определяются следующим образом:${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Только сделав этот шаг, Якоби смог доказать свою общую формулу преобразования эллиптических интегралов в 1827 году. ^[12]

Вскоре после развития исчисления бесконечно малых итальянским математиком Джулио ди Фаньяно и швейцарским математиком Леонардом Эйлером была начата теория эллиптических функций . Когда они попытались вычислить длину дуги лемнискаты, они столкнулись с проблемами, связанными с интегралами, содержащими квадратный корень полиномов степени 3 и 4. ^[13] Было ясно, что эти так называемые эллиптические интегралы не могут быть решены с использованием элементарных функций. Фаньяно заметил алгебраическую связь между эллиптическими интегралами, что он опубликовал в 1750 году. ^[13] Эйлер немедленно обобщил результаты Фаньяно и сформулировал свою алгебраическую теорему сложения для эллиптических интегралов. ^[13]

За исключением комментария Ландена ^[14], его идеи не были продолжены до 1786 года, когда Лежандр опубликовал свою работу Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . ^[15] Лежандр впоследствии изучал эллиптические интегралы и назвал их эллиптическими функциями . Лежандр ввел тройную классификацию – три вида – что было решающим упрощением довольно сложной теории того времени. Другие важные работы Лежандра: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), ^[16] Exercices de calcul intégral (1811–1817), ^[17] Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). ^[18] Работа Лежандра в основном оставалась нетронутой математиками до 1826 года.

Впоследствии Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби возобновили исследования и быстро обнаружили новые результаты. Сначала они обратили эллиптическую интегральную функцию. По предложению Якоби в 1829 году эти обратные функции теперь называются эллиптическими функциями . Одной из важнейших работ Якоби является Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , опубликованная в 1829 году. ^[19] Теорема сложения, найденная Эйлером, была сформулирована и доказана в общем виде Абелем в 1829 году. В те дни теория эллиптических функций и теория двоякопериодических функций считались разными теориями. Их объединили Брио и Буке в 1856 году. ^[20] Гаусс открыл многие свойства эллиптических функций 30 годами ранее, но никогда ничего не публиковал по этой теме. ^[21]

• Эллиптический интеграл
• Эллиптическая кривая
• Модульная группа
• Тета-функция

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 18. (рассматривается только случай действительных инвариантов).
• Н.И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, переведено на английский язык как AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (см. главу 1.) 
• ET Whittaker и GN Watson . Курс современного анализа , Cambridge University Press, 1952

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Эллиптические функции» .

• «Эллиптическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
• Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
• Йоханссон, Фредрик (2018). «Численная оценка эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм». arXiv : 1806.06725 [cs.NA].