лемма Шварца

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Комплексные числа
Реальное число Мнимое число Комплексная плоскость Комплексно сопряженный Единичное комплексное число
Комплексные функции
Комплекснозначная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши–Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюса Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Лорана Изолированная сингулярность Теорема о вычетах Принцип аргументации Конформная карта лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риман Карл Вейерштрасс
Математический портал
в т е

В математике лемма Шварца , названная в честь Германа Амандуса Шварца , является результатом комплексного анализа голоморфных функций из открытого единичного круга в себя. Лемма менее известна, чем более глубокие теоремы, такие как теорема об отображении Римана , которую она помогает доказать. Однако это один из простейших результатов, отражающих жесткость голоморфных функций.

Пусть будет открытым единичным кругом в комплексной плоскости с центром в начале координат , и пусть будет голоморфным отображением таким, что и на .${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$${\displaystyle \mathbf {D} }$

Тогда для всех , и .${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

При этом если для некоторого ненулевого или , то для некоторого с . ^[1]${\displaystyle |f(z)|=|z|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |f'(0)|=1}$${\displaystyle f(z)=az}$${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |a|=1}$

Доказательство представляет собой прямое применение принципа максимума модуля к функции

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}}$

который голоморфен на всем , включая начало координат (потому что дифференцируем в начале координат и фиксирует нуль). Теперь, если обозначает замкнутый круг радиуса с центром в начале координат, то принцип максимума модуля подразумевает, что для , при любом , существует на границе такое, что${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r<1}$${\displaystyle z\in D_{r}}$${\displaystyle z_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

Как мы получаем .${\displaystyle r\rightarrow 1}$${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

Более того, предположим, что для некоторого ненулевого , или . Тогда в некоторой точке . Так что по принципу максимума модуля равно константе такой, что . Следовательно, , как и требовалось.${\displaystyle |f(z)|=|z|}$${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle |f'(0)|=1}$${\displaystyle |g(z)|=1}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|=1}$${\displaystyle f(z)=az}$

Вариант леммы Шварца, известный как теорема Шварца–Пика (в честь Георга Пика ), характеризует аналитические автоморфизмы единичного круга, т.е. биективные голоморфные отображения единичного круга на себя:

Пусть будет голоморфным. Тогда для всех ,${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbf {D} }$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

и, для всех ,${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

Выражение

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

— расстояние точек в метрике Пуанкаре , т.е. метрике в модели диска Пуанкаре для гиперболической геометрии в размерности два. Теорема Шварца–Пика по сути утверждает, что голоморфное отображение единичного круга в себя уменьшает расстояние точек в метрике Пуанкаре. Если равенство выполняется на протяжении одного из двух неравенств выше (что эквивалентно утверждению, что голоморфное отображение сохраняет расстояние в метрике Пуанкаре), то должен быть аналитическим автоморфизмом единичного круга, заданным преобразованием Мёбиуса, отображающим единичный круг в себя.${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle f}$

Аналогичное утверждение относительно верхней полуплоскости можно сделать следующим образом:${\displaystyle \mathbf {H} }$

Пусть будет голоморфным. Тогда для всех ,${\displaystyle f:\mathbf {H} \to \mathbf {H} }$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.}$

Это простое следствие теоремы Шварца–Пика, упомянутой выше: Нужно просто помнить, что преобразование Кэли конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг . Тогда отображение является голоморфным отображением из на . Используя теорему Шварца–Пика на этом отображении и, наконец, упрощая результаты с помощью формулы для , мы получаем желаемый результат. Кроме того, для всех ,${\displaystyle W(z)=(z-i)/(z+i)}$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle W\circ f\circ W^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle z\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.}$

Если равенство выполняется для одного или другого выражения, то должно быть преобразованием Мёбиуса с действительными коэффициентами. То есть, если равенство выполняется, то${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

с и .${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$${\displaystyle ad-bc>0}$

Доказательство теоремы Шварца–Пика следует из леммы Шварца и того факта, что преобразование Мёбиуса вида

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,}$

отображает единичную окружность в себя. Зафиксируйте и определите преобразования Мёбиуса${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.}$

Так как и преобразование Мёбиуса обратимо, композиция отображается в и единичный круг отображается в себя. Таким образом, мы можем применить лемму Шварца, то есть${\displaystyle M(z_{1})=0}$${\displaystyle \varphi (f(M^{-1}(z)))}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.}$

Теперь вызов (который все еще будет в единичном диске) дает желаемый вывод${\displaystyle z_{2}=M^{-1}(z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.}$

Чтобы доказать вторую часть теоремы, переставим левую часть в разностное частное и устремим к .${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{1}}$

Теорема Шварца –Альфорса–Пика дает аналогичную теорему для гиперболических многообразий.

Теорема де Бранжа , ранее известная как гипотеза Бибербаха, является важным расширением леммы, давая ограничения на высшие производные в случае , если является инъективным , то есть одновалентным .${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

Теорема Кебе 1/4 дает соответствующую оценку в случае, когда она однозначна.${\displaystyle f}$

• Интерполяция Неванлинны – Пика

• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (см. раздел 2.3) 
• S. Dineen (1989). Лемма Шварца . Оксфорд. ISBN 0-19-853571-6.

В данной статье использованы материалы из леммы Шварца на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .