пространство Шварца

Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing

В математике пространство Шварца S {\displaystyle {\mathcal {S}}} — это функциональное пространство всех функций , производные которых быстро убывают . Это пространство обладает важным свойством, заключающимся в том, что преобразование Фурье является автоморфизмом на этом пространстве. Это свойство позволяет, по двойственности, определить преобразование Фурье для элементов в двойственном пространстве , то есть для умеренных распределений . Функция в пространстве Шварца иногда называется функцией Шварца . S {\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}} S {\displaystyle {\mathcal {S}}}

Двумерная функция Гаусса является примером быстро убывающей функции.

Пространство Шварца названо в честь французского математика Лорана Шварца .

Определение

Пусть — множество неотрицательных целых чисел , и для любого — n -кратное декартово произведение . N {\displaystyle \mathbb {N} } n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } N n := N × × N n  times {\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}

Пространство Шварца или пространство быстро убывающих функций на — это функциональное пространство , где — функциональное пространство гладких функций из в , и Здесь обозначает супремум , и мы использовали многоиндексную запись , т.е. и . R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} S ( R n , C ) := { f C ( R n , C ) α , β N n , f α , β < } , {\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},} C ( R n , C ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} C {\displaystyle \mathbb {C} } f α , β := sup x R n | x α ( D β f ) ( x ) | . {\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.} sup {\displaystyle \sup } x α := x 1 α 1 x 2 α 2 x n α n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} D β := 1 β 1 2 β 2 n β n {\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}

Чтобы перевести это определение на общий язык, можно было бы рассматривать быстро убывающую функцию как по сути функцию f ( x ) такую, что f ( x ) , f ′( x ) , f ′′( x ) , ... все существуют всюду на R и стремятся к нулю при x → ±∞ быстрее, чем любая обратная степень x . В частности, 𝒮( R n , C ) является подпространством функционального пространства C ( R n , C ) гладких функций из R n в C .

Примеры функций в пространстве Шварца

  • Если — мультииндекс, а положительное действительное число , то α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
    x α e a | x | 2 S ( R n ) . {\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|{\boldsymbol {x}}|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}
  • Любая гладкая функция f с компактным носителем принадлежит 𝒮( R n ) . Это ясно, поскольку любая производная f непрерывна и имеет носитель в f , поэтому ( имеет максимум в R n по теореме об экстремальном значении . x α D α ) f {\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}
  • Поскольку пространство Шварца является векторным пространством, любой многочлен можно умножить на множитель для действительной константы, чтобы получить элемент пространства Шварца. В частности, существует вложение многочленов в пространство Шварца. ϕ ( x ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})} e a | x | 2 {\displaystyle e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}} a > 0 {\displaystyle a>0}

Характеристики

Аналитические свойства

В частности, это означает, что 𝒮( R n ) является R -алгеброй. В более общем случае, если f ∈ 𝒮( R ) и H является ограниченной гладкой функцией с ограниченными производными всех порядков, то fH ∈ 𝒮( R ) .

  1. полные хаусдорфовы локально выпуклые пространства,
  2. ядерные пространства Монтеля ,
  3. ультраборнологические пространства ,
  4. рефлексивные бочкообразные пространства Макки .

Связь пространств Шварца с другими топологическими векторными пространствами

  • Если 1 ≤ p ≤ ∞ , то 𝒮( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
  • Если 1p < ∞ , то 𝒮( R n ) плотно в L p ( R n ) .
  • Пространство всех функций выпуклости , C
    с
    ( R n )
    , входит в 𝒮( R n ) .

Смотрите также

Ссылки


Источники

  • Хермандер, Л. (1990). Анализ линейных частных дифференциальных операторов I, (Теория распределения и анализ Фурье) (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
  • Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Функциональный анализ I (пересмотренное и дополненное издание). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
  • Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Анализ Фурье: Введение (Принстонские лекции по анализу I) . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
  • Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

В данной статье использованы материалы из раздела «Пространство быстро убывающих функций» на сайте PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schwartz_space&oldid=1272155520"