Многоиндексная нотация

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

Многоиндексная нотация — это математическая нотация , которая упрощает формулы, используемые в многомерном исчислении , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем обобщения концепции целочисленного индекса до упорядоченного кортежа индексов.

N - мерный мультииндекс — это кортеж${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

неотрицательных целых чисел ( т.е. элемент -мерного множества натуральных чисел , обозначаемого ).${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Для мультииндексов и определяется:${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Покомпонентная сумма и разность

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Частичный заказ

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Сумма компонентов (абсолютное значение)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Факториал

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Мультиномиальный коэффициент

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$где .${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Власть

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Частная производная высшего порядка

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$где (см. также 4-градиент ). Иногда также используется обозначение . ^[1]${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

Многоиндексная нотация позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления до соответствующего многомерного случая. Ниже приведены некоторые примеры. Во всех последующих случаях (или ), и (или ).${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Теорема о многочлене

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Мультибиномиальная теорема

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$Обратите внимание, что поскольку x + y — вектор, а α — мультииндекс, выражение слева является сокращением для ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

формула Лейбница

Для плавных функций и ,${\textstyle f}$${\textstyle g}$$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

ряд Тейлора

Для аналитической функции в переменных имеем Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем похожее разложение Тейлора , где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с интегральным остатком) получаем${\textstyle f}$${\textstyle n}$$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

Общий линейный оператор дифференцирования в частных производных

Формальный линейный частный дифференциальный оператор -го порядка в переменных записывается как${\textstyle N}$${\textstyle n}$$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Интеграция по частям

Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области имеем Эта формула используется для определения распределений и слабых производных .${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

Если являются мультииндексами и , то${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Доказательство следует из правила мощности для обычной производной : если α и β находятся в , то${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}$$

( 1 )

Предположим , , и . Тогда имеем, что${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

Для каждого из функция зависит только от . В приведенном выше примере каждое частное дифференцирование сводится к соответствующему обычному дифференцированию . Следовательно, из уравнения ( 1 ) следует, что обращается в нуль, если хотя бы для одного из . Если это не так, т.е. если в качестве мультииндексов, то для каждого и следует теорема. ЧТЭ${\textstyle i}$${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle d/dx_{i}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$${\textstyle i}$${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$${\textstyle \alpha \leq \beta }$$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$${\displaystyle i}$

• Обозначение Эйнштейна
• Индексная нотация
• исчисление Риччи

• Saint Raymond, Xavier (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов . Глава 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 

В данной статье использованы материалы из многоиндексной производной от степени PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .