Топологическое векторное пространство Шварца

В функциональном анализе и смежных областях математики пространства Шварца являются топологическими векторными пространствами (TVS), окрестности начала координат которых обладают свойством, аналогичным определению вполне ограниченных подмножеств. Эти пространства были введены Александром Гротендиком .

Хаусдорфово локально выпуклое пространство X с непрерывным сопряженным X называется пространством Шварца , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1] ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. Для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности U начала координат в X существует окрестность V нуля в X такая, что для всех действительных r > 0 , V может быть покрыто конечным числом трансляций rU .
2. Каждое ограниченное подмножество X является вполне ограниченным , и для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности U начала координат в X существует окрестность V нуля в X такая, что для всех действительных r > 0 существует ограниченное подмножество B множества X такое, что V ⊆ B + rU .

Каждое квазиполное пространство Шварца является полумонтелевым пространством . Каждое пространство Фреше- Шварца является монтелевским пространством . ^[2]

Сильное дуальное пространство полного пространства Шварца является ультраборнологическим пространством .

• Векторным подпространством пространств Шварца являются пространства Шварца.
• Фактор пространства Шварца по замкнутому векторному подпространству снова является пространством Шварца.
• Декартово произведение любого семейства пространств Шварца снова является пространством Шварца.
• Слабая топология, индуцированная на векторном пространстве семейством линейных отображений со значениями в пространствах Шварца, является пространством Шварца, если слабая топология является хаусдорфовой.
• Локально выпуклый строгий индуктивный предел любой счетной последовательности пространств Шварца (где каждое пространство TVS-вложено в следующее пространство) снова является пространством Шварца.

Не каждое бесконечномерное нормированное пространство является пространством Шварца. ^[2]

Существуют пространства Фреше , которые не являются пространствами Шварца, и существуют пространства Шварца, которые не являются пространствами Монтеля . ^[2]

• Вспомогательное нормированное пространство
• Пространство Монтеля  – бочкообразное пространство, в котором замкнутые и ограниченные подмножества компактны.

• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.