Теорема об экстремальном значении
Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum
Непрерывная функция на замкнутом интервале, показывающая абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий). f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

В исчислении теорема об экстремальном значении гласит, что если вещественная функция непрерывна на замкнутом и ограниченном интервале , то она должна достигать максимума и минимума , каждый по крайней мере один раз. То есть существуют числа и в такие, что : f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f {\displaystyle f} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( c ) ≤ f ( x ) ≤ f ( d ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b].}

Теорема об экстремальном значении более конкретна, чем связанная с ней теорема об ограниченности , которая просто утверждает, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена на этом интервале; то есть существуют действительные числа и такие, что: f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} m {\displaystyle m} M {\displaystyle M} m ≤ f ( x ) ≤ M ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}

Это не означает, что и обязательно являются максимальным и минимальным значениями на интервале , что и предполагает теорема об экстремальных значениях. M {\displaystyle M} m {\displaystyle m} f {\displaystyle f} [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],}

Теорема об экстремальном значении используется для доказательства теоремы Ролля . В формулировке Карла Вейерштрасса эта теорема утверждает, что непрерывная функция из непустого компактного пространства в подмножество действительных чисел достигает максимума и минимума.

История

Теорема об экстремальном значении была первоначально доказана Бернардом Больцано в 1830-х годах в работе «Теория функций», но работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена, а затем показать, что функция достигает максимального и минимального значения. Оба доказательства включали то, что сегодня известно как теорема Больцано–Вейерштрасса . [1]

Функции, к которым теорема неприменима

Следующие примеры показывают, почему область определения функции должна быть замкнутой и ограниченной для того, чтобы теорема была применима. Ни один из них не достигает максимума на заданном интервале.

  1. f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} определено более, чем не ограничено сверху. [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
  2. f ( x ) = x 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}} определено над ограничено, но не достигает своей точной верхней границы . [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 1 {\displaystyle 1}
  3. f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} определено более, чем не ограничено сверху. ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]}
  4. f ( x ) = 1 − x {\displaystyle f(x)=1-x} определено над ограничено, но никогда не достигает своей наименьшей верхней границы . ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} 1 {\displaystyle 1}

Определение в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на . f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

Обобщение на метрические и топологические пространства

При переходе от действительной прямой к метрическим пространствам и общим топологическим пространствам соответствующим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компактное множество . Множество называется компактным, если оно обладает следующим свойством: из любого набора открытых множеств, такого что , можно выбрать конечный поднабор, такой что . Обычно это кратко формулируется как «каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие». Теорема Гейне–Бореля утверждает, что подмножество действительной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Гейне–Бореля, если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно. R {\displaystyle \mathbb {R} } K {\displaystyle K} U α {\displaystyle U_{\alpha }} ⋃ U α ⊃ K {\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K} U α 1 , … , U α n {\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}} ⋃ i = 1 n U α i ⊃ K {\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K} K {\displaystyle K}

Понятие непрерывной функции может быть также обобщено. При наличии топологических пространств функция называется непрерывной, если для каждого открытого множества , также открыто. При наличии этих определений можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность: [2] V ,   W {\displaystyle V,\ W} f : V → W {\displaystyle f:V\to W} U ⊂ W {\displaystyle U\subset W} f − 1 ( U ) ⊂ V {\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}

Теорема  —  Если — топологические пространства, — непрерывная функция и — компакт, то — также компакт. V ,   W {\displaystyle V,\ W} f : V → W {\displaystyle f:V\to W} K ⊂ V {\displaystyle K\subset V} f ( K ) ⊂ W {\displaystyle f(K)\subset W}

В частности, если , то эта теорема подразумевает, что замкнуто и ограничено для любого компактного множества , что в свою очередь подразумевает, что достигает своей супремума и инфимума на любом (непустом) компактном множестве . Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы об экстремальном значении: [2] W = R {\displaystyle W=\mathbb {R} } f ( K ) {\displaystyle f(K)} K {\displaystyle K} f {\displaystyle f} K {\displaystyle K}

Теорема  —  Если — непустой компакт и — непрерывная функция, то — ограничено и существуют такие, что и . K {\displaystyle K} f : K → R {\displaystyle f:K\to \mathbb {R} } f {\displaystyle f} p , q ∈ K {\displaystyle p,q\in K} f ( p ) = sup x ∈ K f ( x ) {\displaystyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)} f ( q ) = inf x ∈ K f ( x ) {\displaystyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}

В более общем случае это справедливо и для полунепрерывной сверху функции. (см. компактное пространство#Функции и компактные пространства ).

Доказательство теорем

Рассмотрим доказательство для верхней границы и максимума . Применяя эти результаты к функции , следует существование нижней границы и результат для минимума . Также обратите внимание, что все в доказательстве выполняется в контексте действительных чисел . f {\displaystyle f} − f {\displaystyle -f} f {\displaystyle f}

Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы об экстремальном значении. Основные шаги, включенные в доказательство теоремы об экстремальном значении, следующие:

  1. Докажите теорему об ограниченности.
  2. Найдите последовательность, образ которой сходится к супремуму . f {\displaystyle f}
  3. Покажите, что существует подпоследовательность , которая сходится к точке в области .
  4. Используя непрерывность, покажите, что образ подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности

Теорема об ограниченности  —  Если непрерывна на , то она ограничена на f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} [ a , b ] . {\displaystyle [a,b].}

Доказательство

Предположим, что функция не ограничена сверху на интервале . Тогда для каждого натурального числа существует такое , что . Это определяет последовательность . Поскольку ограничена, теорема Больцано–Вейерштрасса подразумевает, что существует сходящаяся подпоследовательность . Обозначим ее предел через . Так как замкнута, она содержит . Поскольку непрерывна в , мы знаем, что сходится к действительному числу (так как последовательно непрерывна в ). Но для любого , что подразумевает, что расходится к , противоречие. Следовательно, ограничена сверху на .  ∎ f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} n {\displaystyle n} x n ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{n}\in [a,b]} f ( x n ) > n {\displaystyle f(x_{n})>n} ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( x n k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }} ( x n ) {\displaystyle ({x_{n}})} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} x {\displaystyle x} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} f ( x n k ) {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} f ( x n k ) > n k ≥ k {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k} k {\displaystyle k} f ( x n k ) {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})} + ∞ {\displaystyle +\infty } f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

Альтернативное доказательство

Рассмотрим множество точек в , такое что ограничено на . Заметим, что — одна из таких точек, для ограничено на значением . Если — другая точка, то все точки между и также принадлежат . Другими словами — это интервал, замкнутый на левом конце значением . B {\displaystyle B} p {\displaystyle p} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , p ] {\displaystyle [a,p]} a {\displaystyle a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , a ] {\displaystyle [a,a]} f ( a ) {\displaystyle f(a)} e > a {\displaystyle e>a} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e} B {\displaystyle B} B {\displaystyle B} a {\displaystyle a}

Теперь непрерывна справа при , следовательно, существует такое, что для всех из . Таким образом, ограничена и на интервале так, что все эти точки принадлежат . f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( a ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(a)|<1} x {\displaystyle x} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} f {\displaystyle f} f ( a ) − 1 {\displaystyle f(a)-1} f ( a ) + 1 {\displaystyle f(a)+1} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} B {\displaystyle B}

На данный момент мы знаем, что — интервал ненулевой длины, закрытый на левом конце числом . B {\displaystyle B} a {\displaystyle a}

Далее, ограничено сверху . Следовательно, множество имеет супремум в  ; назовем его . Из ненулевой длины можно вывести, что . B {\displaystyle B} b {\displaystyle b} B {\displaystyle B} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} s > a {\displaystyle s>a}

Предположим , что . Теперь непрерывно при , следовательно, существует такое, что для всех в , так что ограничено на этом интервале. Но из превосходства следует , что существует точка, принадлежащая , скажем, которая больше . Таким образом, ограничено на , которое перекрывается , так что ограничено на . Однако это противоречит превосходству . s < b {\displaystyle s<b} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<1} x {\displaystyle x} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} e {\displaystyle e} s − δ / 2 {\displaystyle s-\delta /2} f {\displaystyle f} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} [ a , s + δ ] {\displaystyle [a,s+\delta ]} s {\displaystyle s}

Поэтому мы должны иметь . Теперь непрерывна слева при , следовательно, существует такое, что для всех в , так что ограничена на этом интервале. Но из превосходства следует , что существует точка, принадлежащая , скажем, которая больше . Таким образом, ограничена на , которая перекрывается , так что ограничена на .   ∎ s = b {\displaystyle s=b} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<1} x {\displaystyle x} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} e {\displaystyle e} s − δ / 2 {\displaystyle s-\delta /2} f {\displaystyle f} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} [ a , s ] {\displaystyle [a,s]}

Доказательства теоремы об экстремальном значении

Доказательство теоремы об экстремальном значении

По теореме об ограниченности f ограничена сверху, следовательно, по полноте по Дедекинду действительных чисел, точная верхняя граница (супремум) M функции f существует. Необходимо найти точку d в [ a , b ] такую, что M = f ( d ). Пусть n — натуральное число. Так как M — точная верхняя граница, M – 1/ n не является верхней границей для f . Следовательно, существует d n в [ a , b ] такой, что M – 1/ n < f ( d n ). Это определяет последовательность { d n }. Поскольку M — верхняя граница для f , то M – 1/ n < f ( d n ) ≤ M для всех n . Следовательно, последовательность { f ( d n )} сходится к M .

Теорема Больцано –Вейерштрасса гласит, что существует подпоследовательность { }, которая сходится к некоторому d и, поскольку [ a , b ] замкнуто, d принадлежит [ a , b ]. Поскольку f непрерывна в d , последовательность { f ( )} сходится к f ( d ). Но { f ( d n k )} является подпоследовательностью { f ( d n )} , которая сходится к M , поэтому M = f ( d ). Следовательно, f достигает своей верхней границы M в d .  ∎ d n k {\displaystyle d_{n_{k}}} d n k {\displaystyle d_{n_{k}}}

Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении

Множество { y ∈ R  : y = f ( x ) для некоторого x ∈ [ a , b ]} является ограниченным множеством. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует по свойству наименьшей верхней границы действительных чисел. Пусть M = sup( f ( x ))  на  [ a , b ] . Если на [ a ,  b ] нет точки x такой, что f ( x ) =  M , то f ( x ) < M на [ a ,  b ]. Следовательно, 1/( M − f ( x )) непрерывно на [ a , b ].

Однако для каждого положительного числа ε всегда существует некоторый x в [ a ,  b ] такой, что M − f ( x ) < ε , поскольку M является наименьшей верхней границей. Следовательно, 1/( M − f ( x )) > 1/ ε , что означает, что 1/( M − f ( x )) не ограничена. Поскольку каждая непрерывная функция на [ a , b ] ограничена, это противоречит выводу о том, что 1/( M − f ( x )) была непрерывной на [ a ,  b ]. Следовательно, должна быть точка x в [ a ,  b ] такая, что f ( x ) =  M. ∎

Доказательство с использованием гиперреалов

Доказательство

В условиях нестандартного исчисления пусть N   будет бесконечным гиперцелым числом . Интервал [0, 1] имеет естественное гипердействительное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подынтервалов одинаковой бесконечно малой длины 1/ N с точками разбиения x i  = i  / N , когда i «бежит» от 0 до N. Функция ƒ   также естественным образом расширяется до функции ƒ *, определенной на гипердействительных числах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартных условиях (когда N   конечно) точка с максимальным значением ƒ всегда может быть выбрана среди N +1 точек x i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперцелое число i 0 такое, что 0 ≤ i 0  ≤ N и   для всех i  = 0, ...,  N. Рассмотрим действительную точку , где st — стандартная частичная функция . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно , так что  st ( x i ) = x . Применяя st к неравенству , получаем . В силу непрерывности ƒ   имеем f ∗ ( x i 0 ) ≥ f ∗ ( x i ) {\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})} c = s t ( x i 0 ) {\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})} x ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]} f ∗ ( x i 0 ) ≥ f ∗ ( x i ) {\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})} s t ( f ∗ ( x i 0 ) ) ≥ s t ( f ∗ ( x i ) ) {\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}

s t ( f ∗ ( x i 0 ) ) = f ( s t ( x i 0 ) ) = f ( c ) {\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)} .

Следовательно, ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) для всех действительных x , что доказывает, что c является максимумом ƒ . [3] ∎

Доказательство из первых принципов

Утверждение      Если непрерывно на , то оно достигает своей супремума на f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

Доказательство

По теореме об ограниченности ограничено сверху на и по свойству полноты действительных чисел имеет супремум в . Назовем его , или . Ясно, что ограничение на подынтервал , где имеет супремум , который меньше или равен , и который возрастает от до при увеличении от до . f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M {\displaystyle M} M [ a , b ] {\displaystyle M[a,b]} f {\displaystyle f} [ a , x ] {\displaystyle [a,x]} x ≤ b {\displaystyle x\leq b} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} M {\displaystyle M} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} f ( a ) {\displaystyle f(a)} M {\displaystyle M} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}

Если то мы закончили. Предположим поэтому, что и пусть . Рассмотрим множество точек в такое, что . f ( a ) = M {\displaystyle f(a)=M} f ( a ) < M {\displaystyle f(a)<M} d = M − f ( a ) {\displaystyle d=M-f(a)} L {\displaystyle L} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M [ a , x ] < M {\displaystyle M[a,x]<M}

Ясно , что  ; более того, если есть другая точка в , то все точки между и также принадлежат , поскольку монотонно возрастает. Следовательно, есть непустой интервал, замкнутый на левом конце . a ∈ L {\displaystyle a\in L} e > a {\displaystyle e>a} L {\displaystyle L} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} L {\displaystyle L} a {\displaystyle a}

Теперь непрерывна справа при , следовательно, существует такое, что для всех из . Таким образом, меньше на интервале , так что все эти точки принадлежат . f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( a ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2} x {\displaystyle x} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} L {\displaystyle L}

Далее, ограничено сверху и имеет, следовательно, супремум в : назовем его . Из вышесказанного видно, что . Покажем, что это искомая нами точка, т.е. точка, в которой достигает своего супремума, или, другими словами . L {\displaystyle L} b {\displaystyle b} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} s {\displaystyle s} s > a {\displaystyle s>a} s {\displaystyle s} f {\displaystyle f} f ( s ) = M {\displaystyle f(s)=M}

Предположим противное, а именно . Пусть и рассмотрим следующие два случая: f ( s ) < M {\displaystyle f(s)<M} d = M − f ( s ) {\displaystyle d=M-f(s)}

  1. s < b {\displaystyle s<b} . Так как непрерывна при , то существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше на интервале . Но из превосходства следует , что существует точка, скажем, принадлежащая , которая больше . По определению , . Пусть тогда для всех в , . Принимая за минимум и , имеем для всех в . f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2} x {\displaystyle x} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} s {\displaystyle s} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} s − δ {\displaystyle s-\delta } L {\displaystyle L} M [ a , e ] < M {\displaystyle M[a,e]<M} d 1 = M − M [ a , e ] {\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]} x {\displaystyle x} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} f ( x ) ≤ M − d 1 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} d / 2 {\displaystyle d/2} d 1 {\displaystyle d_{1}} f ( x ) ≤ M − d 2 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}} x {\displaystyle x} [ a , s + δ ] {\displaystyle [a,s+\delta ]}
    Следовательно, так что . Однако это противоречит превосходству и завершает доказательство. M [ a , s + δ ] < M {\displaystyle M[a,s+\delta ]<M} s + δ ∈ L {\displaystyle s+\delta \in L} s {\displaystyle s}
  2. s = b {\displaystyle s=b} . Так как непрерывна слева при , то существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше, чем на интервале . Но из превосходства следует , что существует точка, скажем, принадлежащая , которая больше, чем . По определению , . Пусть тогда для всех в , . Принимая за минимум и , имеем для всех в . Это противоречит превосходству и завершает доказательство. ∎ f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2} x {\displaystyle x} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} s {\displaystyle s} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} s − δ {\displaystyle s-\delta } L {\displaystyle L} M [ a , e ] < M {\displaystyle M[a,e]<M} d 1 = M − M [ a , e ] {\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]} x {\displaystyle x} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} f ( x ) ≤ M − d 1 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} d / 2 {\displaystyle d/2} d 1 {\displaystyle d_{1}} f ( x ) ≤ M − d 2 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M {\displaystyle M}

Расширение до полунепрерывных функций

Если непрерывность функции f ослабляется до полунепрерывности , то соответствующая половина теоремы об ограниченности и теоремы об экстремальном значении справедливы, и значения –∞ или +∞ соответственно из расширенной действительной числовой прямой могут быть допущены в качестве возможных значений. [ необходимо разъяснение ]

Функция называется полунепрерывной сверху, если f : [ a , b ] → [ − ∞ , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )} lim sup y → x f ( y ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}

Теорема  —  Если функция f  : [ a , b ] → [–∞, ∞) полунепрерывна сверху, то f ограничена сверху и достигает своей супремума.

Доказательство

Если для всех x из [ a , b ], то супремум также равен и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство является небольшой модификацией доказательств, приведенных выше. В доказательстве теоремы об ограниченности верхняя полунепрерывность f в точке x означает только то, что верхний предел подпоследовательности { f ( x n k )} ограничен сверху значением f ( x ) < ∞, но этого достаточно, чтобы получить противоречие. В доказательстве теоремы об экстремальном значении верхняя полунепрерывность f в точке d означает, что верхний предел подпоследовательности { f ( d n k )} ограничен сверху значением f ( d ), но этого достаточно, чтобы заключить, что f ( d ) = M .  ∎ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle f(x)=-\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }


Применение этого результата к − f доказывает аналогичный результат для инфимумов нижних полунепрерывных функций. Функция называется нижней полунепрерывной, если f : [ a , b ] → [ − ∞ , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )} lim inf y → x f ( y ) ≥ f ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}

Теорема  —  Если функция f  : [ a , b ] → (–∞, ∞] полунепрерывна снизу, то f ограничена снизу и достигает своей нижней грани .

Действительная функция полунепрерывна как сверху, так и снизу, если и только если она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, эти две теоремы влекут за собой теорему об ограниченности и теорему об экстремальном значении.

Ссылки

  1. ^ Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). «Больцано и равномерная непрерывность». Historia Mathematica . 32 (3): 303–311. doi :10.1016/j.hm.2004.11.003.
  2. ^ ab Rudin, Walter (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw Hill. С. 89–90. ISBN 0-07-054235-X.
  3. ^ Кейслер, Х. Джером (1986). Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым (PDF) . Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. стр. 164. ISBN 0-87150-911-3.

Дальнейшее чтение

  • Адамс, Роберт А. (1995). Исчисление: Полный курс . Чтение: Addison-Wesley. стр. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
  • Protter, MH ; Morrey, CB (1977). «Теоремы об ограниченности и экстремальных значениях». Первый курс по реальному анализу . Нью-Йорк: Springer. С. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Extreme_value_theorem&oldid=1240044960"