Интеграл Римана–Лиувилля

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике интеграл Римана –Лиувилля связывает с вещественной функцией другую функцию I ^α f того же вида для каждого значения параметра α > 0 . Интеграл является способом обобщения повторной первообразной функции f в том смысле, что для положительных целых значений α , I ^α f является итерированной первообразной функции f порядка α . Интеграл Римана–Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля , последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. ^{[1] [2] [3] [4]} Оператор согласуется с преобразованием Эйлера , в честь Леонарда Эйлера , при применении к аналитическим функциям . ^[5] Он был обобщен на произвольные размерности Марселем Риссом , который ввел потенциал Рисса .${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

Интеграл Римана-Лиувилля мотивирован формулой Коши для повторного интегрирования. Для функции f, непрерывной на интервале [ a , x ], формула Коши для n -кратного повторного интегрирования утверждает, что

$${\displaystyle I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Теперь эту формулу можно обобщить на любое положительное действительное число, заменив положительное целое число n на α . Таким образом, мы получаем определение дробного интеграла Римана-Лиувилля:

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,\mathrm {d} t}$

Интеграл Римана–Лиувилля определяется как

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$

где Γ — гамма-функция , а a — произвольная, но фиксированная базовая точка. Интеграл хорошо определен при условии, что f — локально интегрируемая функция , а α — комплексное число в полуплоскости Re( α ) > 0 . Зависимость от базовой точки a часто подавляется и представляет собой свободу в константе интегрирования . Очевидно, что I ¹ f — первообразная f (первого порядка), а для положительных целых значений α I ^α f — первообразная порядка α по формуле Коши для повторного интегрирования . Другое обозначение , которое подчеркивает базовую точку, — ^[6]

${\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

Это также имеет смысл, если a = −∞ , с подходящими ограничениями на f .

Фундаментальные соотношения сохраняются

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

последнее из которых является свойством полугруппы . ^[1] Эти свойства делают возможным не только определение дробного интегрирования, но и дробного дифференцирования, взяв достаточное количество производных от I ^α f .

Зафиксируем ограниченный интервал ( a , b ) . Оператор I ^α сопоставляет каждой интегрируемой функции f на ( a , b ) функцию I ^α f на ( a , b ), которая также интегрируема по теореме Фубини . Таким образом, I ^α определяет линейный оператор на L ¹ ( a , b ) :

${\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}$

Теорема Фубини также показывает, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на L ¹ и что выполняется следующее неравенство:

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Здесь ‖ · ‖ ₁ обозначает норму на L ¹ ( a , b ) .

В более общем случае из неравенства Гёльдера следует, что если f ∈ L ^p ( a , b ) , то также I ^α f ∈ L ^p ( a , b ) , и аналогичное неравенство выполняется

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}$

где ‖ · ‖ _p — норма L ^p на интервале ( a , b ) . Таким образом, мы имеем ограниченный линейный оператор I ^α  : L ^p ( a , b ) → L ^p ( a , b ) . Более того, I ^α f → f в смысле L ^p при α → 0 вдоль действительной оси. То есть

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

для всех p ≥ 1. Более того, оценивая максимальную функцию I , можно показать, что предел I ^α f → f выполняется поточечно почти всюду .

Оператор I ^α корректно определен на множестве локально интегрируемых функций на всей действительной прямой . Он определяет ограниченное преобразование на любом из банаховых пространств функций экспоненциального типа, состоящих из локально интегрируемых функций, для которых норма${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt),}$

${\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

конечна. Для f ∈ X σ _{преобразование} Лапласа I α f ^{принимает} особенно простую форму

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}$

для Re( s ) > σ . Здесь F ( s ) обозначает преобразование Лапласа функции f , и это свойство выражает, что ^Iα является множителем Фурье .

Можно также определить производные дробного порядка функции f с помощью

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}$

где ⌈ · ⌉ обозначает функцию потолка . Также можно получить дифференциально-интегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием, определив

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}$

Альтернативная дробная производная была введена Капуто в 1967 году ^[7] и дает производную, которая имеет другие свойства: она дает ноль из постоянных функций и, что более важно, начальные значения членов преобразования Лапласа выражаются посредством значений этой функции и ее производной целого порядка, а не производных дробного порядка, как в производной Римана–Лиувилля. ^[8] Дробная производная Капуто с базовой точкой x тогда равна:

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.}$

Другое представление:

${\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}$

Предположим, что f ( x ) — одночлен вида

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

Первая производная, как обычно

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Повторение этого дает более общий результат:

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}$

что после замены факториалов гамма-функцией приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\quad \ k>0.}$

Для k = 1 и a = ⁠1/2⁠ , мы получаем полупроизводную функциикак${\displaystyle x\mapsto x}$

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}$

Чтобы продемонстрировать, что это на самом деле «полупроизводная» (где H ² f ( x ) = Df ( x ) ), мы повторяем процесс и получаем:

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}$

(потому что и Γ(1) = 1 ), что действительно является ожидаемым результатом${\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}$

Для отрицательной целой степени k 1/ равно 0, поэтому удобно использовать следующее соотношение: ^[9]${\textstyle \Gamma }$

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}$

Это расширение вышеуказанного дифференциального оператора не обязательно должно быть ограничено только действительными степенями; оно также применимо к комплексным степеням. Например, (1 + i ) -я производная (1 − i ) -й производной дает вторую производную. Также задание отрицательных значений для a дает интегралы.

Для общей функции f ( x ) и 0 < α < 1 полная дробная производная равна

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}$

Для произвольного α , поскольку гамма-функция бесконечна для отрицательных (действительных) целых чисел, необходимо применить дробную производную после того, как была выполнена целочисленная производная. Например,

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (May 2020) (Learn how and when to remove this message)

Мы также можем прийти к вопросу через преобразование Лапласа . Зная, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

и

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

и так далее, мы утверждаем

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$.

Например,

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$

как и ожидалось. Действительно, учитывая правило свертки

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$

и сокращая p ( x ) = x ^{α − 1} для ясности, мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$

что и дал нам Коши выше.

Преобразования Лапласа «работают» с относительно небольшим числом функций, но они часто полезны для решения дробных дифференциальных уравнений.

• Дробная производная Капуто

• Брычков, Ю.А.; Прудников, А.П. (2001) [1994], "Преобразование Эйлера", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Капуто, Мишель (1967), «Линейная модель диссипации, Q которой почти не зависит от частоты. II», Geophysical Journal International , 13 (5): 529– 539, Bibcode : 1967GeoJ...13..529C, doi : 10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Лизоркин, ПИ (2001) [1994], "Дробное интегрирование и дифференцирование", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• Ловерро, Адам (2004-05-08), Дробное исчисление: история, определения и применение для инженеров (PDF) , Нотр-Дам, Индиана: Университет Нотр-Дам, архивировано из оригинала (PDF) 2005-10-29
• Миллер, Кеннет С.; Росс, Бертрам (1993), Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Рис, Марсель (1949), «Интеграль Римана-Лиувилля и проблема Коши», Acta Mathematica , 81 (1): 1–223 , doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN  0001-5962, MR  0030102.

• Алан Бирдон (2000). «Дробное исчисление II». Кембриджский университет.
• Алан Бирдон (2000). «Дробное исчисление III». Кембриджский университет.