Максимальная функция

Максимальные функции появляются во многих формах в гармоническом анализе (область математики ). Одной из самых важных из них является максимальная функция Харди–Литтлвуда . Они играют важную роль в понимании, например, свойств дифференцируемости функций, сингулярных интегралов и уравнений в частных производных. Они часто обеспечивают более глубокий и упрощенный подход к пониманию проблем в этих областях, чем другие методы.

В своей оригинальной статье GH Hardy и JE Littlewood объяснили свое максимальное неравенство на языке средних значений крикета . При заданной функции f на R ⁿ нецентрированная максимальная функция Харди–Литтлвуда Mf от f определяется как

${\displaystyle (Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|}$

при каждом x в R ⁿ . Здесь супремум берется по шарам B в R ⁿ , которые содержат точку x , а | B | обозначает меру B (в этом случае кратную радиусу шара, возведенному в степень n ). Можно также изучить центрированную максимальную функцию, где супремум берется только по шарам B , которые имеют центр x . На практике между ними мало разницы.

Следующие утверждения являются центральными для полезности максимального оператора Харди–Литтлвуда. ^[1]

• (a) Для f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 ≤ p ≤ ∞) Mf конечно почти всюду.
• (б) Если f ∈ L ¹ ( R ⁿ ), то существует c такое, что для всех α > 0

${\displaystyle |\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f|.}$

• (c) Если f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 < p ≤ ∞), то Mf ∈ L ^p ( R ⁿ ) и

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},}$

где A зависит только от p и c .

Свойства (b) называются слабой границей типа Mf . Для интегрируемой функции это соответствует элементарному неравенству Маркова ; однако Mf никогда не интегрируемо, если только f = 0 почти всюду, так что доказательство слабой границы (b) для Mf требует менее элементарного аргумента из геометрической теории меры, такого как лемма Витали о покрытии . Свойство (c) говорит, что оператор M ограничен на L ^p ( R ⁿ ); это, очевидно, верно, когда p = ∞, поскольку мы не можем взять среднее значение ограниченной функции и получить значение, большее, чем наибольшее значение функции. Свойство (c) для всех других значений p затем может быть выведено из этих двух фактов с помощью аргумента интерполяции .

Стоит отметить, что (c) не выполняется при p = 1. Это можно легко доказать, вычислив M χ, где χ — характеристическая функция единичного шара с центром в начале координат.

Максимальный оператор Харди–Литтлвуда встречается во многих работах, но некоторые из его наиболее заметных применений встречаются в доказательствах теоремы Лебега о дифференцировании и теоремы Фату , а также в теории сингулярных интегральных операторов .

Некасательная максимальная функция принимает функцию F, определенную на верхней полуплоскости

${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}}$

и создает функцию F*, определенную на R ⁿ с помощью выражения

${\displaystyle F^{*}(x)=\sup _{|xy|<t}|F(y,t)|.}$

Заметим, что для фиксированного x множество представляет собой конус с вершиной в точке ( x ,0) и осью, перпендикулярной границе R ⁿ . Таким образом, некасательный максимальный оператор просто берет супремум функции F по конусу с вершиной на границе R ⁿ .${\displaystyle \{(y,t)\ :\ |xy|<t\}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}}$

Одна особенно важная форма функций F , в которой изучение некасательной максимальной функции является важным, образуется из приближения к тождеству . То есть мы фиксируем интегрируемую гладкую функцию Φ на R ⁿ такую, что

${\displaystyle \int _ {\mathbf {R} ^{n}}\Phi =1}$

и установить

${\displaystyle \Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})}$

для t > 0. Затем определяем

${\displaystyle F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(xy)\Phi _{t}(y)\,dy.}$

Можно показать ^[1], что

${\displaystyle \sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi }$

и, следовательно, получаем, что сходится к f в L ^p ( R ⁿ ) для всех 1 ≤ p < ∞. Такой результат можно использовать, чтобы показать, что гармоническое расширение функции L ^p ( R ⁿ ) на верхнюю полуплоскость сходится некасательно к этой функции. Более общие результаты можно получить, если заменить лапласиан эллиптическим оператором с помощью аналогичных методов.${\displaystyle f\ast \Phi _{t}(x)}$

Более того, при некоторых соответствующих условиях можно получить, что${\displaystyle \Фи}$

${\displaystyle F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)}$.

Для локально интегрируемой функции f на Rn точная максимальная функция определяется ^как${\displaystyle f^{\sharp}}$

${\displaystyle f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy}$

для каждого x в R ⁿ , где супремум берется по всем шарам B и является интегральным средним по шару . ^[2]${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Б}$

Функция sharp может быть использована для получения поточечного неравенства относительно сингулярных интегралов . Предположим, что у нас есть оператор T , который ограничен на L ² ( R ⁿ ), поэтому мы имеем

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

для всех гладких и компактно поддерживаемых f . Предположим также, что мы можем реализовать T как свертку против ядра K в том смысле, что всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.}$

Наконец, мы предполагаем условие размера и гладкости ядра K :

${\displaystyle |K(xy)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},}$

когда . Тогда для фиксированного r > 1 имеем${\displaystyle |x|\geq 2|y|}$

${\displaystyle (T(f))^{\sharp}(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)}$

для всех x в R ⁿ . ^[1]

Пусть — вероятностное пространство, а T  : X → X — сохраняющий меру эндоморфизм X. Максимальная функция f ∈ L ¹ ( X , m ) равна${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},м)}$

${\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.}$

Максимальная функция f подтверждает слабую границу, аналогичную максимальному неравенству Харди–Литтлвуда :

${\displaystyle m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},}$

это переформулировка максимальной эргодической теоремы .

Если — мартингал , мы можем определить максимальную функцию мартингала как . Если существует, многие результаты, которые справедливы в классическом случае (например, ограниченность в и слабое неравенство), справедливы относительно и . ^[3]${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|}$${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$${\displaystyle L^{p},1<p\leq \infty}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}}$

• Л. Графакос, Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., Нью-Джерси, 2004 г.
• Э. М. Штейн, Гармонический анализ , Princeton University Press, 1993
• Э. М. Стайн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton University Press, 1971
• Э. М. Штейн, « Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли» , Princeton University Press, 1970