Неравенство Гельдера

В математическом анализе неравенство Гёльдера , названное в честь Отто Гёльдера , является фундаментальным неравенством между интегралами и незаменимым инструментом для изучения пространств L ^p .

Числа p и q выше называются сопряженными по Гёльдеру друг другу. Частный случай p = q = 2 дает форму неравенства Коши–Шварца . ^[1] Неравенство Гёльдера выполняется, даже если ‖ fg ‖ 1 бесконечно , правая часть _также бесконечна в этом случае. Обратно, если f принадлежит L ^p ( μ ) и g принадлежит L ^q ( μ ) , то поточечное произведение fg принадлежит L ¹ ( μ ) .

Неравенство Гёльдера используется для доказательства неравенства Минковского , которое является неравенством треугольника в пространстве L ^p ( μ ) , а также для установления того, что L ^q ( μ ) является сопряженным пространством к L ^p ( μ ) при p ∈ [1, ∞) .

Неравенство Гёльдера (в несколько иной форме) впервые было найдено Леонардом Джеймсом Роджерсом  (1888). Вдохновленный работой Роджерса, Гёльдер (1889) дал другое доказательство в рамках работы, развивающей концепцию выпуклых и вогнутых функций и вводящей неравенство Йенсена , ^[2] которое, в свою очередь, было названо в честь работы Йохана Йенсена, основанной на работе Гёльдера. ^[3]

Краткая формулировка неравенства Гёльдера использует некоторые соглашения.

• В определении сопряженных чисел Гельдера 1/∞ означает ноль.
• Если p , q ∈ [1, ∞) , то ‖ f  ‖ _p и ‖ g ‖ _q обозначают (возможно, бесконечные) выражения

${\displaystyle {\begin{align}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{align}}}$

• Если p = ∞ , то ‖ f  ‖ _∞ обозначает существенный супремум | f |  , аналогично для ‖ g ‖ _∞ .
• Обозначение ‖ f  ‖ _p с 1 ≤ p ≤ ∞ является небольшим злоупотреблением, поскольку в общем случае это только норма f , если ‖ f  ‖ _p конечно, а f рассматривается как класс эквивалентности μ - почти всюду равных функций. Если f ∈ L ^p ( μ ) и g ∈ L ^q ( μ ) , то обозначение является адекватным.
• В правой части неравенства Гёльдера 0 × ∞, а также ∞ × 0 означают 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Как и выше, пусть f и g обозначают измеримые действительные или комплексные функции, определенные на S. Если ‖ fg ‖ ₁ конечно, то поточечные произведения f на g и ее комплексно сопряженную функцию μ -интегрируемы, оценка

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\ mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

и аналогичное для fg справедливо, и неравенство Гельдера можно применить к правой части. В частности, если f и g находятся в гильбертовом пространстве L ² ( μ ) , то неравенство Гельдера для p = q = 2 влечет

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

где угловые скобки относятся к внутреннему произведению L ² ( μ ) . Это также называется неравенством Коши–Шварца , но для его утверждения требуется, чтобы ‖ f ‖ 2 _и ‖ g ‖ 2 _были конечны, чтобы гарантировать, что внутреннее произведение f и g хорошо определено. Мы можем восстановить исходное неравенство (для случая p = 2 ), используя функции | f | и | g | вместо f и g .  

Если ( S , Σ, μ ) является вероятностным пространством , то p , q ∈ [1, ∞] просто должны удовлетворять 1/ p + 1/ q ≤ 1 , а не быть сопряженными по Гёльдеру. Комбинация неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена подразумевает, что

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

для всех измеримых действительных или комплексных функций f и g на  S.

Для следующих случаев предположим, что p и q находятся в открытом интервале (1,∞) с 1/ p + 1/ q = 1 .

Для -мерного евклидова пространства , когда множество имеет счетную меру , имеем${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \{1,\точки,n\}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ для всех }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ или }}\mathbb {C} ^{n}.}$

Часто для любого случая используется следующая практическая форма :${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Для более чем двух сумм справедливо следующее обобщение (Чен (2015)) с действительными положительными показателями и :${\displaystyle \лямбда _{я}}$${\displaystyle \lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{a}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{b}}\cdots {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{z}}.}$

Равенство имеет место тогда и только тогда .${\displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|}$

Если использовать счетную меру, то мы получаем неравенство Гёльдера для пространств последовательностей :${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ для всех }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ или }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

Если — измеримое подмножество с мерой Лебега , а и — измеримые действительные или комплексные функции на , то неравенство Гёльдера имеет вид${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Для вероятностного пространства пусть обозначает оператор ожидания . Для действительных или комплексных случайных величин и неравенство Гельдера читается как${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Омега,}$

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Пусть и определим Тогда — сопряжение Гельдера с Применяем неравенство Гельдера к случайным величинам и получаем${\displaystyle 1<r<s<\infty }$${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle с.}$${\displaystyle |X|^{r}}$${\displaystyle 1_{\Омега}}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

В частности, если s- ^й абсолютный момент конечен, то r  ^-й абсолютный момент также конечен. (Это также следует из неравенства Йенсена .)

Для двух σ-конечных пространств с мерой ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) и ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) определим пространство с мерой произведения следующим образом:

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

где S — декартово произведение S ₁ и S ₂ , σ-алгебра Σ возникает как произведение σ-алгебры Σ ₁ и Σ ₂ , а μ обозначает меру произведения μ ₁ и μ ₂ . Тогда теорема Тонелли позволяет нам переписать неравенство Гёльдера с использованием повторных интегралов : Если  f и g — Σ -измеримые действительные или комплексные функции на декартовом произведении  S , то

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Это можно обобщить на более чем два σ-конечных мерных пространства.

Пусть ( S , Σ, μ ) обозначает σ-конечное мерное пространство и предположим, что f = ( f ₁ , ..., f _n ) и g = ( g ₁ , ..., g _n ) являются Σ -измеримыми функциями на S , принимающими значения в n -мерном вещественном или комплексном евклидовом пространстве. Взяв произведение с мерой подсчета на {1, ..., n } , мы можем переписать приведенную выше версию неравенства Гёльдера с мерой произведения в виде

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Если два интеграла в правой части конечны, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α , β ≥ 0 , не оба равные нулю, такие, что

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

для μ - почти всех x в S .

Эта конечномерная версия обобщается на функции f и g, принимающие значения в нормированном пространстве , которое может быть, например, пространством последовательностей или пространством скалярного произведения .

Существует несколько доказательств неравенства Гёльдера; основная идея в следующем — неравенство Юнга для произведений .

Альтернативное доказательство с использованием неравенства Йенсена:

Мы также могли бы обойти использование неравенств Юнга и Йенсена. Доказательство ниже также объясняет, почему и где показатель Гельдера появляется естественным образом.

Предположим, что 1 ≤ p < ∞ и пусть q обозначает сопряжение Гельдера. Тогда для каждого f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

где max указывает, что на самом деле существует g, максимизирующий правую часть. Когда p = ∞ и если каждое множество A в σ-поле Σ с μ ( A ) = ∞ содержит подмножество B ∈ Σ с 0 < μ ( B ) < ∞ (что верно, в частности, когда μ является σ-конечным ), то

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Доказательство экстремального равенства:

• Равенство для нарушается всякий раз, когда существует множество бесконечной меры в -поле с , которое не имеет подмножества , которое удовлетворяет: (простейшим примером является -поле, содержащее только пустое множество и и меру с ) Тогда индикаторная функция удовлетворяет , но каждое должно быть -почти всюду постоянным на , поскольку оно -измеримо, и эта константа должна быть равна нулю, поскольку является -интегрируемым. Следовательно, указанный выше супремум для индикаторной функции равен нулю, и экстремальное равенство нарушается.${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle B\in \Sigma }$${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$ ${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 1_{A}}$
• Ибо супремум в общем случае не достигается. В качестве примера пусть и счетная мера. Определим:${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Тогда Для с пусть обозначает наименьшее натуральное число с Тогда${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

• Экстремальное равенство является одним из способов доказательства неравенства треугольника ‖ f ₁ + f ₂ ‖ _p ≤ ‖ f ₁ ‖ _p + ‖ f ₂ ‖ _p для всех f ₁ и f ₂ из L ^p ( μ ) , см. неравенство Минковского .
• Из неравенства Гёльдера следует, что каждая f ∈ L ^p ( μ ) определяет ограниченный (или непрерывный) линейный функционал κ _f на L ^q ( μ ) по формуле

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

Экстремальное равенство (когда оно верно) показывает, что норма этого функционала κ _f как элемента непрерывного сопряженного пространства L ^q ( μ ) ^* совпадает с нормой f в L ^p ( μ ) (см. также статью о L ^p -пространстве ).

Предположим, что r ∈ (0, ∞] и p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] такие, что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

где 1/∞ в этом уравнении интерпретируется как 0. Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f ₁ , ..., f _{n ,} определенных на S ,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}}$

где мы интерпретируем любое произведение с множителем ∞ как ∞, если все множители положительны, но произведение равно 0, если любой множитель равен 0.

В частности, если для всех то${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Примечание: Вопреки обозначениям, ‖ . ‖ _r в общем случае не является нормой, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника .${\displaystyle r\in (0,1),}$

Доказательство обобщения:

Пусть p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] и пусть θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) обозначают веса с θ ₁ + ... + θ _n = 1 . Определим как взвешенное гармоническое среднее , то есть,${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Если заданы измеримые действительные или комплексные функции на S , то приведенное выше обобщение неравенства Гёльдера дает${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

В частности, взятие дает${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Уточняя далее θ ₁ = θ и θ ₂ = 1- θ , в этом случае получаем результат интерполяции${\displaystyle n=2,}$

Применение Гельдера дает

И Литтлвуд, и Ляпунов подразумевают, что если то для всех ^[4]${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$${\displaystyle f\in L^{p}}$${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Предположим, что p ∈ (1, ∞) и что пространство меры ( S , Σ, μ ) удовлетворяет μ ( S ) > 0. Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f и g на S, таких, что g ( s ) ≠ 0 для μ -почти всех s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Если

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

то обратное неравенство Гельдера является равенством тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Примечание: Выражения:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}}$и${\displaystyle \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

не являются нормами, это просто компактные обозначения для

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Обратное неравенство Гельдера (выше) можно обобщить на случай множественных функций, если все сопряженные функции, кроме одной, отрицательны. То есть,

Пусть и таковы, что (следовательно ). Пусть будут измеримыми функциями для . Тогда${\displaystyle p_{1},...,p_{m-1}<0}$${\displaystyle p_{m}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{p_{k}}}=1}$${\displaystyle 0<p_{m}<1}$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle k=1,...,m}$

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{m}f_{k}\right\|_{1}\geq \prod _{k=1}^{m}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}.}$

Это следует из симметричной формы неравенства Гёльдера (см. ниже).

Аксель и Беккенбах ^[5] заметили, что неравенство Гёльдера можно представить в более симметричной форме, ценой введения дополнительного вектора (или функции):

Пусть — векторы с положительными элементами и такие, что для всех . Если — ненулевые действительные числа, такие, что , то:${\displaystyle f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))}$${\displaystyle f(i)g(i)h(i)=1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0}$

• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1}$если все, кроме одного, положительны;${\displaystyle p,q,r}$
• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1}$если все, кроме одного, отрицательны.${\displaystyle p,q,r}$

Стандартное неравенство Гельдера немедленно следует из этой симметричной формы (и, как легко видеть, оно эквивалентно ей). Симметричное утверждение также подразумевает обратное неравенство Гельдера (см. выше).

Результат можно распространить на несколько векторов:

Пусть будут векторами в с положительными элементами и такими, что для всех . Если будут ненулевыми действительными числами, такими, что , то:${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0}$

• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1}$если все числа, кроме одного, положительны;${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1}$если все числа, кроме одного, отрицательные.${\displaystyle p_{i}}$

Как и в стандартных неравенствах Гёльдера, существуют соответствующие утверждения для бесконечных сумм и интегралов.

Пусть (Ω, F , )${\displaystyle \mathbb {P} }$ — вероятностное пространство, G ⊂ F — подалгебра σ , а p , q ∈ ( 1, ∞) сопряжены по Гёльдеру, что означает, что 1/ p + 1/ q = 1. Тогда для всех действительных или комплексных случайных величин X и Y на  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Замечания:

• Если неотрицательная случайная величина Z имеет бесконечное математическое ожидание , то ее условное ожидание определяется как

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• В правой части условного неравенства Гёльдера 0 умножить на ∞, а также ∞ умножить на 0 означает 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Доказательство условного неравенства Гёльдера: