Верхняя полуплоскость

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Upper half-plane" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике верхняя полуплоскость , ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ — это множество точек ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)}$ в декартовой плоскости с ⁠ ⁠${\displaystyle у>0.}$ Нижняя полуплоскость — это множество точек ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)}$ с ⁠ ⁠${\displaystyle у<0}$ вместо. Каждая из них является примером двумерного полупространства .

Аффинные преобразования верхней полуплоскости включают в себя

1. сдвиги , , и${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
2. расширения ,${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle \lambda >0.}$

Предложение: Пусть ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ и ⁠ ⁠ — ${\displaystyle B}$полуокружности в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое переводит в .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Доказательство: Сначала сдвинем центр ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ в ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0).}$ Затем возьмем${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

и растянуть. Затем сместить ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0)}$ в центр ⁠ ⁠${\displaystyle B.}$

Определение: .${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ можно распознать как окружность радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ с центром в ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$ и как полярный график ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

Предложение: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$ ⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$ в ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle (1,\tan \theta )}$ являются коллинеарными точками .

На самом деле, является инверсией линии в единичной окружности . Действительно, диагональ от ⁠ ⁠ до ⁠ ⁠ имеет квадратную длину , так что является обратной величиной этой длины.${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,\tan \theta )}$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

Расстояние между любыми двумя точками ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: перпендикуляр к отрезку от ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ до ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ либо пересекает границу, либо параллелен ей. В последнем случае ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическая мера может быть использована для определения расстояния, которое инвариантно относительно растяжения. В первом случае ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ лежат на окружности с центром в пересечении их перпендикуляра и границы. По приведенному выше предложению эта окружность может быть перемещена аффинным движением в ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ Расстояния на ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ могут быть определены с помощью соответствия с точками на и логарифмической меры на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Общее название этого метрического пространства — гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эта модель часто обозначается как модель полуплоскости Пуанкаре .${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует множеству комплексных чисел с положительной мнимой частью :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

Термин возникает из общей визуализации комплексного числа как точки на плоскости, наделенной декартовыми координатами . Когда ось ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над осью и, таким образом, комплексные числа, для которых .${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y>0}$

Это область многих функций, представляющих интерес в комплексном анализе , особенно модулярных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая ⁠ ⁠,${\displaystyle y<0}$ столь же хороша, но по соглашению используется реже. Открытый единичный круг ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (множество всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы) эквивалентен конформным отображением ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ( см. « Метрика Пуанкаре »), что означает, что обычно можно перейти между ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

Она также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре обеспечивает способ изучения гиперболических движений . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику на пространстве.

Теорема об униформизации поверхностей утверждает, что верхняя полуплоскость является универсальным накрывающим пространством поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Замкнутая верхняя полуплоскость — это объединение верхней полуплоскости и действительной оси. Это замыкание верхней полуплоскости.

Одним из естественных обобщений в дифференциальной геометрии является гиперболическое -пространство ${\displaystyle n}$ ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$ максимально симметричное, односвязное , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерное риманово многообразие с постоянной секционной кривизной . В этой терминологии верхняя полуплоскость ⁠ ⁠ поскольку она имеет действительную размерность ⁠ ⁠${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$

В теории чисел теория модулярных форм Гильберта занимается изучением определенных функций на прямом произведении ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$ копий ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ верхней полуплоскости. Еще одно пространство, интересное для теоретиков чисел, — это верхнее полупространство Зигеля ⁠ ⁠,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$ которое является областью модулярных форм Зигеля .

• Район Кусп
• Расширенная комплексная верхняя полуплоскость
• Группа фуксии
• Фундаментальный домен
• Полупространство
• Группа Кляйнианцев
• Модульная группа
• Модульный стек эллиптических кривых
• Риманова поверхность
• Теорема Шварца–Альфорса–Пика

• Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя полуплоскость». MathWorld .