Гипотеза Рамануджана–Петерссона

В математике гипотеза Рамануджана , выдвинутая Шринивасой Рамануджаном  (1916, стр. 176), утверждает, что тау-функция Рамануджана , заданная коэффициентами Фурье τ ( n ) параболической формы Δ( z ) веса 12

${\displaystyle \Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,}$

где , удовлетворяет${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2},}$

когда p — простое число . Обобщенная гипотеза Рамануджана или гипотеза Рамануджана–Петерссона , введенная Петерссоном  (1930), является обобщением на другие модулярные формы или автоморфные формы.

Дзета -функция Римана и L-функция Дирихле удовлетворяют произведению Эйлера ,

${\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\dots \right)}$

1

и из-за их полностью мультипликативного свойства

${\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}\left(1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

2

Существуют ли L-функции, отличные от дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, удовлетворяющие указанным выше соотношениям? Действительно, L-функции автоморфных форм удовлетворяют произведению Эйлера (1), но они не удовлетворяют (2), поскольку не обладают свойством полной мультипликативности. Однако Рамануджан обнаружил, что L-функция модульного дискриминанта удовлетворяет модифицированному соотношению

${\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}\right)^{-1},}$

3

где τ ( p ) — тау-функция Рамануджана . Член

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2s-11}}}}$

рассматривается как отличие от полностью мультипликативного свойства. Вышеуказанная L-функция называется L-функцией Рамануджана .

Рамануджан предположил следующее:

1. τ является мультипликативным ,
2. τ не является полностью мультипликативным, но для простых чисел p и j из N имеем: τ ( p ^{j +1} ) = τ ( p ) τ ( p ^j  ) − p ¹¹ τ ( p ^{j −1}  ) , и
3. | τ ( p )| ≤ 2 p ^11/2 .

Рамануджан заметил, что квадратное уравнение u = p ^{− s} в знаменателе правой части (3) ,

${\displaystyle 1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}}$

всегда будет иметь мнимые корни из многих примеров. Связь между корнями и коэффициентами квадратных уравнений приводит к третьему соотношению, называемому гипотезой Рамануджана . Более того, для тау-функции Рамануджана пусть корни приведенного выше квадратного уравнения будут α и β , тогда

${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )=\operatorname {Re} (\beta )=p^{11/2},}$

что выглядит как гипотеза Римана . Она подразумевает оценку, которая лишь немного слабее для всех τ ( n ) , а именно для любого ε > 0 :

${\displaystyle O\left(n^{11/2+\varepsilon }\right).}$

В 1917 году Л. Морделл доказал первые два соотношения, используя методы комплексного анализа, в частности, используя то, что сейчас известно как операторы Гекке . Третье утверждение следовало из доказательства гипотез Вейля Делинем (1974). Формулировки, необходимые для того, чтобы показать, что это было следствием, были деликатными и совсем не очевидными. Это была работа Мичио Куги с вкладами также Микио Сато , Горо Шимуры и Ясутаки Ихары , а затем Делиня (1971). Существование связи вдохновило некоторые глубокие работы в конце 1960-х годов, когда разрабатывались следствия теории этальных когомологий .

В 1937 году Эрих Гекке использовал операторы Гекке для обобщения метода доказательства Морделла первых двух гипотез на автоморфную L-функцию дискретных подгрупп Γ группы SL(2, Z ) . Для любой модулярной формы

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},}$

можно составить ряд Дирихле

${\displaystyle \varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Для модулярной формы f  ( z ) веса k ≥ 2 для Γ φ ( s ) абсолютно сходится в Re( s ) > k , поскольку an = _O ( n ^{k −1+ ε} ) . Поскольку f является модулярной формой веса k , ( s − k ) φ ( s ) оказывается целым и R ( s ) = (2 π ) ⁻ s ^Γ ( s ) φ ( s ) удовлетворяет функциональному уравнению :

${\displaystyle R(k-s)=(-1)^{k/2}R(s);}$

это было доказано Уилтоном в 1929 году. Это соответствие между f и φ является однозначным ( a ₀ = (−1) ^{k /2}  Res _{s = k}  R ( s ) ). Пусть g ( x ) = f  ( ix ) − a ₀ для x > 0 , тогда g ( x ) связана с R ( s ) посредством преобразования Меллина

${\displaystyle R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.}$

Это соответствие связывает ряды Дирихле, удовлетворяющие указанному выше функциональному уравнению, с автоморфной формой дискретной подгруппы SL(2, Z ) .

В случае k ≥ 3 Ганс Петерссон ввел метрику на пространстве модулярных форм, названную метрикой Петерссона (см. также метрику Вейля–Петерссона ). Эта гипотеза была названа в его честь. В метрике Петерссона показано, что мы можем определить ортогональность на пространстве модулярных форм как пространство параболических форм и его ортогональное пространство, и они имеют конечные размерности. Более того, мы можем конкретно вычислить размерность пространства голоморфных модулярных форм, используя теорему Римана–Роха (см. размерности модулярных форм ).

Делинь (1971) использовал изоморфизм Эйхлера–Шимуры , чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезам Вейля , которые он позже доказал. Более общая гипотеза Рамануджана–Петерссона для голоморфных параболических форм в теории эллиптических модулярных форм для конгруэнц-подгрупп имеет похожую формулировку с показателем ( k − 1)/2 , где k — вес формы. Эти результаты также следуют из гипотез Вейля , за исключением случая k = 1 , где это результат Делиня и Серра (1974).

Гипотеза Рамануджана–Петерссона для форм Мааса все еще открыта (по состоянию на 2022 год), поскольку метод Делиня, который хорошо работает в голоморфном случае, не работает в вещественно-аналитическом случае.

Сатаке (1966) переформулировал гипотезу Рамануджана–Петерссона в терминах автоморфных представлений для GL(2), утверждая, что локальные компоненты автоморфных представлений лежат в главной серии, и предложил это условие как обобщение гипотезы Рамануджана–Петерссона на автоморфные формы на других группах. Другой способ сказать это состоит в том, что локальные компоненты касповых форм должны быть смягчены. Однако несколько авторов нашли контрпримеры для анизотропных групп, где компонент на бесконечности не был смягчен. Курокава (1978) и Хау и Пятецки-Шапиро (1979) показали, что гипотеза также была ложной даже для некоторых квазирасщепленных и расщепленных групп, построив автоморфные формы для унитарной группы U(2, 1) и симплектической группы Sp(4) , которые не смягчены почти всюду, связанные с представлением θ ₁₀ .

После того, как были найдены контрпримеры, Хау и Пятецкий-Шапиро (1979) предположили, что переформулировка гипотезы все еще должна быть верна. Текущая формулировка обобщенной гипотезы Рамануджана предназначена для глобально общего каспидального автоморфного представления связной редуктивной группы , где общее предположение означает, что представление допускает модель Уиттекера . Она утверждает, что каждый локальный компонент такого представления должен быть смягчен. Это наблюдение, сделанное Ленглендсом , что установление функториальности симметричных степеней автоморфных представлений GL( n ) даст доказательство гипотезы Рамануджана–Петерссона.

Получение наилучших возможных границ для обобщенной гипотезы Рамануджана в случае числовых полей привлекло внимание многих математиков. Каждое улучшение считается вехой в мире современной теории чисел . Чтобы понять границы Рамануджана для GL( n ) , рассмотрим унитарное каспидальнoе автоморфное представление :

${\displaystyle \pi =\bigotimes \pi _{v}.}$

Классификация Бернштейна –Зелевинского говорит нам, что каждое p-адическое π _v может быть получено посредством унитарной параболической индукции из представления

${\displaystyle \tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}.}$

Здесь каждый из них является представлением GL( n _i ) над местом v в виде${\displaystyle \tau _{i,v}}$

${\displaystyle \tau _{i_{0},v}\otimes \left|\det \right|_{v}^{\sigma _{i,v}}}$

с закалкой. При n ≥ 2 граница Рамануджана — это число δ ≥ 0 такое, что${\displaystyle \tau _{i_{0},v}}$

${\displaystyle \max _{i}\left|\sigma _{i,v}\right|\leq \delta .}$

Для архимедовых мест можно использовать классификацию Ленглендса . Обобщенная гипотеза Рамануджана эквивалентна оценке δ = 0 .

Жаке, Пятецкий-Шапиро и Шалика (1983) получили первую границу δ ≤ 1/2 для общей линейной группы GL( n ) , известную как тривиальная граница. Важный прорыв был сделан Луо, Рудником и Сарнаком (1999), которые в настоящее время удерживают наилучшую общую границу δ ≡ 1/2 − ( n ² +1) ⁻¹ для произвольного n и любого числового поля . В случае GL(2) Ким и Сарнак установили прорывную границу δ = 7/64 , когда числовое поле является полем рациональных чисел , что получается как следствие результата о функториальности Кима (2002) для симметричной четвертой, полученного с помощью метода Ленглендса–Шахиди . Обобщение границ Кима-Сарнака на произвольное числовое поле возможно благодаря результатам Бломера и Брамли (2011).

Для редуктивных групп, отличных от GL( n ) , обобщенная гипотеза Рамануджана будет следовать из принципа функториальности Ленглендса . Важным примером являются классические группы , где наилучшие возможные границы были получены Когделлом и др. (2004) как следствие их функториального подъема Ленглендса .

Доказательство Дринфельда глобального соответствия Ленглендса для GL(2) над глобальным полем функций приводит к доказательству гипотезы Рамануджана–Петерссона. Лаффорг (2002) успешно распространил технику штуки Дринфельда на случай GL( n ) в положительной характеристике. С помощью другой техники, которая расширяет метод Ленглендса–Шахиди , чтобы включить глобальные поля функций, Ломели (2009) доказывает гипотезу Рамануджана для классических групп .

Приложением гипотезы Рамануджана является явное построение графов Рамануджана Любоцким , Филлипсом и Сарнаком . Действительно, название «граф Рамануджана» произошло от этой связи. Другое приложение состоит в том, что гипотеза Рамануджана–Петерссона для общей линейной группы GL( n ) влечет гипотезу Сельберга о собственных значениях лапласиана для некоторых дискретных групп.

• Бломер, Валентин; Брамли, Фаррелл (июль 2011 г.). «О гипотезе Рамануджана над числовыми полями». Annals of Mathematics . 174 (1): 581– 605. arXiv : 1003.0559 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.18. ISSN  0003-486X. MR  2811610. S2CID  54686173.
• Когделл, Дж.В.; Ким, ХХ; Пятецкий-Шапиро, II; Шахиди, Ф. (июнь 2004 г.). «Функториальность для классических групп». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 99 (1): 163–233 . CiteSeerX  10.1.1.495.6662 . doi : 10.1007/s10240-004-0020-z. ISSN  0073-8301. S2CID  7731057.
• Делинь, Пьер (1971). «Модульные формы и специальные представления». Семинар Бурбаки. 1968/69: Разоблачения 347–363 . Конспекты лекций по математике. Том. 179. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0058801. ISBN 978-3-540-05356-9.
• Делинь, Пьер (декабрь 1974 г.). «Гипотеза де Вейля. I». Публикации Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке). 43 (1): 273–307 . doi : 10.1007/BF02684373. ISSN  0073-8301. MR  0340258. S2CID  123139343.
• Делинь, Пьер ; Серр, Жан-Пьер (1974). «Модульные формы мышц». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 4. 7 (4): 507–530 . doi : 10.24033/asens.1277 . ISSN  0012-9593. МР  0379379.
• Howe, Roger ; Piatetski-Shapiro, II; et al. (American Mathematical Society) (1979). "Контрпример к "обобщенной гипотезе Рамануджана" для (квази-) расщепляемых групп". В Borel, Armand ; Casselman, Bill (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции . Труды симпозиумов по чистой математике. Providence, RI: American Mathematical Society . стр.  315–322 . ISBN 978-0-8218-1435-2. МР  0546605.
• Жаке, Х.; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, Дж. А. (апрель 1983 г.). «Свертки Рэнкина-Сельберга». Американский журнал математики . 105 (2): 367. дои : 10.2307/2374264. JSTOR  2374264. S2CID  124304599.
• Ким, Генри (2002). «Функториальность для внешнего квадрата 𝐺𝐿₄ и симметричной четвертой части 𝐺𝐿₂» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 16 (1): 139– 183. doi :10.1090/S0894-0347-02-00410-1. ISSN  0894-0347.
• Курокава, Нобусигэ (июнь 1978 г.). "Примеры собственных значений операторов Гекке на параболических формах Зигеля второй степени". Inventiones Mathematicae . 49 (2): 149– 165. Bibcode :1978InMat..49..149K. doi :10.1007/BF01403084. ISSN  0020-9910. MR  0511188. S2CID  120041528.
• Langlands, RP (1970). "Проблемы теории автоморфных форм". В Taam, Choy T. (ред.). Лекции по современному анализу и приложениям. 3. Заметки лекций по математике. Том 170. Берлин: Springer . С.  18– 61. doi :10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. МР  0302614.
• Ломели, ЛА (2009). «Функториальность для классических групп над функциональными полями». Международные уведомления по математическим исследованиям : 4271– 4335. doi : 10.1093/imrn/rnp089. ISSN  1073-7928. MR  2552304.
• Luo, Wenzhi; Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1999). Doran, Robert; Dou, Ze-Li; Gilbert, George (ред.). "On the generalized Ramanujan conjecture for 𝐺𝐿(𝑛)". Proc. Sympos. Pure Math. Труды симпозиумов по чистой математике. 66 (2). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество: 301– 310. doi :10.1090/pspum/066.2/1703764. ISBN 978-0-8218-1051-4.
• Петерссон, Ганс (декабрь 1930 г.). «Теория автоморфен Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen». Mathematische Annalen (на немецком языке). 103 (1): 369–436 . doi : 10.1007/BF01455702. ISSN  0025-5831. S2CID  122378161.
• Борель, Арманд; Кассельман, В. (1979). "Теоремы кратности один". В Борель, Арманд ; Кассельман., В. (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции . Труды симпозиумов по чистой математике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр.  209–212 . ISBN 978-0-8218-1474-1. МР  0546599.
• Рамануджан, Шриниваса (1916). «О некоторых арифметических функциях» (PDF) . Труды Кембриджского философского общества . XXII (9): 159– 184.Перепечатано в Ramanujan Aiyangar, Srinivasa (2000). "Paper 18". В Hardy, Godfrey H. (ред.). Сборник статей Srinivasa Ramanujan (переиздание). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. стр.  136–162 . ISBN 978-0-8218-2076-6. МР  2280843.
• Sarnak, Peter (2005). "Notes on the generalized Ramanujan conjectures" (PDF) . В Clay Mathematics Institute; Arthur, James; Ellwood, D.; Kottwitz, Robert E. (ред.). Гармонический анализ, формула следа и многообразия Шимуры: труды Clay Mathematics Institute, летняя школа 2003 г., Институт Филдса, Торонто, Канада, 2-27 июня 2003 г. Труды Clay Mathematics. Том 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр.  659–685 . ISBN 978-0-8218-3844-0. MR  2192019. OCLC  62282742.
• Сатаке, Ичиро (1966). «Сферические функции и гипотеза Рамануджана». В Бореле, Арман ; Мостоу, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Боулдер, Колорадо, 1965) . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. IX. Провиденс, Род-Айленд, стр.  258–264 . ISBN. 978-0-8218-3213-4. МР  0211955.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)