Автоморфная L-функция

В математике автоморфная L -функция — это функция L ( s ,π, r ) комплексной переменной s , связанная с автоморфным представлением π редуктивной группы G над глобальным полем и конечномерным комплексным представлением r двойственной группы Ленглендса L ^G группы G , обобщающим ряд Дирихле L характера Дирихле и преобразование Меллина модулярной формы . Они были введены Ленглендсом  (1967, 1970, 1971).

Борель (1979) и Артур и Гелбарт (1991) дали обзоры автоморфных L-функций.

Автоморфные -функции должны обладать следующими свойствами (которые в некоторых случаях доказаны, но в других случаях остаются предположительными).${\displaystyle L}$

L-функция должна быть произведением по местам локальных функций .${\displaystyle L(s,\pi ,r)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(s,\pi,r)=\prod _{v}L (s,\pi _{v},r_{v})}$

Здесь автоморфное представление является тензорным произведением представлений локальных групп.${\displaystyle \pi =\otimes \pi _{v}}$${\displaystyle \пи _{v}}$

Ожидается, что L-функция будет иметь аналитическое продолжение как мероморфная функция всех комплексных и удовлетворять функциональному уравнению${\displaystyle с}$

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\lor })}$

где фактор является произведением «локальных констант»${\ displaystyle \ epsilon (s, \ pi, r)}$

${\displaystyle \epsilon (s,\pi,r)=\prod _{v}\epsilon (s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v})}$

почти все из которых 1.

Годеман и Жаке (1972) построили автоморфные L-функции для общих линейных групп с r — стандартным представлением (так называемые стандартные L-функции ) и проверили аналитическое продолжение и функциональное уравнение, используя обобщение метода в диссертации Тейта . В программе Ленглендса повсеместно используются произведения Ранкина-Сельберга представлений GL(m) и GL(n). Полученные L-функции Ранкина-Сельберга удовлетворяют ряду аналитических свойств, их функциональное уравнение было впервые доказано с помощью метода Ленглендса-Шахиди .

В общем случае гипотезы функториальности Ленглендса подразумевают, что автоморфные L-функции связной редуктивной группы равны произведениям автоморфных L-функций общих линейных групп. Доказательство функториальности Ленглендса также привело бы к глубокому пониманию аналитических свойств автоморфных L-функций.

• Гранд-гипотеза Римана

• Артур, Джеймс; Гелбарт, Стивен (1991), «Лекции по автоморфным L-функциям», в Коутс, Джон; Тейлор, М. Дж. (ред.), L-функции и арифметика (Дарем, 1989) (PDF) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., т. 153, Cambridge University Press , стр.  1– 59, doi :10.1017/CBO9780511526053.003, ISBN 978-0-521-38619-7, МР  1110389
• Борель, Арманд (1979), «Автоморфные L-функции», в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), часть 2, т. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр.  27–61 , doi :10.1090/pspum/033.2/546608, ISBN 978-0-8218-1437-6, МР  0546608
• Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (2004), Лекции по автоморфным L-функциям, Монографии Института Филдса, т. 20, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3516-6, МР  2071722
• Гелбарт, Стивен ; Пятецкий-Шапиро, Илья; Раллис, Стивен (1987), Явные конструкции автоморфных L-функций , Lecture Notes in Mathematics, т. 1254, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0078125, ISBN 978-3-540-17848-4, МР  0892097
• Годеман, Роджер ; Жаке, Эрве (1972), Дзета-функции простых алгебр , Lecture Notes in Mathematics, т. 260, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0070263, ISBN 978-3-540-05797-0, МР  0342495
• Жаке, Х.; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, Дж. А. (1983), «Извилины Рэнкина-Сельберга», Amer. Дж. Математика. , 105 (2): 367–464 , номер документа : 10.2307/2374264, JSTOR  2374264.
• Ленглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вейлю
• Ленглендс, РП (1970), «Проблемы теории автоморфных форм», Лекции по современному анализу и приложениям, III, Lecture Notes in Math, т. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр.  18–61 , doi :10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, МР  0302614
• Ленглендс, Роберт П. (1971) [1967], Произведения Эйлера, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, МР  0419366
• Шахиди, Ф. (1981), «О некоторых «L»-функциях», Amer. J. Math. , 103 (2): 297– 355, doi :10.2307/2374219, JSTOR  2374219