Функция тау Рамануджана

Тау-функция Рамануджана , изученная Рамануджаном  (1916), представляет собой функцию, определяемую следующим тождеством:${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24} =q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

где q = exp(2 πiz ) с Im z > 0 , — функция Эйлера , η — эта-функция Дедекинда , а функция Δ( z ) — голоморфная параболическая форма веса 12 и уровня 1, известная как дискриминантная модулярная форма (некоторые авторы, в частности Апостол , пишут вместо ). Она появляется в связи с «ошибочным членом», вовлеченным в подсчет количества способов выражения целого числа в виде суммы 24 квадратов. Формула, принадлежащая Яну Г. Макдональду, была приведена в работе Дайсона (1972).${\displaystyle \фи}$ ${\displaystyle \Delta /(2\pi)^{12}}$${\displaystyle \Дельта}$

Первые несколько значений тау-функции приведены в следующей таблице (последовательность A000594 в OEIS ):

Вычисление этой функции для нечетного квадратного числа (т.е. центрированного восьмиугольного числа ) дает нечетное число, тогда как для любого другого числа функция дает четное число. ^[1]

Рамануджан (1916) наблюдал, но не доказал, следующие три свойства τ ( n ) :

• τ ( mn ) = τ ( m ) τ ( n ), если НОД ( m , n ) = 1 (это означает, что τ ( n ) является мультипликативной функцией )
• τ ( п ^{р + 1} ) знак равно τ ( п ) τ ( п ^р ) - п ¹¹ τ ( п ^{р - 1} ) для p простое число и р > 0 .
• | τ ( p ) | ≤ 2 p ^11/2 для всех простых чисел p .

Первые два свойства были доказаны Морделлом (1917), а третье, называемое гипотезой Рамануджана , было доказано Делинем в 1974 году как следствие его доказательства гипотез Вейля (в частности, он вывел его, применив их к многообразию Куга-Сато).

Для k ∈${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и n ∈ _>0${\displaystyle \mathbb {Z} }$ функция делителей σ _k ( n ) является суммой k -ых степеней делителей n . Функция тау удовлетворяет нескольким соотношениям конгруэнтности; многие из них могут быть выражены через σ _k ( n ) . Вот некоторые из них: ^[2]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ } }8}$^[3]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[5]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[7]

Для p ≠ 23 простого числа имеем ^{[2] [8]}

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}$^[9]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}$

В 1975 году Дуглас Нибур доказал явную формулу для тау-функции Рамануджана: ^[10]

${\displaystyle \tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).}$

где σ( n ) — сумма положительных делителей числа n .

Предположим, что f — это целое число с весом k и коэффициенты Фурье a ( n ) — целые числа. Рассмотрим задачу:

Учитывая, что f не имеет комплексного умножения , обладают ли почти все простые числа p свойством a ( p ) ≢ 0 (mod p ) ?

Действительно, большинство простых чисел должны обладать этим свойством, и поэтому они называются обычными . Несмотря на большие успехи Делиня и Серра в представлениях Галуа, которые определяют a ( n ) (mod p ) для n , взаимно простого с p , неясно, как вычислить a ( p ) (mod p ) . Единственная теорема в этом отношении — это знаменитый результат Элкиса для модульных эллиптических кривых, который гарантирует, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что a ( p ) = 0 , которые, таким образом, сравнимы с 0 по модулю p . Нет известных примеров не-CM f с весом больше 2, для которых a ( p ) ≢ 0 (mod p ) для бесконечного числа простых чисел p (хотя это должно быть верно почти для всех p ). Нет также известных примеров с a ( p ) ≡ 0 (mod p ) для бесконечного числа p . Некоторые исследователи начали сомневаться, что a ( p ) ≡ 0 (mod p ) для бесконечного числа p . В качестве доказательства многие приводили τ ( p ) Рамануджана (случай веса 12). Единственными решениями до 10 ¹⁰ уравнения τ ( p ) ≡ 0 (mod p ) являются 2, 3, 5, 7, 2411 и7 758 337 633 (последовательность A007659 в OEIS ). ^[11]

Лемер (1947) предположил, что τ ( n ) ≠ 0 для всех n , утверждение, иногда известное как гипотеза Лемера. Лемер проверил гипотезу для n вплоть до214 928 639 999 (Апостол 1997, стр. 22). В следующей таблице суммирован прогресс в нахождении последовательно больших значений N , для которых это условие выполняется для всех n ≤ N.

L -функция Рамануджана определяется как

${\displaystyle L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$

если и аналитическим продолжением в противном случае. Он удовлетворяет функциональному уравнению${\displaystyle \Re s>6}$

${\displaystyle {\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

и имеет произведение Эйлера

${\displaystyle L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.}$

Рамануджан предположил, что все нетривиальные нули имеют действительную часть, равную .${\displaystyle L}$${\displaystyle 6}$

• Апостол, Т.М. (1997), «Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел», Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2-е изд.
• Эшворт, М. Х. (1968), Конгруэнтность и идентичные свойства модулярных форм (диссертация на степень доктора философии, Оксфорд)
• Дайсон, Ф.Дж. (1972), «Упущенные возможности», Bull. Amer. Math. Soc. , 78 (5): 635–652 , doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 , Zbl  0271.01005
• Кольберг, О. (1962), «Сравнения для функции Рамануджана τ( n )», Arbok Univ. Берген Мат.-Природа. Сер. (11), МР  0158873, Збл  0168.29502
• Лемер, Д. Х. (1947), «Исчезновение функции Рамануджана τ(n)», Duke Math. J. , 14 (2): 429– 433, doi :10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl  0029.34502
• Лигерос, Н. (2010), «Новое решение уравнения τ(p) ≡ 0 (mod p)» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 13 : Статья 10.7.4
• Морделл, Луис Дж. (1917), «Об эмпирических расширениях модулярных функций г-на Рамануджана», Труды Кембриджского философского общества , 19 : 117–124 , JFM  46.0605.01
• Ньюман, М. (1972), Таблица τ (p) по модулю p, p простое число, 3 ≤ p ≤ 16067 , Национальное бюро стандартов
• Ранкин, Роберт А. (1988), «Тау-функция Рамануджана и ее обобщения», в Эндрюс, Джордж Э. (ред.), Рамануджан снова посещается (Урбана-Шампейн, Иллинойс, 1987), Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр.  245–268 , ISBN 978-0-12-058560-1, МР  0938968
• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Trans. Camb. Philos. Soc. , 22 (9): 159– 184, MR  2280861
• Серр, Дж.П. (1968), «Интерпретация конгруэнций родственников в соответствии с функцией Раманужана», Семинар Деланж-Пизо-Пуату , 14
• Суиннертон-Дайер, HPF (1973), «О l -адических представлениях и сравнениях для коэффициентов модулярных форм», в Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (ред.), Modular Functions of One Variable III , Lecture Notes in Mathematics, т. 350, стр.  1–55 , doi :10.1007/978-3-540-37802-0, ISBN 978-3-540-06483-1, МР  0406931
• Уилтон, Дж. Р. (1930), «Свойства конгруэнтности функции Рамануджана τ( n )», Труды Лондонского математического общества , 31 : 1– 10, doi :10.1112/plms/s2-31.1.1