Метод Ленглендса–Шахиди

В математике метод Ленглендса –Шахиди предоставляет средства для определения автоморфных L-функций во многих случаях, которые возникают со связанными редуктивными группами над числовым полем . Это включает в себя произведения Ранкина–Сельберга для каспидальных автоморфных представлений общих линейных групп . Метод развивает теорию локального коэффициента , которая связана с глобальной теорией через ряды Эйзенштейна . Полученные L -функции удовлетворяют ряду аналитических свойств, включая важное функциональное уравнение.

Местный коэффициент

Установка находится в общности связной квазирасщепимой редуктивной группы G вместе с подгруппой Леви M , определенной над локальным полем F. Например, если G = G l — классическая группа ранга l , ее максимальные подгруппы Леви имеют вид GL( m ) × G n , где G n — классическая группа ранга n и того же типа, что и G l , l = m + n . Ф. Шахиди развивает теорию локального коэффициента для неприводимых генерических представлений M(F) . [1] Локальный коэффициент определяется с помощью свойства единственности моделей Уиттекера в паре с теорией сплетающих операторов для представлений, полученных параболической индукцией из генерических представлений.

Глобальный сплетающий оператор, появляющийся в функциональном уравнении теории рядов Эйзенштейна Ленглендса [2], может быть разложен как произведение локальных сплетающих операторов. Когда M является максимальной подгруппой Леви, локальные коэффициенты возникают из коэффициентов Фурье надлежащим образом выбранных рядов Эйзенштейна и удовлетворяют грубому функциональному уравнению, включающему произведение частичных L -функций.

Локальные факторы и функциональное уравнение

Шаг индукции уточняет грубое функциональное уравнение глобально обобщенного каспидального автоморфного представления до индивидуальных функциональных уравнений частичных L -функций и γ-факторов : [3] π = ⊗ ′ π в {\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}}

Л С ( с , π , г я ) = ∏ в ∈ С γ я ( с , π в , ψ в ) Л С ( 1 − с , π ~ , г я ) . {\displaystyle L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).}

Подробности технические: s — комплексная переменная, S — конечное множество мест (базового глобального поля) с неразветвленным для v вне S , а — присоединенное действие M на комплексной алгебре Ли определенной подгруппы двойственной группы Ленглендса G. Когда G — специальная линейная группа SL(2), а M = T — максимальный тор диагональных матриц, то π — характер Грёссена , а соответствующие γ-факторы — локальные факторы тезиса Тейта . π в {\displaystyle \пи _{v}} г = ⊕ г я {\displaystyle r=\oplus r_{i}}

γ-факторы однозначно характеризуются своей ролью в функциональном уравнении и списком локальных свойств, включая мультипликативность относительно параболической индукции. Они удовлетворяют соотношению, включающему L-функции Артина и корневые числа Артина , когда v дает архимедово локальное поле или когда v неархимедово и является составной частью неразветвленного главного представления ряда M(F) . Локальные L -функции и корневые числа ε затем определяются в каждом месте, включая , с помощью классификации Ленглендса для p -адических групп. Функциональное уравнение принимает вид π в {\displaystyle \пи _{v}} ( с , π в , г я , в , ψ в ) {\displaystyle (s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})} в ∈ С {\displaystyle v\in S}

Л ( с , π , г я ) = ϵ ( с , π , г я ) Л ( 1 − с , π ~ , г я ) , {\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}),}

где и — завершенная глобальная L -функция и корневое число. Л ( с , π , г я ) {\ displaystyle L (s, \ pi, r_ {i})} ϵ ( с , π , г я ) {\displaystyle \epsilon (s,\pi,r_{i})}

Примеры автоморфныхЛ-функции

  • Л ( с , π 1 × π 2 ) {\displaystyle L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})} , L -функция Ранкина–Сельберга каспидальных автоморфных представлений GL( m ) и GL( n ). π 1 {\displaystyle \пи _{1}} π 2 {\displaystyle \пи _{2}}
  • Л ( с , τ × π ) {\displaystyle L(s,\tau \times \pi)} , где τ — каспидальнoe автоморфное представление GL( m ), а π — глобально генерическое каспидальнoe автоморфное представление классической группы G .
  • Л ( с , τ , г ) {\displaystyle L(s,\tau ,r)} , где τ как и прежде, а r — симметричный квадрат, внешний квадрат или представление Асаи двойственной группы GL( n ).

Полный список L-функций Ленглендса–Шахиди [4] зависит от квазирасщепленной группы G и максимальной подгруппы Леви M. Более конкретно, разложение присоединенного действия можно классифицировать с помощью диаграмм Дынкина . Первое исследование автоморфных L -функций с помощью теории рядов Эйзенштейна можно найти в Langlands' Euler Products [ 5] при условии, что автоморфные представления всюду неразветвлены. Метод Ленглендса–Шахиди дает определение L -функций и корневых чисел без каких-либо других условий на представление M , кроме требования существования модели Уиттекера. г = ⊕ г я {\displaystyle r=\oplus r_{i}}

Аналитические свойстваЛ-функции

Глобальные L -функции называются хорошими [6], если они удовлетворяют:

  1. Л ( с , π , г ) ,   Л ( с , π ~ , г ) {\displaystyle L(s,\pi,r),\ L(s, {\tilde {\pi }},r)} распространяются на целые функции комплексной переменной s .
  2. Л ( с , π , г ) ,   Л ( с , π ~ , г ) {\displaystyle L(s,\pi,r),\ L(s, {\tilde {\pi }},r)} ограничены вертикальными полосами.
  3. (Функциональное уравнение) . Л ( с , π , г ) = ϵ ( с , π , г ) Л ( 1 − с , π ~ , г ) {\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)}

L -функции Ленглендса–Шахиди удовлетворяют функциональному уравнению. Прогресс в направлении ограниченности в вертикальных полосах был достигнут С. С. Гелбартом и Ф. Шахиди. [7] И после включения поворотов сильно разветвленными характерами L -функции Ленглендса–Шахиди становятся целыми. [8]

Другим результатом является неисчезание L -функций. Для произведений Ранкина–Сельберга общих линейных групп это утверждает, что не равно нулю для любого действительного числа  t . [9] Л ( 1 + я т , π 1 × π 2 ) {\displaystyle L(1+it,\пи _{1}\times \пи _{2})}

Приложения к функториальности и теории представленийп-адические группы

  • Функториальность для классических групп : Каспидальное глобально генерическое автоморфное представление классической группы допускает функториальный подъем Ленглендса до автоморфного представления GL( N ), [10] где N зависит от классической группы. Тогда границы Рамануджана В. Луо, З. Рудника и П. Сарнака [11] для GL( N ) над числовыми полями дают нетривиальные границы для обобщенной гипотезы Рамануджана о классических группах.
  • Симметричные степени для GL(2) : Доказательства функториальности для симметричного куба и для симметричной четвертой [12] степени каспидальных автоморфных представлений GL(2) стали возможны благодаря методу Ленглендса–Шахиди. Прогресс в направлении более высоких симметричных степеней приводит к наилучшим возможным границам в направлении гипотезы Рамануджана–Петерсона об автоморфных касповых формах GL(2).
  • Представления p -адических групп : возможны приложения, включающие функции Хариш-Чандры μ (из формулы Планшереля) и к дополнительным сериям p -адических редуктивных групп. Например, GL( n ) появляется как подгруппа Зигеля- Леви классической группы G. Если π — гладкое неприводимое разветвленное суперкаспидальное представление GL( n , F ) над полем F p -адических чисел и является неприводимым, то: я ( π ) = я ( 0 , π ) {\displaystyle I(\pi)=I(0,\pi)}
  1. я ( с , π ) {\displaystyle Я(с,\пи)} является неприводимым и находится в дополнительном ряду для 0 < s < 1;
  2. я ( 1 , π ) {\displaystyle I(1,\пи)} является приводимым и имеет единственное общее несуперкаспидальное дискретное рядовое подпредставление;
  3. я ( с , π ) {\displaystyle Я(с,\пи)} неприводим и никогда не входит в дополнительный ряд при s > 1.

Здесь получается с помощью унитарной параболической индукции из я ( с , π ) {\displaystyle Я(с,\пи)}

  • π ⊗ | дет | с {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s}} если G = SO(2 n ), Sp(2 n ) или U( n +1, n );
  • π ⊗ | дет | с / 2 {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s/2}} если G = SO(2 n +1) или U( n , n ).

Ссылки

  1. ^ Ф. Шахиди, О некоторых L -функциях , Американский журнал математики 103 (1981), 297–355.
  2. ^ RP Langlands, О функциональных уравнениях, удовлетворяемых рядами Эйзенштейна , Lecture Notes in Math., т. 544, Springer-Verlag, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1976.
  3. ^ Ф. Шахиди, Доказательство гипотезы Ленглендса о мерах Планшереля; Дополнительные ряды для p -адических групп , Annals of Mathematics 132 (1990), 273–330.
  4. ^ Ф. Шахиди, Ряды Эйзенштейна и автоморфные L -функции , Colloquium Publications, т. 58, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. ISBN  978-0-8218-4989-7
  5. ^ RP Langlands, Euler Products , Yale Univ. Press, Нью-Хейвен, 1971
  6. ^ Дж. В. Когделл и И. И. Пятецкий-Шапиро, Обратные теоремы для GL ( n ) , Publications Mathématiques de l'IHÉS 79 (1994), 157–214.
  7. ^ С. Гелбарт и Ф. Шахиди, Ограниченность автоморфных L -функций в вертикальных полосах , Журнал Американского математического общества, 14 (2001), 79–107.
  8. ^ Х. Х. Ким и Ф. Шахиди, Функториальные произведения для GL(2) × GL(3) и симметричный куб для GL(2) , Annals of Mathematics 155 (2002), 837–893.
  9. ^ Ф. Шахиди, О неисчезании L-функций. Бык. амер. Математика. Соц. (НС) 2 (1980), вып. 3, 462–464.
  10. ^ Дж. В. Когделл, Х. Х. Ким, И. И. Пятецкий-Шапиро и Ф. Шахиди, Функториальность для классических групп , Publications Mathématiques de l'IHÉS 99 (2004), 163–233
  11. ^ В. Луо, З. Рудник и П. Сарнак, Об обобщенной гипотезе Рамануджана для GL( n ) , Труды симпозиумов по чистой математике 66 , часть 2 (1999), 301–310.
  12. ^ HH Kim, Функториальность внешнего квадрата GL(4) и симметричной четвертой части GL(2) , Журнал Американского математического общества 16 (2002), 131–183.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Метод_Лэнглендса–Шахиди&oldid=1045235430"