Форма бугорка

В теории чисел , разделе математики , параболическая форма — это особый вид модулярной формы с нулевым постоянным коэффициентом в разложении ряда Фурье .

Форма параболы отличается в случае модулярных форм для модулярной группы обращением в нуль постоянного коэффициента a ₀ в разложении ряда Фурье (см. q -разложение ).

${\displaystyle \sum a_{n}q^{n}.}$

Это разложение Фурье существует как следствие присутствия в действии модулярной группы на верхней полуплоскости посредством преобразования

${\displaystyle z\mapsto z+1.}$

Для других групп может быть некоторый перенос через несколько единиц, в этом случае разложение Фурье происходит в терминах другого параметра. Однако во всех случаях предел при q → 0 является пределом в верхней полуплоскости как мнимая часть z → ∞. Взяв фактор по модулярной группе, этот предел соответствует точке возврата модулярной кривой (в смысле точки, добавленной для компактификации ). Таким образом, определение сводится к утверждению, что форма возврата является модулярной формой, которая исчезает в точке возврата. В случае других групп может быть несколько точек возврата, и определение становится модулярной формой, исчезающей во всех точках возврата. Это может включать несколько расширений.

Размерности пространств параболических форм, в принципе, вычислимы с помощью теоремы Римана–Роха . Например, тау-функция Рамануджана τ ( n ) возникает как последовательность коэффициентов Фурье параболической формы веса 12 для модулярной группы, с a ₁  = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, что означает, что это определение возможно; и это объясняет действие операторов Гекке на пространстве, являющееся скалярным умножением (доказательство Морделла тождеств Рамануджана). Явно это модулярный дискриминант

${\displaystyle \Дельта (z,q),}$

которая представляет (с точностью до нормирующей константы ) дискриминант кубической функции в правой части уравнения Вейерштрасса эллиптической кривой ; и 24-ю степень эта-функции Дедекинда . Коэффициенты Фурье здесь записаны и называются « тау-функцией Рамануджана », с нормировкой τ (1) = 1.$${\displaystyle \тау (н)}$$

В более широкой картине автоморфных форм касповые формы являются дополнительными к рядам Эйзенштейна в дискретном спектре / непрерывном спектре или представлении дискретной серии / индуцированном представлении, типичном для различных частей спектральной теории . То есть ряды Эйзенштейна могут быть «спроектированы» для принятия заданных значений в точках возврата. Существует большая общая теория, хотя и зависящая от довольно сложной теории параболических подгрупп и соответствующих каспидальных представлений .

Рассмотрим стандартную параболическую подгруппу некоторой редуктивной группы (над , кольцом аделей ), автоморфная форма на называется каспидальной, если для всех параболических подгрупп таких, что , где — стандартная минимальная параболическая подгруппа. Обозначение для определяется как .${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle U(\mathbb {A} )M(k)\обратная косая черта G}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P_{0}\subset P'\subsetneq P}$${\displaystyle \phi _{P'}=0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \фи _{P}}$${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle \phi _{P}(g)=\int _{U(k)\обратная косая черта U(\mathbb {A})}\phi (ug)du}$

• Серр, Жан-Пьер , Курс арифметики , Graduate Texts in Mathematics , № 7, Springer-Verlag , 1978. ISBN  0-387-90040-3
• Шимура, Горо , Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Princeton University Press , 1994. ISBN 0-691-08092-5 
• Гелбарт, Стивен , Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, № 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5 
• Моглин С. , Вальдспургер Дж.Л. Спектральное разложение и ряды Эйзенштейна: парафраз Священного Писания , Шнепс Л., пер. Издательство Кембриджского университета ; 1995. ISBN 978-0521418935 .