Функция пятой степени
Полиномиальная функция степени 5
График многочлена 5-й степени с 3 действительными нулями (корнями) и 4 критическими точками

В математике функция пятой степени — это функция вида

г ( х ) = а х 5 + б х 4 + с х 3 + г х 2 + е х + ф , {\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}

где a , b , c , d , e и f являются членами поля , обычно рациональными числами , действительными числами или комплексными числами , и a не равно нулю. Другими словами, функция пятой степени определяется полиномом пятой степени .

Поскольку они имеют нечетную степень, нормальные функции пятой степени выглядят как нормальные кубические функции при графическом отображении, за исключением того, что они могут обладать одним дополнительным локальным максимумом и одним дополнительным локальным минимумом. Производная функции пятой степени является функцией квартической степени .

Принимая g ( x ) = 0 и предполагая a ≠ 0, получаем уравнение пятой степени в виде:

а х 5 + б х 4 + с х 3 + г х 2 + е х + ф = 0. {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}

Решение уравнений пятой степени в терминах радикалов ( корней n -й степени) было основной проблемой алгебры с XVI века, когда были решены кубические и четвертые уравнения , до первой половины XIX века, когда невозможность такого общего решения была доказана теоремой Абеля–Руффини .

Нахождение корней уравнения пятой степени

Нахождение корней (нулей) заданного многочлена является важной математической задачей.

Решение линейных , квадратных , кубических и четвертых уравнений в терминах радикалов и элементарных арифметических операций над коэффициентами всегда можно выполнить, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, действительными или комплексными; существуют формулы, которые дают требуемые решения. Однако не существует алгебраического выражения (то есть в терминах радикалов) для решений общих пятых уравнений над рациональными числами; это утверждение известно как теорема Абеля–Руффини , впервые высказанная в 1799 году и полностью доказанная в 1824 году. Этот результат также справедлив для уравнений более высокой степени. Примером пятой степени, корни которой не могут быть выражены в терминах радикалов, является x 5 − x + 1 = 0 .

Некоторые квинтики могут быть решены в терминах радикалов. Однако решение, как правило, слишком сложно для использования на практике. Вместо этого численные приближения вычисляются с использованием алгоритма поиска корней для полиномов .

Решаемые квинтики

Некоторые уравнения пятой степени можно решить в терминах радикалов. К ним относятся уравнения пятой степени, определяемые многочленом, который является приводимым , например, x 5 − x 4 − x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) 2 . Например, было показано [1], что

х 5 − х − г = 0 {\displaystyle x^{5}-xr=0}

имеет решения в радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет целочисленное решение или r равно одному из значений ±15, ±22440 или ±2759640, в этих случаях многочлен приводим.

Поскольку решение приводимых уравнений пятой степени немедленно сводится к решению многочленов более низкой степени, в оставшейся части этого раздела рассматриваются только неприводимые уравнения пятой степени, и термин «квинтика» будет относиться только к неприводимым квинтикам. Таким образом, разрешимая квинтика — это неприводимый многочлен пятой степени, корни которого можно выразить через радикалы.

Для характеристики разрешимых квинтик и, в более общем смысле, разрешимых многочленов более высокой степени, Эварист Галуа разработал методы, которые дали начало теории групп и теории Галуа . Применяя эти методы, Артур Кэли нашел общий критерий для определения того, разрешима ли любая заданная квинтика. [2] Этот критерий следующий. [3]

Учитывая уравнение

а х 5 + б х 4 + с х 3 + г х 2 + е х + ф = 0 , {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}

преобразование Чирнхауза x = y − ⁠б/5 а⁠ , который понижает квинтику (то есть удаляет член четвертой степени), дает уравнение

у 5 + п у 3 + д у 2 + г у + с = 0 {\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0} ,

где

п = 5 а с − 2 б 2 5 а 2 д = 25 а 2 г − 15 а б с + 4 б 3 25 а 3 г = 125 а 3 е − 50 а 2 б г + 15 а б 2 с − 3 б 4 125 а 4 с = 3125 а 4 ф − 625 а 3 б е + 125 а 2 б 2 г − 25 а б 3 с + 4 б 5 3125 а 5 {\displaystyle {\begin{align}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{align}}}

Обе квинтики разрешимы в радикалах тогда и только тогда, когда они либо факторизуются в уравнениях низших степеней с рациональными коэффициентами, либо в многочлене P 2 − 1024 z Δ , называемомРезольвента Кэли имеет рациональный корень вz, где

П = з 3 − з 2 ( 20 г + 3 п 2 ) − з ( 8 п 2 г − 16 п д 2 − 240 г 2 + 400 с д − 3 п 4 ) − п 6 + 28 п 4 г − 16 п 3 д 2 − 176 п 2 г 2 − 80 п 2 с д + 224 п г д 2 − 64 д 4 + 4000 п с 2 + 320 г 3 − 1600 г с д {\displaystyle {\begin{align}P={}&z^3}-z^2}(20r+3p^2})-z(8p^2}r-16pq^2}-240r^2}+400sq-3p^4)\\&-p^6}+28p^4}r-16p^3}q^2}-176p^2}r^2}-80p^2}sq+224prq^2}-64q^4\\&+4000ps^2}+320r^3}-1600rsq\end{align}}}

и

Δ = − 128 п 2 г 4 + 3125 с 4 − 72 п 4 д г с + 560 п 2 д г 2 с + 16 п 4 г 3 + 256 г 5 + 108 п 5 с 2 − 1600 д г 3 с + 144 п д 2 г 3 − 900 п 3 г с 2 + 2000 п г 2 с 2 − 3750 п д с 3 + 825 п 2 д 2 с 2 + 2250 д 2 г с 2 + 108 д 5 с − 27 д 4 г 2 − 630 п д 3 г с + 16 п 3 д 3 с − 4 п 3 д 2 г 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000p r^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}

Результат Кэли позволяет нам проверить, разрешима ли квинтика. Если это так, то нахождение ее корней является более сложной задачей, которая состоит в выражении корней в терминах радикалов, включающих коэффициенты квинтики и рациональный корень резольвенты Кэли.

В 1888 году Джордж Пакстон Янг описал, как решить разрешимое уравнение пятой степени, не предоставляя явной формулы; [4] в 2004 году Дэниел Лазард написал трехстраничную формулу. [5]

Квинтика в форме Бринга-Джеррарда

Существует несколько параметрических представлений разрешимых квинтик вида x 5 + ax + b = 0 , называемых формой Бринга–Джеррарда .

Во второй половине XIX века Джон Стюарт Глэшан, Джордж Пакстон Янг и Карл Рунге дали такую ​​параметризацию: неприводимая квинтика с рациональными коэффициентами в форме Бринга–Джеррарда разрешима тогда и только тогда, когда либо a = 0 , либо ее можно записать в виде

х 5 + 5 μ 4 ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 х + 4 μ 5 ( 2 ν + 1 ) ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5 }(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}

где μ и ν рациональны.

В 1994 году Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс предложили альтернативу:

х 5 + 5 е 4 ( 4 с + 3 ) с 2 + 1 х + − 4 е 5 ( 2 с − 11 ) с 2 + 1 = 0. {\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}

Связь между параметризациями 1885 и 1994 годов можно увидеть, определив выражение

б = 4 5 ( а + 20 ± 2 ( 20 − а ) ( 5 + а ) ) {\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}

где а = ⁠5(4ν + 3)/ν2 + 1⁠ . Использование отрицательного случая квадратного корня дает после масштабирования переменных первую параметризацию, тогда как положительный случай дает вторую.

Подстановка c = ⁠− м/л 5⁠ , е = ⁠1/л⁠ в параметризации Спирмена-Вильямса позволяет не исключать особый случай a = 0 , что дает следующий результат:

Если a и b — рациональные числа, то уравнение x 5 + ax + b = 0 разрешимо в радикалах, если либо его левая часть является произведением многочленов степени меньше 5 с рациональными коэффициентами, либо существуют два рациональных числа l и m такие, что

a = 5 l ( 3 l 5 − 4 m ) m 2 + l 10 b = 4 ( 11 l 5 + 2 m ) m 2 + l 10 . {\displaystyle a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}

Корни разрешимой квинтики

Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах, если его группа Галуа является разрешимой группой . В случае неприводимых квинтик группа Галуа является подгруппой симметрической группы S 5 всех перестановок пятиэлементного множества, которая разрешима тогда и только тогда, когда она является подгруппой группы F 5 порядка 20 , порожденной циклическими перестановками (1 2 3 4 5) и (1 2 4 3) .

Если квинтика разрешима, одно из решений может быть представлено алгебраическим выражением , включающим пятый корень и максимум два квадратных корня, обычно вложенных . Другие решения могут быть получены либо путем изменения пятого корня, либо путем умножения всех вхождений пятого корня на ту же степень примитивного пятого корня из единицы , например,

− 10 − 2 5 + 5 − 1 4 . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}

На самом деле, все четыре примитивных корня пятой степени из единицы могут быть получены путем соответствующего изменения знаков квадратных корней; а именно, выражение

α − 10 − 2 β 5 + β 5 − 1 4 , {\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}

где , дает четыре различных примитивных корня пятой степени из единицы. α , β ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}

Из этого следует, что для записи всех корней разрешимой квинтики может потребоваться четыре различных квадратных корня. Даже для первого корня, который включает не более двух квадратных корней, выражение решений в терминах радикалов обычно очень сложно. Однако, когда квадратный корень не нужен, форма первого решения может быть довольно простой, как для уравнения x 5 − 5 x 4 + 30 x 3 − 50 x 2 + 55 x − 21 = 0 , для которого единственным действительным решением является

x = 1 + 2 5 − ( 2 5 ) 2 + ( 2 5 ) 3 − ( 2 5 ) 4 . {\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}

Примером более сложного (хотя и достаточно малого, чтобы записать его здесь) решения является единственный действительный корень x 5 − 5 x + 12 = 0. Пусть a = √ 2 φ −1 , b = √ 2 φ и c = 4 √ 5 , где φ = ⁠1+ √ 5/2⁠ — это золотое сечение . Тогда единственное действительное решение x = −1,84208... дается формулой

− c x = ( a + c ) 2 ( b − c ) 5 + ( − a + c ) ( b − c ) 2 5 + ( a + c ) ( b + c ) 2 5 − ( − a + c ) 2 ( b + c ) 5 , {\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}

или, что то же самое,

x = y 1 5 + y 2 5 + y 3 5 + y 4 5 , {\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}

где y i — четыре корня уравнения четвертой степени

y 4 + 4 y 3 + 4 5 y 2 − 8 5 3 y − 1 5 5 = 0 . {\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}

В более общем смысле, если уравнение P ( x ) = 0 простой степени p с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах, то можно определить вспомогательное уравнение Q ( y ) = 0 степени p – 1 , также с рациональными коэффициентами, так что каждый корень P является суммой корней p -й степени корней Q . Эти корни p -й степени были введены Жозефом-Луи Лагранжем , и их произведения на p обычно называются резольвентами Лагранжа . Вычисление Q и его корней может быть использовано для решения P ( x ) = 0 . Однако эти корни p -й степени не могут быть вычислены независимо (это дало бы p p –1 корней вместо p ). Таким образом, правильное решение должно выражать все эти корни p через один из них. Теория Галуа показывает, что это всегда теоретически возможно, даже если полученная формула может быть слишком большой, чтобы быть полезной.

Возможно, что некоторые из корней Q рациональны (как в первом примере этого раздела) или некоторые равны нулю. В этих случаях формула для корней намного проще, как для разрешимой квинтики Муавра

x 5 + 5 a x 3 + 5 a 2 x + b = 0 , {\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}

где вспомогательное уравнение имеет два нулевых корня и сводится, путем их разложения, к квадратному уравнению

y 2 + b y − a 5 = 0 , {\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}

таким образом, что пять корней пятой степени де Муавра задаются формулой

x k = ω k y i 5 − a ω k y i 5 , {\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}

где y i — любой корень вспомогательного квадратного уравнения, а ω — любой из четырех примитивных корней пятой степени из единицы . Это можно легко обобщить для построения разрешимой септической и других нечетных степеней, не обязательно простых.

Другие разрешимые квинтики

Существует бесконечно много разрешимых квинтик в форме Бринга–Джеррарда, которые были параметризованы в предыдущем разделе.

С точностью до масштабирования переменной существует ровно пять разрешимых квинтик формы , которые имеют вид [6] (где s — масштабный коэффициент): x 5 + a x 2 + b {\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}

x 5 − 2 s 3 x 2 − s 5 5 {\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}
x 5 − 100 s 3 x 2 − 1000 s 5 {\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}
x 5 − 5 s 3 x 2 − 3 s 5 {\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}
x 5 − 5 s 3 x 2 + 15 s 5 {\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}
x 5 − 25 s 3 x 2 − 300 s 5 {\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}

Пакстон Янг (1888) привел ряд примеров разрешимых квинтик:

x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 1505 x − 7412 {\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}
x 5 + 625 4 x + 3750 {\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750}
x 5 − 22 5 x 3 − 11 25 x 2 + 462 125 x + 979 3125 {\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}}
x 5 + 20 x 3 + 20 x 2 + 30 x + 10 {\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}     {\displaystyle ~\qquad ~} Корень: 2 5 − 2 5 2 + 2 5 3 − 2 5 4 {\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}}
x 5 − 20 x 3 + 250 x − 400 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}
x 5 − 5 x 3 + 85 8 x − 13 2 {\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}}
x 5 + 20 17 x + 21 17 {\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}}
x 5 − 4 13 x + 29 65 {\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}}
x 5 + 10 13 x + 3 13 {\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}}
x 5 + 110 ( 5 x 3 + 60 x 2 + 800 x + 8320 ) {\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}
x 5 − 20 x 3 − 80 x 2 − 150 x − 656 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}
x 5 − 40 x 3 + 160 x 2 + 1000 x − 5888 {\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}
x 5 − 50 x 3 − 600 x 2 − 2000 x − 11200 {\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}
x 5 + 110 ( 5 x 3 + 20 x 2 − 360 x + 800 ) {\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)}
x 5 − 20 x 3 + 170 x + 208 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}

Можно построить бесконечную последовательность разрешимых квинтик, корни которой являются суммами n- ных корней из единицы , где n = 10k + 1 — простое число:

x 5 + x 4 − 4 x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1} Корни: 2 cos ⁡ ( 2 k π 11 ) {\displaystyle 2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)}
x 5 + x 4 − 12 x 3 − 21 x 2 + x + 5 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5} Корень: ∑ k = 0 5 e 2 i π 6 k 31 {\displaystyle \sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}}
x 5 + x 4 − 16 x 3 + 5 x 2 + 21 x − 9 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9} Корень: ∑ k = 0 7 e 2 i π 3 k 41 {\displaystyle \sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}}
x 5 + x 4 − 24 x 3 − 17 x 2 + 41 x − 13 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}     {\displaystyle ~\qquad ~} Корень: ∑ k = 0 11 e 2 i π ( 21 ) k 61 {\displaystyle \sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}}
x 5 + x 4 − 28 x 3 + 37 x 2 + 25 x + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1} Корень: ∑ k = 0 13 e 2 i π ( 23 ) k 71 {\displaystyle \sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}}

Существуют также два параметризованных семейства разрешимых квинтик: квинтика Кондо–Брумера,

x 5 + ( a − 3 ) x 4 + ( − a + b + 3 ) x 3 + ( a 2 − a − 1 − 2 b ) x 2 + b x + a = 0 {\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}

и семья в зависимости от параметров a , ℓ , m {\displaystyle a,\ell ,m}

x 5 − 5 p ( 2 x 3 + a x 2 + b x ) − p c = 0 {\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}

где

p = 1 4 [ ℓ 2 ( 4 m 2 + a 2 ) − m 2 ] , {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}
b = ℓ ( 4 m 2 + a 2 ) − 5 p − 2 m 2 , {\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}
c = 1 2 [ b ( a + 4 m ) − p ( a − 4 m ) − a 2 m ] . {\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}

Casus irreducibilis

Аналогично кубическим уравнениям , существуют разрешимые квинтики, которые имеют пять действительных корней, все решения которых в радикалах содержат корни комплексных чисел. Это casus irreducibilis для квинтики, который обсуждается в Dummit. [7] : стр. 17  Действительно, если неприводимая квинтика имеет все действительные корни, никакой корень не может быть выражен исключительно в терминах действительных радикалов (как это верно для всех степеней полиномов, которые не являются степенями 2).

За пределами радикалов

Около 1835 года Джеррард продемонстрировал, что квинтики можно решить с помощью ультрарадикалов (также известных как радикалы Бринга), единственного действительного корня t 5 + t − a = 0 для действительных чисел a . В 1858 году Шарль Эрмит показал, что радикал Бринга можно охарактеризовать в терминах тета-функций Якоби и связанных с ними эллиптических модулярных функций , используя подход, аналогичный более знакомому подходу решения кубических уравнений с помощью тригонометрических функций . Примерно в то же время Леопольд Кронекер , используя теорию групп , разработал более простой способ вывода результата Эрмита , как и Франческо Бриоски . Позднее Феликс Клейн предложил метод, связывающий симметрии икосаэдра , теорию Галуа и эллиптические модулярные функции, которые фигурируют в решении Эрмита, давая объяснение тому, почему они вообще должны появляться, и разработал свое собственное решение в терминах обобщенных гипергеометрических функций . [8] Аналогичные явления происходят в степенях 7 ( септические уравнения ) и 11 , как изучал Клейн и обсуждалось в Икосаэдрическая симметрия § Связанные геометрии .

Решение с помощью радикалов Bring

Преобразование Чирнхауза , которое можно вычислить путем решения уравнения четвертой степени , приводит общее уравнение пятой степени к виду

x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}

к нормальной форме Бринга–Джеррарда x 5 − x + t = 0 .

Корни этого уравнения не могут быть выражены радикалами. Однако в 1858 году Шарль Эрмит опубликовал первое известное решение этого уравнения в терминах эллиптических функций . [9] Примерно в то же время Франческо Бриоски [10] и Леопольд Кронекер [11] пришли к эквивалентным решениям.

Подробную информацию об этих и некоторых связанных с ними решениях см. в разделе «Bring Radical» .

Применение к небесной механике

Решение задачи о расположении точек Лагранжа астрономической орбиты, в которой массы обоих объектов не являются пренебрежимо малыми, требует решения квинтики.

Точнее, местоположения L 2 и L 1 являются решениями следующих уравнений, где гравитационные силы двух масс, действующих на третью (например, Солнца и Земли на такие спутники, как Gaia и космический телескоп Джеймса Уэбба в точке L 2 и SOHO в точке L 1 ), обеспечивают центростремительную силу спутника, необходимую для нахождения на синхронной с Землей орбите вокруг Солнца:

G m M S ( R ± r ) 2 ± G m M E r 2 = m ω 2 ( R ± r ) {\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}

Знак ± соответствует L 2 и L 1 соответственно; G — гравитационная постоянная , ω — угловая скорость , r — расстояние от спутника до Земли, R — расстояние от Солнца до Земли (то есть большая полуось земной орбиты), а m , ME и MS — соответствующие массы спутника, Земли и Солнца .

Используя третий закон Кеплера и переставляя все члены, получаем квинтику ω 2 = 4 π 2 P 2 = G ( M S + M E ) R 3 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}

a r 5 + b r 4 + c r 3 + d r 2 + e r + f = 0 {\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}

с:

a = ± ( M S + M E ) , b = + ( M S + M E ) 3 R , c = ± ( M S + M E ) 3 R 2 , d = + ( M E ∓ M E ) R 3   ( t h u s   d = 0   f o r   L 2 ) , e = ± M E 2 R 4 , f = ∓ M E R 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ (thus\ d=0\ for\ L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}\end{aligned}}} .

Решение этих двух пятых уравнений дает r = 1,501 x 10 9 м для L 2 и r = 1,491 x 10 9 м для L 1. Точки Лагранжа Солнце-Земля L 2 и L 1 обычно задаются на расстоянии 1,5 млн км от Земли.

Если масса меньшего объекта ( ME ) намного меньше массы большего объекта ( MS ) , то уравнение пятой степени можно значительно сократить, и L1 и L2 будут приблизительно равны радиусу сферы Хилла , определяемому по формуле:

r ≈ R M E 3 M S 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}

Это также дает r = 1,5 x 10 9 м для спутников на L 1 и L 2 в системе Солнце-Земля.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Элиа, М.; Филиппони, П. (1998). «Уравнения формы Бринга–Джеррарда, золотое сечение и квадратные числа Фибоначчи» (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282–286.
  2. ^ А. Кэли, «О новом вспомогательном уравнении в теории уравнений пятого порядка», Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi :10.1098/rstl.1861.0014
  3. ^ Эта формулировка результата Кэли взята из статьи Лазарда (2004).
  4. ↑ Джордж Пакстон Янг, «Решаемые уравнения пятой степени с соизмеримыми коэффициентами», American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR  2369502
  5. ^ Лазар (2004, стр. 207)
  6. ^ Элкис, Ноам. «Трехчлены a xn + bx + c с интересными группами Галуа». Гарвардский университет .
  7. ^ Дэвид С. Даммит Решение разрешимых квинтиков
  8. ^ (Клейн 1888); современное изложение дано в (Тот 2002, Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория икосаэдра Клейна, стр. 66)
  9. ^ Эрмит, Чарльз (1858). «Сюр-ла-решение о равенстве пятой степени». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
  10. ^ Бриоски, Франческо (1858). «Метод Кронекера для расчета уравнений Quinto Grado». Атти Делли. Р. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Я : 275–282.
  11. ^ Кронекер, Леопольд (1858). «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une Letter adressée à M. Hermite». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 1150–1152.

Ссылки

  • Шарль Эрмит, «Sur la resolution de l'équation du cinquème degree», Œuvres de Charles Hermite , 2 :5–21, Готье-Виллар, 1908.
  • Клейн, Феликс (1888). Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Перевод Морриса, Джорджа Гэвина. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
  • Леопольд Кронекер, «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
  • Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс, «Характеристика разрешимых квинтик x 5 + ax + b» , American Mathematical Monthly , 101 :986–992 (1994).
  • Ян Стюарт, Теория Галуа , 2-е издание, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Обсуждает теорию Галуа в целом, включая доказательство неразрешимости общей квинтики. 
  • Йорг Беверсдорф , Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива , Американское математическое общество, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . Глава 8 (Решение уравнений пятой степени на Wayback Machine (архивировано 31 марта 2010 г.)) дает описание решения разрешимых квинтик x 5 + cx + d . 
  • Виктор С. Адамчик и Дэвид Дж. Джеффри, «Полиномиальные преобразования Чирнхауза, Бринга и Джеррарда», ACM SIGSAM Bulletin , том 37, № 3, сентябрь 2003 г., стр. 90–94.
  • Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус, «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения», Бюллетень ACM SIGSAM , Vol. 37, № 1, март 2003 г., стр. 1–3.
  • Лазард, Дэниел (2004). «Решение квинтик в радикалах». У Олава Арнфинна Лаудаля; Рагни Пиене (ред.). Наследие Нильса Хенрика Абеля. Берлин. стр. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Архивировано из оригинала 6 января 2005 года.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  • Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули
  • Mathworld - Уравнение квинтики – более подробная информация о методах решения уравнения квинтики.
  • Решение разрешимых квинтиков – метод решения разрешимых квинтиков, предложенный Дэвидом С. Даммитом.
  • Метод удаления всех промежуточных членов из заданного уравнения — недавний английский перевод статьи Чирнгауза 1683 года.
  • Брюс Бартлетт: Квинтика, икосаэдр и эллиптические кривые, AMS Notices (апрель 2024 г.)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quintic_function&oldid=1247085117"