Трансформация Чирнхауса

В математике преобразование Чирнхаузена , также известное как преобразование Чирнхаузена , представляет собой тип отображения полиномов, разработанный Эренфридом Вальтером фон Чирнхаусом в 1683 году. ^[1]

Проще говоря, это метод преобразования полиномиального уравнения степени с некоторыми ненулевыми промежуточными коэффициентами, таким образом, что некоторые или все преобразованные промежуточные коэффициенты, , равны нулю.${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle a_{1},...,a_{n-1}}$${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Например, нахождение замены для кубического уравнения степени , такой, что подстановка дает новое уравнение, такое что , , или оба.$${\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}$$${\displaystyle n=3}$$${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$${\displaystyle x=x(y)}$$${\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}$$${\displaystyle а'_{1}=0}$${\displaystyle а'_{2}=0}$

В более общем смысле его можно удобно определить с помощью теории поля , как преобразование минимальных многочленов, подразумеваемое различным выбором примитивного элемента . Это наиболее общее преобразование неприводимого многочлена , которое переводит корень в некоторую рациональную функцию, примененную к этому корню.

Для общего уравнения с моническим полиномом, приводимым к степени , вида , где и являются полиномами и не обращаются в нуль при , преобразование Чирнхауза представляет собой функцию: Такая, что новое уравнение в , , имеет определенные специальные свойства, чаще всего такие, что некоторые коэффициенты, , тождественно равны нулю . ^{[2] [3]}${\displaystyle n^{й}}$ ${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle f(x)=0}$$${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$$$${\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_{n}}$$${\displaystyle у}$${\displaystyle f'(y)}$${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

В статье Чирнгауза 1683 года ^[1] он решил уравнение, используя преобразование Чирнгауза. Подстановка дает преобразованное уравнение или Установка дает , и, наконец, преобразование Чирнгауза , которое можно подставить, чтобы получить уравнение вида: Чирнгауза продолжил описывать, как преобразование Чирнгауза вида: может быть использовано для устранения двух коэффициентов аналогичным образом.$${\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0}$$$${\displaystyle y(x;a)=xa\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.}$$$${\displaystyle f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)=0}$$$${\displaystyle {\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3}-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.}$$${\displaystyle а'_{1}=0}$$${\displaystyle 3a-p=0\rightarrow a={\frac {p}{3}}}$$$${\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}$$${\displaystyle f'(y;a)}$$${\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}$$$${\displaystyle x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a}$$

В деталях, пусть будет полем, и многочленом над . Если является неприводимым, то фактор- кольцо кольца многочленов по главному идеалу, порожденному ,${\displaystyle К}$${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle К[т]}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

является расширением поля . У нас есть${\displaystyle K}$

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

где есть модуль . То есть, любой элемент из является многочленом от , который, таким образом, является примитивным элементом . Будут и другие варианты примитивного элемента в : для любого такого выбора мы будем иметь по определению:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$${\displaystyle (P)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

с многочленами и над . Теперь, если — минимальный многочлен для над , мы можем назвать преобразованием Чирнхауза .${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Поэтому множество всех преобразований Чирнгауза неприводимого многочлена должно быть описано как пробегающее все способы изменения , но оставляющее то же самое. Эта концепция используется при приведении квинтик к форме Бринга–Джеррарда , например. Существует связь с теорией Галуа , когда является расширением Галуа для . Тогда группа Галуа может рассматриваться как все преобразования Чирнгауза для в себя.${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

В 1683 году Эренфрид Вальтер фон Чирнгауз опубликовал метод переписывания многочлена степени таким образом, чтобы коэффициенты членов и были равны нулю. В своей статье Чирнгауз сослался на метод Рене Декарта, позволяющий сократить квадратичный многочлен таким образом, чтобы коэффициент члена был равен нулю.${\displaystyle n>2}$${\displaystyle x^{n-1}}$${\displaystyle x^{n-2}}$${\displaystyle (n=2)}$${\displaystyle x}$

В 1786 году эта работа была расширена Эрландом Самуэлем Брингом , который показал, что любой общий многочлен пятой степени может быть сокращен аналогичным образом.

В 1834 году Джордж Джеррард расширил работу Чирнхауза, показав, что преобразование Чирнхауза может быть использовано для устранения , и для общего полинома степени . ^[3]${\displaystyle x^{n-1}}$${\displaystyle x^{n-2}}$${\displaystyle x^{n-3}}$${\displaystyle n>3}$

• Полиномиальные преобразования
• Монический многочлен
• Приводимый многочлен
• Функция пятой степени
• теория Галуа
• Теорема Абеля-Руффини
• Преобразование Адамчика