Резольвента (теория Галуа)

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2012 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории Галуа , дисциплине в области абстрактной алгебры , резольвента для группы перестановок G — это многочлен , коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов заданного многочлена p и имеет , грубо говоря, рациональный корень тогда и только тогда, когда группа Галуа p включена в G. Точнее, если группа Галуа включена в G , то резольвента имеет рациональный корень, и обратное верно , если рациональный корень является простым корнем . Резольвенты были введены Жозефом Луи Лагранжем и систематически использовались Эваристом Галуа . В настоящее время они по-прежнему являются фундаментальным инструментом для вычисления групп Галуа . Простейшими примерами резольвент являются

• ${\displaystyle X^{2}-\Дельта }$где — дискриминант , который является резольвентой для знакопеременной группы . В случае кубического уравнения эта резольвента иногда называется квадратичной резольвентой ; ее корни явно появляются в формулах для корней кубического уравнения.${\displaystyle \Дельта}$
• Кубическая резольвента уравнения четвертой степени , которая является резольвентой для диэдральной группы из 8 элементов.
• Резольвента Кэли — это резольвента для максимальной разрешимой группы Галуа пятой степени. Это многочлен шестой степени .

Эти три резольвенты обладают свойством быть всегда отделимыми , что означает, что если они имеют кратный корень , то многочлен p не является неприводимым . Неизвестно, существует ли всегда отделимая резольвента для каждой группы перестановок.

Для каждого уравнения корни можно выразить через радикалы и корень резольвенты для разрешимой группы, поскольку группа Галуа уравнения над полем , порожденным этим корнем, разрешима.

Пусть n — положительное целое число , которое будет степенью уравнения, которое мы будем рассматривать, и ( X ₁ , ..., X _n ) — упорядоченный список неизвестных . Согласно формулам Виета это определяет общий монический многочлен степени  n , где E _i — i-й элементарный симметрический многочлен .$${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{ni}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$$

Симметрическая группа S _n действует на X _i , переставляя их, и это индуцирует действие на многочлены в X _i . Стабилизатор данного многочлена при этом действии обычно тривиален, но некоторые многочлены имеют больший стабилизатор. Например, стабилизатор элементарного симметрического многочлена — это вся группа S _n . Если стабилизатор нетривиален, многочлен фиксируется некоторой нетривиальной подгруппой G ; говорят, что он является инвариантом G . И наоборот, если задана подгруппа G из S _n , инвариант G является резольвентным инвариантом для G , если он не является инвариантом какой-либо большей подгруппы S _n . ^[1]

Найти инварианты для заданной подгруппы G из S _n относительно просто; можно просуммировать орбиту монома под действием S _n . Однако может случиться, что полученный многочлен будет инвариантом для большей группы. Например, рассмотрим случай подгруппы G из S ₄ порядка 4, состоящей из (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) и тождества (обозначения см. в разделе Группа перестановок ). Моном X ₁ X ₂ дает инвариант 2( X ₁ X ₂ + X ₃ X ₄ ) . Он не является резольвентным инвариантом для G , поскольку, будучи инвариантом согласно (12) , он фактически является резольвентным инвариантом для большей диэдральной подгруппы D ₄ : ⟨(12), (1324)⟩ и используется для определения резольвентной кубической функции уравнения четвертой степени .

Если P — резольвентный инвариант для группы G индекса m внутри S _n , то ее орбита относительно S n _имеет порядок m . Пусть P ₁ , ..., P _m — элементы этой орбиты. Тогда многочлен

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

инвариантно относительно S _n . Таким образом, при раскрытии его коэффициенты являются полиномами от X _i , которые инвариантны относительно действия группы симметрии и, таким образом, могут быть выражены как полиномы от элементарных симметричных полиномов. Другими словами, _RG является неприводимым полиномом от Y , коэффициенты которого являются полиномами от коэффициентов F . Имея инвариант резольвенты в качестве корня, он называется резольвентой (иногда уравнением резольвенты ).

Рассмотрим теперь неприводимый многочлен

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{ni}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

с коэффициентами в заданном поле K (обычно поле рациональных чисел ) и корнями x _i в алгебраически замкнутом расширении поля . Подставляя X _i на x _i и коэффициенты F на коэффициенты f в приведенном выше выражении, мы получаем многочлен , также называемый резольвентой или специализированной резольвентой в случае неоднозначности). Если группа Галуа матрицы f содержится в G , специализация инварианта резольвенты инвариантна относительно G и, таким образом, является корнем , принадлежащим K (рациональна на K ). И наоборот, если имеет рациональный корень, который не является кратным корнем, группа Галуа матрицы f содержится в G .${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$

Существуют некоторые различия в терминологии.

• В зависимости от авторов или контекста, резольвента может относиться к инварианту резольвенты вместо уравнения резольвенты .
• Резольвента Галуа — это резольвента, инвариант которой линеен относительно корней.
• TheРезольвента Лагранжа может относиться к линейному многочлену,где—примитивный корень n-й степени из единицы. Это резольвентный инвариант резольвенты Галуа для группы тождеств.$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$$${\displaystyle \омега}$
• Относительная резольвента определяется аналогично резольвенте, но рассматривает только действие элементов данной подгруппы H из S _n , обладающей тем свойством, что если относительная резольвента для подгруппы G из H имеет рациональный простой корень и группа Галуа функции f содержится в H , то группа Галуа функции f содержится в G . В этом контексте обычная резольвента называется абсолютной резольвентой .

Группа Галуа многочлена степени есть или ее собственная подгруппа . Если многочлен отделим и неприводим, то соответствующая группа Галуа есть транзитивная подгруппа.${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$

Транзитивные подгруппы образуют направленный граф: одна группа может быть подгруппой нескольких групп. Одна резольвента может определить, является ли группа Галуа многочлена (не обязательно собственной) подгруппой данной группы. Метод резольвенты — это просто систематический способ проверки групп по одной, пока не останется только одна возможная группа. Это не означает, что каждая группа должна быть проверена: каждая резольвента может отменить множество возможных групп. Например, для многочленов пятой степени никогда не нужна резольвента : резольвенты для и дают желаемую информацию.${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle D_{5}}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle М_{20}}$

Один из способов — начать с максимальных (транзитивных) подгрупп, пока не будет найдена нужная, а затем продолжить с максимальными подгруппами этой группы.

• Диксон, Леонард Э. (1959). Алгебраические теории . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. стр. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Гирстмайер, К. (1983). «О вычислении резольвент и групп Галуа». Manuscripta Mathematica . 43 ( 2– 3): 289– 307. doi :10.1007/BF01165834. S2CID  123752910.